玩好题：数学教师的幸福与追求

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(杭州第十一中学 浙江杭州 310014)

玩好题：数学教师的幸福与追求

●蔡小雄

(杭州第十一中学 浙江杭州 310014)

“问题是数学的心脏”，引领学生探索数学问题是数学教师的基本职责．而“题”是中学阶段“数学问题”的主要形式，因此，“玩好题”是数学教师的责任、追求，也是数学教师的幸福之一．那么，什么是“玩好题”呢？笔者认为，“玩好题”包含3个层面的意思：一是把题玩好，二是玩好的题，三是让题好玩．“玩好题”能使数学教师在业务上如虎添翼，课堂上更加得心应手，“玩好题”也能使教师情感丰富，精神专注．罗素曾用以下华丽的语言描绘数学推理的超然性和客观性所带来的魅力：“远远离开人的情感，甚至远远离开自然的可怜的事实，世世代代逐渐创造了一个秩序井然的宇宙．纯正的思想在这个宇宙就好像是住在自己的家园．在这个家园里，至少我们的一种更高尚的冲动，能够逃避现实世界的凄清的流浪．”

1 把题玩好：数学教师的责任

数学教学离不开“题”，能把“题”玩好的数学教师才是一位优秀的教师．然而，“题”中有乾坤，“题”中有日月，从日常的观察与了解中，我们不难发现并不是每个数学教师都能“把题玩好”．也正因为有些时候我们教师没有“把题玩好”，致使数学这一门充满魅力的学科被误解，被视作是一门枯燥、乏味、无休止计算的学科．也正因为我们有些教师没有“把题玩好”，使得有些学生进入高中后，面对千变万化的数学题，只能望“题”兴叹．那么，怎样“把题玩好”呢？笔者认为，关键在“善选题、好做题、能编题与会品题”这4个环节．

1.1 众里寻它千百度——善选题

我国南宋时期杰出的数学家杨辉曾说：“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题．”在我们日常教学中也是一样，选择一道合适的“题”能够帮助学生明晰概念、掌握方法．选题一般以教学大纲、教材要求及符合学生实际情况为原则，要有利于学生巩固基础知识,培养分析和解决问题的能力，有利于教师捕捉课堂教学的生发点，并以此为教学突破口，让学生充分参与，体验感受，动态生成．我们都有这样的体会，有时抓住一道典型习题,让学生寻求多种解题途径,促使学生的思维向多方位、多层次发散,比解答多道题更为有效，正所谓“一题可破万题山”．

当然，“善选题”非一日之功．教师选题时要有“大海捞针”的决心与毅力，所选的题要能“针锋相对”甚至“一针见血”．也就是说所选的题不仅要具备直指教学重难点的“针”，最好还要让学生能感受到题中丰富的内涵，从而举一反三，提高分析问题和解决问题的能力．

1.2 不畏浮云遮望眼——好做题

该题表述简洁清晰，灵活地考查了平面向量基本定理、坐标表示、数量积、几何意义等知识，渗透了多种数学思想方法．可以引导学生从多个视角来解决：

视角1从坐标入手，借助配方法求最值．

当x≠0时，

视角2从方程的角度，运用判别式法．

当x≠0时，

由

解得t∈[0,2]．

视角3从点到直线的距离这一角度入手．

视角4也可直接求解．

在日常教学中，只要有心，这样的案例比比皆是，它们都是我们课堂教学的重要素材．用好这些素材，定会给课堂添风采，为教师添魅力！

1.3 接天莲叶无穷碧——能编题

编题是数学知识在较高层次上的运用，一般来说，会做题的不一定会编题.编题也是教师的基本素质之一．众所周知，每年的高考总是牵动着千家万户的心，高考试题“源于教材,又略高于教材”，因此，从教学的角度就要求我们不能孤立地、静止地去讲课本上的例题,甚至运用“题海战术”引进大量的课外题让学生盲目、机械地解题，而要学会对课本上的例题、习题做适当的改编．习题的改编有许多途径,如变换图形位置，改变条件和结论，增加新条件或改变解题要求，重新组合或分解，推广或拓展，也可以纵横联系，将孤立问题串起来等．编题也有很多种方法，如推广引申法、逆向思维法、极端原理法、知识重组法等．从教以来，笔者也为各级各类竞赛、统考、会考等编过许多试题，其中被多次引用的，如：

1.4 万紫千红总是春——会品题

会品题，就是会欣赏题．好题就像千里马，没有伯乐，再好的千里马也会被埋没．教师与学生的一个主要区别是：学生也许只要会做题就行，而教师除了会做题外还要会“品”题，“品”出题中真谛，“品”出题中精彩．

2 玩好的题：数学教师的幸福

在实际教学中，我们会遇到这样的题：有的题目不是考查学生的认知障碍，而是考查学生的“合理”错误；有的题不是让学生把握数学的本质、方法、思想和理性精神，而是教学生如何去防陷阱、防小人、防“边界”；有的题不是教学生大胆地去创新、探究，而是引导学生去“循规蹈矩”，找题型、找原型、找关系、找技巧．这样的题做多了，人会变笨，会更讨厌数学．那么，什么是“好的题”？评价标准很多，说法也很多．简言之，对培养学生分析问题与解决问题的能力有帮助的题就是“好的题”．如果再补充点，笔者认为好题应有简捷抽象、启迪思维与值得玩味的特征．

2.1 映日荷花别样红——好的题的特征

(1)好的题简捷抽象.

