在问题变式中拓展思维 在合作探究中演绎精彩
——记一堂高三复习公开课的教学设计与反思

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(台州市第一中学 浙江台州 318000)

在问题变式中拓展思维在合作探究中演绎精彩
——记一堂高三复习公开课的教学设计与反思

●蒋茵

(台州市第一中学 浙江台州 318000)

如何使高三复习课精彩高效?这是每一位数学教师积极探索的问题,也是新课程改革的目标之一.笔者认为,“问题变式,合作探究”教学模式在高三复习课教学中非常重要.近日,在“台州市高三数学复习研讨会”上,笔者有幸开设了一堂主题为“围绕目标善转化 巧设点线活运算——基于一类‘直线、抛物线与圆’高考题的探究”的公开课.该课的教学设计从一个直线与抛物线的基础问题出发,采用变式教学,层层递进,演绎为对2011年浙江省高考解析几何变式题的探究.现将教学设计及其反思整理如下,以期与同行交流．

1 教学实录

1.1 问题驱动,互动探究

图1

问题如图1，已知抛物线C:x2=y,F为抛物线的焦点,A,B是抛物线的2个动点,且A,B在y轴的同侧.如果直线FA的斜率与FB的斜率互为相反数,证明:直线AB过定点,并求出这个定点.

设计意图引导学生自主读题,寻找解题目标,在学生求解思路的基础上完善求解方法,引领学生回顾求解直线与圆锥曲线相交问题时设直线的2种常用方法,从中领悟函数和方程思想在求解此类问题中的应用.

(学生思考，展示解法.)

生1：方法1因为k存在,所以设直线AB:y=kx+b,与x2=y联立，消去y得

x2-kx-b=0.

Δ=k2+4b>0,x1+x2=k,x1x2=-b.

下面我不知道该如何求解了?

师：你要证明的结论(目标)是什么？

生1：要证直线AB:y=kx+b过定点,即找k,b的关系.

师:这样的话,能否将条件中kAF=-kBF朝着你的目标去转化呢？

生1：因为x1+x2=k,x1x2=-b,所以找k,b的关系转化为找x1,x2的关系,接下来只要将条件中kAF=-kBF向x1,x2去转化即可.

师：请你继续给出解答过程.

生1：因为kAF=-kBF,即kAF+kBF=0,所以

即

师：很好！这位同学设的是目标直线,围绕目标进行合理转化.其他同学还有不同的解法吗?

由韦达定理,得

y=(xA+xB)x-xAxB,

即

师：很棒!2位同学的解法都很好.方法1从一开始直线的设法以及中段的解题分析都是从结论(目标)入手,属于“分析法”,而方法2恰恰相反,从条件入手,属于“综合法”.

1.2 学以致用,变式探究

师：对上述问题的条件能否作些修改,进而得到相应的给论呢？请大家思考.

(学生分组讨论,给出下列变式.)

图2

变式1如图2，把“F为抛物线的焦点”改为“抛物线上的点P(-1,1)”,试探究:直线AB是否过定点?

生3：用问题中的方法1可得到

化简得

x1-1+x2-1=0,

即

x1+x2=2,

故k=2.因此直线AB不过定点,但kAB为定值.

生4：用问题中的方法2，设直线PA:

y-1=k(x+1),

代入y=x2，得

x2-kx-k-1=0.

因为点P在抛物线上,所以xA=k+1,上式中的k用-k替换,从而xB=-k+1.又因为直线AB:

y=(xA+xB)x-xAxB,

所以直线为AB：y=2x+k2-1,即kAB为定值.

生5：不需要联立方程,同生4化简得

即xA=k+1.同理可得xB=-k+1.

师：很好！点的位置变了,但探究的方法没有改变，而且生3综合并优化了前2位同学的解法.继续思考,还能怎么改，能否探究出更一般性的结论呢？

师:好！我们大家一起来探究.

