高观点下使问题的本质更清晰地显现

☉河南省许昌市普通教育教学研究室 张 蕴

著名数学家波利亚说过：当你找到第一个蘑菇或做出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长的.通过探究得到了上述不等式的第二个证明：

所以f（x）在0＜x＜1上是凹函数.

于是，由凹函数的性质知，

评注：上面利用高等的方法“轻而易举”地证明了所要证的不等式，所谓的初等方法和高等方法都是相对的，简单的、可操性比较强的方法才是本质的，利用上述方法可以很容易证明［2］中王老师提出的推广.

在证明推广的结论之前，笔者先指出文［2］中一处证明的错误：

最后，作者得到上述推广不等式的证明.

下面给出正确的证明过程：

显然最后一个不等式成立，故猜想成立.也就是说，从笔者得到的结论可以得到王老师的结论，而且从上面证明猜想的过程可以看出：只有当n=3时，王老师的结论才可以取到等号.

评注：文［1］、［2］的初等方法不能对推广的结论加以证明，而利用“以直代曲”的思想方法和凹函数的性质可以将上述推广的结论“轻而易举”地“拿下”，可见其“威力”所在.所以，“合适的才是最好的”，没有最好的方法只有更好的方法.对上面修正的不等式也可以通过“以直代曲”的思想方法加以证明，参考上面的证法1，笔者在此不再叙述，留给有兴趣的读者探究.

故x+y+z≥1；

反之，当x，y，z∈R+，且x+y+z=1，

通过上面的探究可以得到如下对偶命题：

（1）若x，y，z均为小于1的正数，则

（2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，则

评注：上面通过凹函数的性质（当然也可以利用“以直代曲”的思想方法加以解决），轻而易举地证明了对偶命题，可见利用“先进”的方法可以更加清楚地看出问题的本质，也可以说上面笔者所使用的方法是证明此类不等式的一种通法.

结束语：

解决有关不等式问题往往比较困难，困难的原因是不等式的证明方法灵活多变，没有固定的套路.这正是不等式问题的“迷人和美妙”所在，使研究不等式问题的人乐此不疲.

上面笔者利用“以直代曲”的思想方法和凹函数的性质对相关的不等式做了证明，取得了很好的证明效果，使得问题的本质更加“看得”清楚，也算是用高等的方法指导初等数学的一种尝试.这种探究正印证了著名数学家波利亚的一句话：没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做；在经过充分的研究和观察以后，我们可以将任何解题方法加以改进；而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解.

1.李歆.也谈一个不等式的简单初等证明［J］.数学通讯（下半月），2010（9）.

2.王淼生.“简洁”“自然”来探究三人同行求解惑——对数学问题2090的肤浅探究［J］.中学数学（上），2013（5）.