数学之美在于其简捷和严谨．数学问题的简捷性在很大的程度上是源自数学的抽象性．数学概念正是从众多事物的共同属性中抽象出来的，而在对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必不可少的．浙江省每年的高考试题在这方面堪称表率．限于篇幅，在此不做赘述．

(2)好的题启迪思维.

数学是思维的体操，创设情境、启迪思维是数学教学的核心．好题往往可以从多个角度入手，设问形式灵活，解题方法多种，富含数学思想，有利于启迪思维．笔者认为，是否有利于启迪思维是评判一道数学题好坏最重要的指标．

(3)好的题值得玩味.

一个好的问题值得探究，值得玩味．可以从一题多解中玩味，可以从一题多变中玩味，也可以从一题多用中玩味．以下是笔者最近“玩”的一道题，写出来以飨读者．

图2

探究1(定点)以PQ为直径的圆过定点F．

解法1设M(x1,y1)，直线AM:

直线MB:

以PQ为直径的圆的方程为

同理

也可得结论．

推广1将点A改为椭圆上任一动点，结论仍成立．

推广2将问题中的椭圆推广为圆锥曲线，结论仍成立．

证明略，以下同．

探究3(点共线)设MF交椭圆于点N，则点A,N,Q共线．

探究4(平分角)(1)PF平分∠MFB；

(2)设PQ与右准线交于点A1，则FA1平分∠MA1N．

探究5(平行性)设MN的中点为G，则MA1∥GN1．

圆锥曲线中蕴含着复杂多变的关系，对其进行分析与研究，往往收获良多，其乐无穷！

2.2 柳絮飞来片片红——玩好的题的收获

(1)玩好的题能加深对概念内涵的理解.

好的数学题往往能紧扣数学概念的本质，学生通过对该问题的解决能够加深对概念的理解．有时，我们也可将原问题进行变式，通过变式，多角度、全方位挖掘概念内涵，达到培养学生的创新意识、改善学生思维品质的目的．

(2)玩好的题能增添课堂教学的魅力.

数学是思维的助推器，数学是思维的点金石．数学课堂教学以教师创造性地教与学生探究性地学为双主体，以有效的数学问题为其中的桥梁与纽带．课堂上，教师通过对一道好题的玩味，创设一个良好的课堂氛围，充分调动学生的好奇心与探究欲，把学生带入发现、探究的旅途．波利亚说：“一个认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”

(3)玩好的题能提升教师的数学素养.

数学素养是数学学科固有的特征，数学素养是通过数学教育、数学活动才能赋予的一种心理品质，是在人的先天生理基础上通过后天严格的数学学习活动获得的、融于身心的一种比较稳定的状态．玩好的题对提高教师的数学素养，尤其是提高教师解决问题的能力大有裨益．一般来说，每年的高考试题是“好的题”，对其进行及时有效的研究是教师的必修课．

数学在古希腊辉煌时期是贵族的游戏，贵族们用数学来展示自己的智慧．在现代教学中，数学应成为教师好玩的“游戏”，教师在这个特殊的游戏里，培养创新思维，提高数学意识，享受幸福、享受快乐！

3 让题好玩：数学教师的追求

题好玩不好玩完全取决于人的心态．一个热爱数学、热爱教育的教师，他会觉得数学的一切都是充满乐趣的，都是好玩的．正如当代数学家、数学教育家克莱因所说：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，而数学能给予以上的一切．”

简证如下：

于是，所证式等价于

由Cauchy不等式，得

高斯说：“给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断学习；不是已有的东西，而是不断获取；不是已达到的高度，而是不断攀登．”在数学教学这座风景秀丽的山峰上，让我们共同努力，朝着一个目标攀登，攀登，再攀登！

[1] 张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990.

[2] 皮连生.学与教的心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2009.

[3] 罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2006.

[4] 蔡小雄.习题教学应注意跨越简单的线性思维模式[J].教学月刊，2007(7):45-47.

[5] 蔡小雄.习题教学中思维定势负效应的校正[J].现代中小学教育，2008(3):51-52.

[6] 蔡小雄.启迪思维是数学习题教学的首要[J].中学数学：高中版，2013(8):8-10.

蔡小雄，男，1971年出生，中国数学奥林匹克高级教练，浙江省特级教师，浙派“名师名校长”培养对象，浙江省教育学会中学数学分会常务理事，浙江省教材审查委员会委员，《中学教研(数学)》特聘编委,杭州市优秀教师，曾担任杭州第二中学副校长，现任杭州第十一中学校长．

2000年获全国首届高中数学优质课评比一等奖．曾担任杭州第二中学数学竞赛主教练、浙江省数学会竞赛教练、全国数学决赛浙江省领队．据不完全统计，近年来，他任教过的学生中，被清华、北大、香港大学录取的有100多位，获得全国数学联赛一等奖24人，其中7人进省队并获中国数学奥林匹克竞赛奖牌．担任班主任的2006届学生中有50%保送或考取北大、清华，其中卢毅为省高考理科状元．先后应邀在全国各地作学术报告50多场，近年来在全国27家省级以上刊物发表近百篇论文，著有《更高更妙的高中数学思想与方法》、《代数变形》等．