问题驱动下的一节复习课
——基本不等式的章节复习课实录及反思

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(龙泉市中等职业学校 浙江龙泉 323700)

问题驱动下的一节复习课
——基本不等式的章节复习课实录及反思

●邹必珍

(龙泉市中等职业学校 浙江龙泉 323700)

章节复习课的常见套路是：知识梳理——例题讲评——方法提炼——习题训练，其优点是：教师可以掌控课堂，容量大，节奏快；其缺点是：对学生限制过多，学习被动，有效性不高.为探讨如何提高章节复习课的有效性，浙江省龙泉市在数学名师的组织与指导下，采取校际合作、课例研讨的形式，围绕“问题驱动下的章节复习课”这个主题进行了听课、评课、改进等一系列的研讨活动，其中不乏精彩的案例，现择其一例，赘述如下，以求教大家.

1 课堂实录

1．1 问题启动，梳理知识，提炼方法

师：请同学们思考：已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求xy的最小值.

生1(演板)：由2x+8y-xy=0可得

师：你是如何想到的？

师：回答得很好，抓住了运用基本不等式解题的结构特征：和积形式上的转化.但上式中的最小值能取到吗,此时x,y的值是多少？

生2：当x=16,y=4时取到最小值.

师：在运用基本不等式求最值时一定要考虑等号是否成立.

1.2 学生编题，激活思维，拓展能力

师：下面给大家几分钟的时间，在不改变题目条件的情形下，编出新题，并尝试去解决这些问题.

(学生思考与编题.)

师：下面请大家说说自己编出的题及编题的思路.

生3：我编出的题目是“求x+y的最小值”，我想xy有最小值，x+y可能就在积最小时取到最小值20.

生4：我编出的题目是求“xy的最大值”，既然在限制条件下有最小值，我猜想可能也会有最大值.

生5：我编出的题目是“求x+y的最大值”，我是把积式改为和式，最小值改为最大值.

生6：我编出的题目是“求x+4y的最小值”，因为和式提出2之后就是x+4y，而积式通过配凑系数可以凑成(x+4y)2的形式，我可以上来写吗？

师：当然可以啊！

生6(演板)：由已知可得

从而

x+4y≥32，

因此当x=16,y=4时，x+4y取得最小值32.

师：想法真好，能够抓住系数特征，对积的系数进行配凑，并运用基本不等式改编出新题，化积式为和式，写得也很完整.

(笔者敏锐地意识到xy,x+y的最大值不存在，如何处理不存在问题可能比单纯处理最值存在的问题更有价值.)

师：大家用类比、联想、配凑的方法，编出了很多新题，真的很有想法，不错！这些问题都可以求解吗？怎么求解呢？若不能求解，请说明理由.大家不妨动手试试.

生7(演板)：由条件可得

从而

x+y-10≥8，

即

x+y≥18，

因此当x=12,y=6时，x+y的最小值为18.

师：能说说你是怎么想到的吗？

生7：要求x+y的最小值，条件中的积式可以化成x+y的形式，但和式不能化成x+y形式，我想不能直接用基本不等式了，先把整个条件写成2个分别只含有x,y的一次式的乘积，尝试后发现可以写成……

师：哦，想法真不错！大家看看有什么需要补充的吗？

生8：开方的时候为什么只取x+y-10≥8而舍去了x+y-10≤-8.由x+y-10≤-8可得x+y≤2，岂不是x+y的最大值为2?

生9：这不可能，最大值怎么可能比最小值小呢？

师：那问题出在哪儿？

生10(演板)：我这样解，可以避免这个问题出现：由2x+8y-xy=0可得

……

师：你是怎么想到这样求解的呢？

师：要是把问题改为:求x+3y的最小值呢？

师：方法1的关键是利用常数1，方法2的关键是配凑系数.虽然问题解决了，但是前面的开方为什么不能取负值的问题还没有解决，大家有什么想法吗？

1.3 释疑解惑，揭示本质，贯通联系

生13：题目条件可以变为2x=y(x-8)，因为x>0,y>0,所以x>8，故x+y≤2不可能成立.

师：这只是解释了x+y≤2不成立，在解题过程中我们应该怎么叙述，哪位同学可以补充完整？

(学生叙述解题过程.)

师：小小等式左右移，移法不同乾坤大.2x=y(x-8)还能变吗？

师：如果说前面几位同学对条件的转化是“量变”，你刚才这一小步就促成了“质变”，把等式问题转化成了函数问题，这是什么函数呢？

(学生主动要求上来画图.)

师：图像出来了，大家有什么启发?

全体学生：xy,x+y不可能有最大值.

师：同学们，出一道题不容易，类比、联想得到的一些结论不可靠.解决一个问题也不容易，但是要说明一个问题不可解则需要更大的智慧和勇气.

1.4 归纳方法，体悟思想，强基固本

师：请思考下列问题，从知识、方法、易错点等层面梳理本节课的学习.

(1)基本不等式的核心知识是什么？基本方法是什么？

(2)运用基本不等式解题的易错点在哪里？

学生回答，教师边补充、边板书，完成从知识到方法、从单一的知识点到知识网络的构建.

2 课后思考

章节复习课是常见的课型之一，是新课结束之后对章节核心知识的梳理、基本方法的提炼与落实、前后知识的融会贯通.本节课试图通过一个问题及其深化达成这个目的.

2.1 在追问中梳理核心知识,提炼方法

2．2 在释疑解惑中贯通知识间的联系,提升能力

学生具有较强的类比、联想能力，在编题环节，学生通过类比、联想编出了“求xy的最大值”和“求x+y的最大值”这2个没有确定解的问题，教师没有直接告诉学生这2个问题没有解，而是敏锐地捕捉时机围绕“开方之后为什么只取正值？”展开讨论，在学生给出正确解法后还继续追问“合理解释”，催生出了最后的质变“把等式转化成函数”，在函数观点下再审视问题，学生心中的疑问豁然开朗，既解释了为什么不能求解，又实现了函数与(不)等式(方程)之间的转换，让学生在潜移默化中体验这种转化，提升能力.

2.3 在解题过程中引导学生用数学语言表达

“不仅要学会用数学方式思考，还要学会用数学方式表达”，科学、精炼的表达是解题的基本要求.学生1尽管求出了结果，但忽视了等号成立的条件，一句“最小值能取到吗？”让学生感受到了能否取到等号的重要性；学生8在开方时取正去负，虽然其他学生为其补充了理由，教师依然要求学生口述解题过程，对解题过程完整性的要求可见一斑.对问题“求xy的最大值”和“求x+y的最大值”的探究，其本质就是给学生示范怎么去表达数学问题，如何正确表达过程，不能求解如何说明理由.

[1] 施仁智，江建国.让学生在自然的思考过程中催生新想法[J].中学教研(数学)，2012(3)：21-23.

[2] 柳小平，郭楚明.角色转换 深化理解 感悟本质 有效建构——高三第一轮复习“求点的轨迹方程”教学简录及反思 [J].中学数学，2011(7)：59-61.