“研究”与“成长”齐飞 秋水共长天一色——谈命题研究与教师的专业化成长

☉江苏省南通市通州区金沙中学 喻国勇

数学命题研究，是数学教师的一项基本工作，是日常教学工作的延伸.十年前，笔者刚开始工作时，对高中数学教学的理解限于：教学、解疑、升学，从来没觉得研究命题是数学教师的分内之事． 在经历了教材改革和课程改革后，笔者渐渐从当年的青年教师慢慢成长起来，现在每每看到新的问题总是觉得自己的知识是多么的浅薄！正如一位哲人说：“人的知识好比一个圆内的部分，圆的外部都是我不懂的知识，每当自身知识越多时，圆就会越大，圆周与外界接触（即不懂的知识）也越大，从而不知道的东西也更多.”说得太好了，教学十年，笔者在教学之路上的不断摸索，得到的体验是一方面研究数学命题有利于提高教学质量、优化课堂效率；另一方面对命题的研究也大大加快了教师的专业化成长，本文通过这些年的亲身体验谈谈高中数学命题研究和教师的专业化成长．

一、命题研究的背景

对数学命题的研究是一位中学教师在拥有多年教学经验后慢慢堆砌而成的，优秀的数学教师不仅在高效课堂教学等方面出类拔萃，还能在对数学命题的研究上有所建树.近年来，对数学命题的研究也取得了一定的成果，诸如文［1］～［4］等，笔者拜读后发现此类文章在对命题的构成、命题的心理机制、高观点下的命题思路等做出了一定的分析和阐述.

从新课程背景的角度来看，课程教育改革和高考试题都在向“以人为本”的方向发展，要求学生掌握适合其自身发展的数学，即所谓因材施教，数学教学更注重生活化、应用化，加强课程内容、考题与生活实践、社会科学之间的联系.在这样的背景下，教师对命题的研究需要与时俱进，比如许多新增加的知识板块，如三视图、推理证明、矩阵变换、算法等都是可以进行深度的挖掘，这顺应新课程改革的方向．

从试题研究的角度来看，很多命题都有深厚的高等数学背景，用当今很流行的一句话来说——“高观点下的初等数学”．常常可以见到很多地区的教研活动，专家对近年高考试题的背景进行解读．因此，在这样的背景下，教师对命题研究往往更高瞻远瞩，有针对性、普遍性和独特性，如凸函数、李普希兹条件、不动点理论、拉格朗日定理等，从这些背景深厚的高等数学中能参悟高考数学问题的本质，有“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉．

从知识交汇、教学衔接的背景来看，命题研究往往对教学指导有重要的作用，一方面在于高考试题的命制往往在于知识的交汇处，一个试题含高中数学的多个知识点组成，有利于把握教学的方向，有利于对知识进行整合，提高复习的效率；另一方面来看，初等数学与学生即将接触的高等数学的思想方法是完全不同的，从这些命题中挖掘高等数学的影子，使其与初等数学做好衔接、相溶，有利于数学知识间的平稳过渡，对进一步的深入学习有重要的支撑．

本文将所研究的数学命题界定为：具有一定深度及高等数学背景的数学试题，这类问题不是直接引入高等数学的定理、概念，而是显示了高等数学对初等数学的指导作用，是命题专家的偏爱，对这类问题进行深度的分析、编译、融合，才能对中学数学教学有一定的指导意义．

二、命题编制的原则

数学考查的总要求是由考试大纲与课程标准决定的，在命题编制时如何将知识、方法、能力的要求具体贯彻到实际试题中去，是依据一定的准则进行操作的，即所谓命题原则．教师在研究命题的时候，有必要研究命题的原则，特别地，高等数学背景下试题的编制要求更高，因此笔者认为命题的编制必须关注以下原则：

1.新颖性原则

新颖性（即与时俱进）是命题命制的特点之一．命题命制的新颖性可以从两方面来看，一方面是背景、情境的新颖，这类问题编制较为容易，只要给数学形式化的结果披上与时俱进的外衣即可；另一方面是需要高等数学为背景的试题编制，立意新颖、充满生命力，对它的研究需要教师多年的专研（即教师专业化的成长），另外还可以从题型结构、提问方式等方面入手．如：

