立足基础人为本 常规题中显真功——有感于2013年江苏数学卷

☉江苏省溧水高级中学 李宽珍

数学一考完，就有学生兴奋地告诉我：“今年的数学很简单，填空题全部会做，就连最后一题，也感到很亲切！这次高考是所有考试中考得最好的一次！”带着疑问，我把试题做了一遍，确实没有什么磕磕碰碰的地方.对经过无数次考试的考生们来说，的确可以做得很顺利，当然，个别题除外，比如填空题的第13、14题，大题的第17、18、19、20题，想拿到满分，还是需要一定的数学功底的.

笔者认为，这是一份立足基础，以人为本的好试卷.数学试题不偏不怪，让中上等的学生得高分成为可能，中间的学生得100～120分成为可能，让成绩较弱的学生争取及格或在及格边缘成为可能.全卷坚持从学科的整体意义上选材立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，在充分考查数学基本知识、基本技能和基本思想方法的前提下，突出考查学生的数学能力和数学素养.试题的设计坚持能力立意，坚持以知识为载体，多层次，多角度地考查各种能力，凸显对数学本质的考查，能较好的实现高校公正科学的选拔人才.笔者认为，试题主要有以下几个亮点：

一、立足基础，凸显主干，渗透数学思想

试卷充分关注学生必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和基本技能，强化主干知识，基础与能力并重，做到了重点内容重点考查.全卷对三角函数（如1题，15题，18题），解析几何（如3题，9题，12题，17题），立体几何（如8题，16题），函数（如11题，13题，18题），导数（如20题），数列（如14题，19题）等主要内容的考查占有相当的比例.大多数题重基础，只要概念清晰，解答规范，基础知识牢固就能得到该得的分数；多数解答题虽有一定的综合性，但也是由若干个基础题整合而成.

另外，在考查知识点的同时也渗透了大纲要求的重要数学思想.例如，数形结合思想渗透在线性规划（第9题）、函数（第13题、第20题）等题目中；函数与方程的思想则体现在第13题、第18题等题目中；试卷对分类讨论的思想（第13题、第20题等）做了深入考查.转化与化归思想贯穿整份试卷，例如，用来压轴的第20题，用常规的题目背景——导数，而且题目的表述简洁明了，考生一看就是常规题，因为相似问题在平时模拟考试中做过很多；但接下来的第Ⅱ问如何实施等价转化、分类讨论，没有较强的运算能力和深厚的数学功底是难以做出最终结果的.

（1）若a≤2，则当t=2时，ymin=（a-2）2+a2-2=8，解得a=-1（a=3舍去）；

本题以函数为载体，主要考查函数的最值及简单建模，借助换元将问题转化为关于t的二次函数，再根据定区间和动对称轴进行分类讨论.对考生的抽象度、灵活性、深刻性等思维品质提出很高要求.

解析2：注意到本题背景实际是源自圆锥曲线，学生学过变换后，知道反比例函数图像也称为双曲线，而且是等轴双曲线，有焦点、准线、离心率、渐近线等，只是其对称轴是将以前学习过的双曲线的对称轴逆时针旋转45°得到的，中心仍然是原点，所以原题就可以转化成：

看似简单的一次函数和反比例函数，却是圆锥曲线中的一类问题，考查学生们在高中阶段数学的基本功是否过硬，在数学学习上能否做到“做一题通一类”，“看出问题本质，追本溯源”.

二、以人为本，体现人文关怀

以人为本，就是要不断满足人的全面需求、促进人的全面发展；以人为本，不仅要以好生、中等生为本，也要以差生为本，要照顾到各个方面，让好生有发挥的余地，让差生有成功的体验，让中等生努力后也能得到理想的分数.例如，试卷的13，14题，17，19，20题就是具有挑战性的问题，对中等生而言，也有发挥的余地，如，17（2）以圆为载体，可以转化为存在性问题，即为方程有解问题，或者转化为两圆有公共点问题，即两圆相交或相切.不同的思考有不同途径，可以反映学生的差异，利于中等生的发挥.下面举几例说明.

此题来源于考生比较熟悉的数列知识，考查了学生的估算和转化能力，综合性较强.若是死算，或是一一试根，很难解出或是过程非常烦琐.

例3 （2013年江苏卷17题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4.

图1

设圆C的半径为1，圆心在l上.

（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

解析：（1）设点C（a，2a-4），又点C在直线y=x-1上，所以2a-4=a-1，即a=3，所以圆C：（x-3）2+（y-2）2=1.