设计意图放手让学生去改变问题的条件或结论进行变式探究，巩固源问题中涉及的数学方法和探讨有没有更好的解法，从而激发学生的学习兴趣,启发学生提出问题,培养学生大胆猜想、小心求证的数学品质.

师：太棒了！这组同学运用特殊到一般的思想探究了一般性的结论.以上我们运用多种方法对一类直线与抛物线的问题进行求解,而在高考题中往往再引入条件(如圆)进行编题.来看这样一道高考变式题.

变式3如图3，已知抛物线C:x2=y,圆M:x2+(y-4)2=1,设点P是抛物线C上一点,过点P作圆M的2条切线l1,l2,交y轴于点A,B,问：是否存在点P,使线段AB被M平分？若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由.

(2011年浙江省数学高考文科试题第22题改编)

图3 图4

生7：根据图形的对称性,若线段AB被M平分,则PM⊥AB，因此点P的坐标为(-2,4).

师：满足条件的点P只有一个吗？

生7：还有(2,4).

师：相当精彩！数形结合,检验了解的个数.

(教师适时利用几何画板演示,帮助学生直观感受点P的位置.)

师:很好!生8的想法不错,大家想一想,能利用图形来解决吗?

生9：由图4可知点P的纵坐标小于4,而且这样的点P也有2个.

(教师继续利用几何画板拖动点P演示.)

师：我们利用图形猜想了点P的大致位置,能不能利用代数方法进一步求出点P的具体位置呢？

(学生试解,然后教师选学生“代表”口头回答,教师板演.)

(1)

(2)

按k整理得

设PA,PB的斜率为k1,k2(k1≠k2),则

不知下面该如何求解了?

师:很好！这位同学把k看作主元整理方程,然后利用韦达定理求解,而且关注到了运算求解中的整体性.其他同学能否继续分析求解?

生11：因为x0与k1,k2找到了关系,接下去只要找到k1,k2与条件中y1,y2的关系即可.

令式(1)中的x=0，得

从而

于是

化简得

故

即

变式5已知抛物线C:x2=y,圆M:x2+(y-4)2=1,过抛物线C上一点P(t,t2)(-3≤t≤-2)作圆M的2条切线l1,l2,交抛物线于点E,F,求直线EF斜率的最值.

(2011年浙江省数学高考理科试题第22题改编)

师:请同学们说一说这一变式题怎么解?

生12:“等价转化”目标kEF=xE+xF与t的关系⟺xE,xF与kPE,kPF,t的关系⟺kPE,kPF与t的关系(解答过程略).

师：很好！这位同学已经学到了如何围绕解题目标进行合理转化.

设计意图进一步强化学生在解题过程中的目标意识、转化能力及函数方程的思想,突出设而不求的数学方法,通过高考变式题为载体内化知识,把新学的知识融入到旧的认知体系中去,构建新的认知体系.

1.3 探究感受,探究延伸

师:通过这节课学习,你学到了哪些知识?这堂课体现了哪些数学思想方法?

生14:我学到了如何巧设点线,找目标变量和条件变量的转化关系以及用设而不求、几何和一些运算技巧进行合理运算.这堂课体现了数形结合、等价转化、函数与方程、类比、特殊到一般思想等.

师:今天的作业：请同学们课后继续自编几个变式题进行深入探究.

教师提供另外样例：

变式6变式3中去掉条件“线段AB被M平分”,求△PAB面积的最小值.

变式7变式5中加条件“PM⊥EF”,求点P的坐标.

变式8变式1中将“抛物线”改成“椭圆”,情况又怎样？

设计意图课堂教学的结束,并不意味着探究活动的结束.要求学生自编变式问题,将探究活动延伸到课外,培养学生主动探究数学问题的意识和习惯.