A．D（x）的值域为｛0，1｝

B．D（x）是偶函数

C．D（x）不是周期函数

D．D（x）不是单调函数

说明：问题的背景是狄利克雷函数，高中数学对其中的认知是定义域为R，值域为｛0，1｝，偶函数，无法画出函数图像，无最小正周期；从深层次的背景来说，狄利克雷函数处处不连续、不可导，是可测函数，在任何区间内黎曼不可积，了解其更深层次的知识有利于提高教学的效率．

2.科学性原则

命题编制的科学性是一个试题最基本的原则，它要求教师从一个解题者到变式研究者再到创新者之间慢慢的成长，在模仿、学习和创新之间学会编制问题的科学性、正确性、逻辑性、简洁性等，在充分考虑问题入口宽广、解法可行的基础上，不与中学数学的定理、概念产生矛盾，不与将来高等数学内容发生冲突．如：

案例2（浙江省模拟卷）将3个完全相同的小球随机地放入编号依次为1，2，3，4，5的盒子里，用随机变量ξ表示有球盒子编号的最大值．

（1）求P（ξ=2）；（2）求 ξ的分布列和数学期望Eξ．

（2）同理，ξ的分布列如下表：

?

数学期望Eξ=4．

3.选拔性原则

高考是选拔性考试，必然要求命题者对考题层次有区分度，以便选拔数学素养较高的人才，因此在命题上，选拔性的试题对学生的区分度是较大的，此类命题的得分点往往呈现正态分布，数学素养较高、能力较强的学生基本能解决，对于大部分学生而言，此类问题只能尝试或者解决部分，重在对学生智能水平和数学素养的考查，立足于进行公平、公正的选拔.如：

图1

（1）设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹；

（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.

三、命题研究与教师专业化成长的关系

笔者在教学研究的道路上不断尝试，认识到一方面研究数学命题有利于提高教学质量、优化课堂效率；另一方面对命题的研究也大大加快了教师自身专业化的成长，下面简述两者之间的关系.

1.命题研究推动教师数学素养的提升

数学与其他学科的不同在于除研究对象之外，最突出的就是数学对象的内部规律真实性与表象背后的本质属性，必须用逻辑推理的方式来证明.因此，数学命题的研究需要一定的数学知识、数学内涵和学习的耐心，这其中隐含的数学素养对教师自身发展上有较大的决定性作用.

数学课程内容的绝大部分都可以说是数学命题，数学课程的核心内容就是由数学命题组成的.我们在数学教学的整个阶段中都离不开数学命题，要学运算，离不开运算法则，从运算中提高教师的计算能力；要计算图形的面积、体积，必然离不开数学公式，加强对公式的熟练运用并能融会贯通；要学习数学证明，必然先介绍公理，而后再有定理和推论，培养教师思维的严谨性；对命题变式的研究，大大提高了教师在数学知识点交汇处演变问题的能力；对一个高考试题的背景分析、探讨和学习，能迅速提升教师看待中学数学问题的高度；对优秀命题进行总结和反思，大大提升了教师科研的水平和能力.因此数学命题的研究推动着教师的成长.

2.教师的专业化成长离不开命题研究

教师的成长离不开对数学命题的研究.对数学命题研究的本质是对一个问题的深层次思考，即反思.从再认知理论的角度来说，荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：数学学习是一种再创造学习，反思是数学思维活动的核心和动力.笔者认为利用“再创造学习理论”进行的命题研究，一方面回顾问题中出现的基本知识，另一方面通过变式等研究对知识进行了重组，从而优化了知识在脑海中存储，久而久之，产生的东西便可促进教师的成长.