又点M在圆C上，所以（x0-a）2+（y0-2a+4）2=1， ②

这样，问题就转化为存在点M（x0，y0），使得①②成立.

解法2：（几何方法）从①②的式子特点可以看出，均表示圆，所以要存在点使得①②成立，只要两圆有公共点，即相交或相切即可.

本题主要考查直线与圆、圆与圆之间位置关系等问题，如果没有较好的数学基础，良好的数学素养，看不出①②反应的几何意义，就会陷入烦琐的计算，很难拿到满分.本题中的第（2）小题主要根据题意将问题“要使得圆C上存在点M，使MA=2MO”转化为“动圆C与阿波罗尼斯圆的位置关系（相交或相切）”，通过圆心C（a，2a-4），进而将问题转化为关于a的一元二次不等式有解问题来处理，考查考生利用数形结合思想以及函数、方程、不等式之间相互转化来解决问题的能力.

对差生而言，有很多是考查基本概念，基本运算，基本方法的题目，比如1，2，3，4，5，6，7，15，16，17（1）都是送分题.

三、注重通性通法，考查数学能力

2013年高考数学江苏卷着重考查了教学大纲中所要求的几种重要的数学思想方法，淡化特殊技巧，如函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想等.数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中，它的掌握和应用也是形成数学能力的重要根基.即使是考查基础知识的常规试题，也是常考常新，似曾相识中有一定新的内容，不曾相识的可以转化为熟悉的问题.如用来压轴的第20题第Ⅰ问就不属于难题，把函数的单调性问题转化为讨论导函数的符号，这里考查了学生分类讨论和分离参数的重要数学方法，而这些都是平时学生比较熟练的方法.所以，只要按照规范的步骤去做，要拿到满分不是难事.

例4（2013年江苏卷20题）设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

综上a的取值范围为a＞e.

（2）本题先根据g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，来确定a的范围.

下面要求f（x）的零点个数，即考查f（x）=0的根的个数.

（1）若a≤0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增.此时f（x）=0有一个零点.

且当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞；

图2

解法3：（数形结合）转化为考查函数y1=lnx与y2=ax的交点个数问题.

（1）当a=0时，y1=lnx与y2=0有一个交点；

（2）当a＜0时，显然只有一个交点（如图2）；

图3

图4

（3）当a＞0时，先求处直线y=ax与y=lnx相切时的情况：

本题第二问，主要考查学生如何实施等价转化、分类讨论、数形结合，没有较强的运算能力和深厚的数学功底还是难以做出最终结果的.彰显了注重通性通法，考查数学能力的命题意图，有利于高校对人才的选拔需要.

四、命题于知识的交汇处，突出数学知识之间的联系

本次考题没有追求知识的覆盖面，但在各个知识点交汇处命题.力求从整体的高度去设计试题，以重点知识为核心，努力在几个知识层面的交汇处命题，以检验学生能否形成一个有序的网络化知识体系，并从中提取相关信息，灵活解决问题.例如15题以向量为纽带，涉及三角函数、不等式，意在考查学生的基本概念，基本运算、化简能力.

五、联系实际，考查数学的实际应用

试题中第7题，18题是关于概率，三角函数的实际应用问题，主要考查学生对具体问题中的事件能否具体处理，并如何转化为相关的数学模型.

例如18题，以游客从某旅游景区的景点A处下山至C处的两种路径为背景，考查学生能否运用学过的解三角形知识来解决实际问题，以及将距离最短的问题转化为二次函数最值问题等.本题第一问主要考查学生解题的目标意识，只要在三角形中运用正弦定理即可解决，对于第二问要求考生既要有良好的建模意识，又要具备探索、演算能力；第三问要求考生既要有联想的直觉能力，又要有转化和论证的抽象思维能力.

这些问题贴近学生的实际生活，对数学的建模要求适当，难度与运算适度，较好的体现了考查数学应用的意识，对学生的阅读理解有一定要求，同时检测学生理解新事物，接受新信息的能力，充分体现了对学生实践能力的要求，从而引导学生关心生活，关心时事.

总之，一份试卷要承载太多的功能，让每个人都满意确实是一件不容易的事，若是太简单了，好生觉得拉不开差距；太难了，差生都不会做，也就失去了考试的意义，所以找到一个平衡点很重要.笔者认为，总体应该偏重中等生，让好生、差生都有自己发挥的空间.由此看来，2013年江苏高考卷是一份成功的、值得肯定的试卷.