2 教学反思

2.1 相信学生,让学生在合作探究中动起来

为了让学生充分融入课堂,笔者决定课前不发学案,努力上一堂“原生态”的问题探究课.为了让学生“动”起来,笔者在课堂上设计了2个平台：其一,每一个问题都要让学生积极参与,当一个学生给出解法或解题中断后,鼓励其他学生给出自己不同的解法或完善解法；其二,放手让学生去改变问题的条件或结论进行变式探究,让课堂多了些生成.如原来教学预设中没有变式2(将点P一般化),但是学生提出来后,笔者及时调整了预设,鼓励学生进行探究,学生沿用通法解决问题,并得到一般性的结论.

实践表明,“原生态”教学使得问题探究得更到位、更自然、更真实.如本课重点要突破的变式3、变式4的探究过程,学生能借助几何直观求解变式3.当有学生改变数据发现变式4时,教师能自然地引导学生先估计点的大致位置,同时用“几何画板”动画演示,验证学生的猜想,激发学生的学习热情.有了形的直观,再鼓励学生进一步探究用数将直观问题精确化,这不就是解析几何所倡导的“以形助数,以数解形”吗?整节课都是由学生独立思考或合作讨论发现问题及解法,努力做到了让课堂“动”起来.

由此笔者认为,在平时教学中,我们也要充分相信学生,在课堂中让学生沉睡的思维被唤醒,创造的潜能被激发.

2.2 变式探究,让学生在合作探究中感受数学

著名的数学教育家波利亚曾说过：“好问题如同蘑菇,它们都成堆地生成,找到一个之后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个.”高三复习课上应追求变式探究,让学生在合作探究中感受数学.一方面在变中突出不变的解题方法,讲一题、通一类、会一片,如本节课通过源问题的求解,让学生回顾此类问题的2种通法(方法1、方法2),通过变式探究,使学生在解决变式1、变式2时,“重复”操练这2种求解方法,促进他们对数学技能的掌握,不断提高分析问题、解决问题的能力；另一方面变式问题并非“生硬”的“外挂式”设置,不是生搬硬套地“拼凑”,而是要突出教学重点、突破教学难点,确保教学任务的顺利完成，要符合学生的认知规律,有效引导并激活学生的数学思维，递进要自然,以保证学生思维的连贯、通畅.

本节课对一类直线与抛物线的问题进行求解之后,思考：能否再引入条件(如圆)进行编题？因此有了变式3、变式4；从改变题型角度思考,从定点问题到定值、点坐标的求法、平分弦、最值等问题,有了变式5；最后继续鼓励学生将变式进行到底,教师提供另外样例：变式6、变式7、变式8将探究活动延伸到课外.“变式探究”有利于扩大学生视野,深化知识,举一反三,触类旁通,从而增强学生分析问题、解决问题的自信心,激发他们的学习兴趣.

2.3 渗透思想,让学生在合作探究中打通解题思路

高考解析几何大题属于难题,特别是后半部分一般是尖子生拉开与其他考生距离的“分水岭”.因此,解析几何复习课要求例题教学中渗透数学思想,培养学生数学思维,逐步发展学生的能力.在分析问题、探索思路的过程中进行,用数学思想方法指导分析,让学生去领悟隐含于例题的数学思想方法.

如本节课,当生1用韦达定理思维受阻而中断解题时，教师设计了这样几个引导问题:“你要证明的结论(目标)是什么？能否将条件kAF=-kBF朝着你的目标去转化呢？”等,帮助学生确定转化的目标方向,并对条件转化作出等价性分析.培养学生在解题过程中的目标意识、转化能力及函数和方程的思想方法,并鼓励学生自觉地运用学到的思想方法到后续的解题中去,最终达到用思想指导方法的思维习惯.在例题结束后进行提炼,加以显化,让学生回顾思维过程,总结运用了哪些数学思想方法.如本节课中,涉及到的数学思想有：特殊到一般、数形结合、设而不求等.

[1] 浙江省教育考试院.浙江省普通高考考试说明(文科)[M].杭州：浙江摄影出版社,2013:31.