从建构主义的角度来看，教师的成长不能仅限于中学数学本身的学习经验、解题心得，应该不断尝试用自己头脑中的模式去建构对问题的理解（即模式识别），不同的教师对问题的看法是不尽相同的，所以对数学命题再次建构是比较有效、快捷的学习方式.笔者曾经尝试此类数学命题的建构，采用的是研究性学习的模式，既提高研究的水平也促进了自身的发展.下面给出一个笔者历经多时的命题研究案例：

案例4 （2009年河南省数学竞赛）已知抛物线C：y2=4x，以M（1，2）为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB（如图2）.

（I）求证：直线AB过定点；

图2

（II）过点M作AB的垂线交AB于点N，求点N的轨迹方程.

（1）命题解法的研究.

针对本题最常见的学生解题心理机制：

①设出A、B两点坐标，利用垂直关系将直线AB用点坐标表示即可；

②考虑到直线AB斜率不为0，设直线AB方程：x=my+b，利用垂直关系及韦达定理；

（2）命题思想方法的研究.

①主要思想：数形结合思想、方程思想，运算中要注意“设而不求”；

②考虑到直线AB斜率不为0，设AB直线方程为：x=my+b，联立抛物线方程，利用韦达定理；

④至于第（II）问，由第（I）问搭建的“脚手架”顺势而行，点N的轨迹必在点M和定点（5，-2）为直径的圆上.

设出直线方程与抛物线联立，并结合垂直关系的向量式，适合解决一般圆锥曲线和直线位置关系的问题，具有推广性.另外，对思路①、③，可以做适当引导.

以上两点是笔者尝试的基本命题研究，随着后来对文［7］的学习，有了下面更进一步的研究：

（3）命题的背景研究.

如图2，将问题变式，过定点（5，-2）的动弦交抛物线于A、B两点，作MA⊥MB，则M点的轨迹是什么？显然是圆，该圆与抛物线的交点就是原题中的M（1，2）.

若将定点（5，-2）变为抛物线的焦点，过焦点作动弦交抛物线于A′、B′两点，过A′、B′分别作抛物线的切线，设切线交于M′，则△M′A′B′即为阿基米德三角形.容易验证三个性质：

①M′A′⊥M′B′；

②M′必在抛物线准线上；

③M′F⊥A′B′.

关于阿基米德三角形的性质很多，文［7］已总结过，有关此三角形的高考试题也比较多，各省市近年均围绕阿基米德三角形进行过试题编制，如：2008年山东卷第22题，2007年江苏第19题，2006年重庆第22题，2005年江西第22题，2006年全国卷Ⅱ第21题等.

在学习了文［8］之后，笔者自身的知识得到了拓宽，对命题得到了新的研究.

四、结束语

随着课程改革的深入和不断变革的高考，将来的数学教育应该着重向应用、能力化的方向发展，势必要求教师自身拥有更扎实的基本功、更全面的知识、更高人一筹的研究能力，以计算机辅助教学来说：多年前PPT是CAI的主流，近年来，几何画板、超级画板、Cabri3D、Flash等越来越普遍使用在教学中，更为专业的如Mathematica、MathCAD等也在慢慢渗透进数学教学中来，教师也要用与时俱进的研究来带动自身的成长，我们将来的教育极有可能和欧美发达国家一样，更注重能力的考查.借本文与读者共同努力，不断发展.

1.郑庆全.数学命题教学研究［J］.山东教育学院学报，2007（5）.

2.石志群.高考数学命题思路分析及复习策略［J］.中学数学月刊，2009（11）.

3.张夏强.数学名题在高考命题中的应用［J］.中学数学教学，2011（1）.

4.肖凌戆.关注探究创新 考查理性思维——基于数学创新意识的高考命题特点［J］.中国数学教育，2011（10）.

5.沈恒.辨基本事件，观概率教学［J］.中学数学教学参考（上旬），2012（1）.

6.张琥.例析以高等数学为背景的高考数学试题［J］.中学数学（上），2012（4）.

7.吴跃生.再谈抛物线的阿基米德三角形的性质［J］.数学通讯，1999（8）.

8.吴波.也说蝴蝶定理的一般形式［J］.数学通报，2012（6）.