关注知识交汇 适应高考创新——谈2013年高考数学中平面向量与其他知识的交汇

☉广东省东莞市茶山中学 唐续运

以能力立意命题，将知识、能力与素质融为一体，全面检测考生的数学素质是高考数学命题的指导思想，在知识网络的交汇处设计考题是高考命题的新特点和大方向.而平面向量及其运算是高中数学的新增内容，平面向量融数、形于一体，它具有代数与几何的双重特点，是中学数学知识的一个重要交汇点.以这一知识和方法为媒介可以和高中数学中的其他知识板块如函数、方程、数列、平面几何、三角、解析几何的内容建立紧密的联系，并贯穿其中、交汇渗透，使数学问题的情境新颖别致.

一、平面向量与平面几何的交汇

点评：本题是在三角形中考查向量的基向量的解题思想，关键是抓住基向量.

点评：本题在四边形的背景下考查向量垂直的判断以及向量的模长.

图1

又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，则y2≤1.

同理由x2+（y-b）2=1，得x2≤1，即x2+y2≤2. ②

点评：本题就是在矩形中考查向量的模、向量的表示及不等式的综合应用，学生在解决实际问题时要灵活转化，才能将问题解出.

二、平面向量与三角函数的交汇

（1）求f（x）的最小正周期.

点评：本题借向量的数量积，考查三角函数的周期、图像、化简、最值等问题的综合应用.

例5 （2013年高考江苏卷）已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π.

（2）设c=（0，1），若a+b=c，求α，β的值.

点评：本小题主要借助向量的模，数量积考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力.

三、平面向量与圆锥曲线的交汇

例6（2013年湖南高考理科数学第21题）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2.l1与E相交于点A，B，l2与E相交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l.

设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根.

从而x1+x2=2pk1，y1+y2=k1（x1+x2）+p=2pk12+p.

由题设，k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以

圆M的方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，

圆N的方程为（x-x3）（x-x4）+（y-y3）（y-y4）=0，

两式相减得公共弦的方程为

2p（k2-k1）x+2p（k22-k12）y=0.

又k2-k1≠0，k2+k1=2，则l的方程为x+2y=0.

因为p＞0，所以点M到直线l的距离

故所求的抛物线E的方程为x2=16y.

点评：本题是在圆锥曲线的背景下，借助向量考查圆锥曲线中必须要掌握的基础知识，并且通过圆锥曲线和直线联立，利用设而不求，避繁就简，解出所需的结果.因此我们必须要狠抓基础知识，重视知识间的联系，才能真正地提高分析问题和解决问题的能力、在高考中做到游刃有余.

四、平面向量与线性规划的交汇

图2

点评：本题通过向量考查了平面向量的线性运算、坐标运算、线性规划问题，同时也涉及对两条直线的位置关系、点到直线距离的考查，通过向量来考查学生对学过的知识的综合应用.

五、平面向量与不等式的交汇

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

解法1：（基本不等式）

解法2：（坐标法）

如图3，建立直角坐标系，设A（a，0），B（b，0），C（0，c），P（x，0），则

图3

解法3：（用基向量进行转化）

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，是一个常规的考题，但是由于涉及动点变化的不等式恒成立，致使难度有所增大.需要考生熟练掌握向量数量积运算的方法，这正是问题的突破口.而实际上，数量积的运算一般有三个角度，一是直接利用数量积的定义；二是建立坐标系转化为代数运算；三是利用基底进行转化.

向量知识作为一个全新的知识，在高中数学学习中起到了沟通初等数学和高等数学的桥梁，向量是既有大小又有方向的量，它很好地体现了数与形的统一，使我们在研究数学问题时能“透过现象看本质”，借用了向量的工具性、沟通性将各种数学问题转化为向量的几何运算与代数运算，从而使问题得到解决.