机构自由度、工作空间、奇异一体化分析现状与创新

罗建国

(华北科技学院机电工程学院，北京东燕郊 101601)

0 引言

机构是由运动副和构件组合而成，运动副和构件的组合是不是机构、能完成什么运动、运动范围是什么、运动有无异常情况、……，这些属于机构学研究中自由度(F)分析、工作空间(W)分析、奇异(S)分析等科学问题，要解决这些科学问题，就要找到能够适合机构这些特性分析的理论和方法，为此人类付出了艰辛的努力。

1 机构自由度研究现状

针对机构自由度的研究，从契贝舍夫开始过去的一百五十年来提出了几十种公式和方法，从方法的原理上看，可以分为如下六类:

第一类，Chebychev、Grübler、Kutzbach、Tsai［1］等提出的方法，这类方法确定自由度仅仅依据机构的构件数目、运动副数目和运动副所具有的自由度数目、独立环的数目等参数之间的关系。缺点是没有考虑过约束，存在众多反例。

第二类，Moroskine、Fayet 等［2］提出的方法，这类方法先建立机构的运动约束方程，然后计算其秩，或者采取独立闭环的闭合方程数来分析机构的自由度。缺点是不具有普遍适用性。

第三类，Angeles和 Gosselin［3］提出的方法，提出对机构的雅可比矩阵计算其零空间以确定机构的自由度。缺点是零空间的计算非常复杂困难，不能适应复杂机构及其自由度性质。

第四类，Hervé、Li Zexiang 等［4］提出的方法，这类方法基于数学的“群论”、“李代数”和微分几何等现代数学。缺点是所依赖的高深数学理论掌握推广困难，且只能分析部分机构的自由度。

第五类，Waldron，Hunt等［5］者提出的方法，这类方法基于螺旋理论，方法的基本思想是分析对应机构的运动螺旋系，确定运动螺旋系的秩而后再求自由度。缺点是不能适用于并列机构及解决形形色色的复杂问题。

第六类，黄真等基于反螺旋理论提出的自由度方法，以反螺旋来重新定义公共约束，并给出了统一有效的修正G-K公式，能够解决Gogu提出的那些过约束机构［6］。缺点是没有实现与工作空间、奇异的一体化分析。

除了上述典型的六种方法之外，还有一些其它方法，如Shukla和Whitney、杨廷力、Wampler和Larson、Rico 等、Müller、张一同均发表关于机构自由度方面的文章，其中杨廷力提出的基于位姿特征方程的自由度方法、Gogu提出的基于线性变换的自由度方法比较系统，但均不能针对所有机构普遍适用［7］。

2 机构工作空间研究现状

机构的自由度确定以后，对机构的工作空间进行深入分析是机构分析和走向实用化的重要基础。机构的工作空间是机构输出末端的工作区域，它是衡量机构性能的重要指标。串联机构工作空间分析比较容易，但并联机构和混联机构工作空间的解析求解是一个非常复杂的问题，它在很大程度上依赖于机构位置解的研究成果，目前比较通用的还只有数值解法和解析法。

数值解法的核心算法是，根据工作空间边界必为约束起作用边界的性质，利用位置逆解和K-T条件搜索边界点集。主要有网格法、Jocobi法、Monte Carlo法和优化法，这些算法一般需要依赖于位置逆解。且需固定末端执行器姿态，故在不同程度上存在着适用性差、计算效率和求解精度低等缺点。Cleary和Arai应用网格法，通过离散关节空间，求出末端位姿，从而构造工作空间。黄真在文献中采用优化法，根据约束方程的限制作用，通过逆解构造工作空间边界。Masory等［8］采用数值积分的方法计算工作空间的体积，比较接近实际，高峰等在其研究基础上，提出一种球坐标搜索法，该方法具有效率高和简易的特点。张建业等利用数值法对一正交机器人机构工作空间进行分析，运红丽等用三维边界搜索法绘制3-UrPS并联机器的工作空间的实体图和截面图［9］，Cornel等［10］利用遗传算法对一可重构并联机器人系统进行了工作空间的分析和计算，Cheng等［11］采用离散算法对一并联微操作机器人平台的工作空间进行了分析，其它类似成果和工作就不再例举。

解析法的基本思路是，将并联机构拆解成若干单开链，利用曲面包络论求解各单开链子空间边界，再利用曲面求交技术得到整体工作空间边界。为了确定并联机器人机构的工作空间，通常需要其位置正解。因位置正解求取的复杂性，使用位置逆解分析工作空间比较简单。具有代表性的工作有Jo等提出后经Gosselin发展的几何法，该方法将工作空间边界构造归结为对12张球面求交问题。Merlet在此基础上通过引入铰链约束和支撑杆干涉做了更加深入的工作，他还研究了固定动平台参考点，求解相应极限姿态空间的解析方法。刘辛军等［12］运用几何法和CAD平台求得6-RTS并联机器人的位置工作空间，OEzguer等运用几何法对一平面机构的工作空间进行了分析，Mats等用解析法与包络论结合的方法对一种新型六自由度并联机构的工作空间进行分析［13］，He等［14］运用三维仿真技术和解析法结合对一欠驱动机器人手腕进行了工作空间模拟和分析。

无论采用数值法或是几何法求解机构的工作空间，主要工作都是要找到工作空间的边界，其中都存在无效的位置(点)，解析法和数值法都各具有不足，不能适用于所有机构类型，也不能将机构自由度、工作空间、奇异综合一体分析，结果不能直观具体反映机构自由度(数目、构成)、工作空间(形状、体积、布局)、奇异(形状、体积、布局)。虽然有一些学者从其他的角度对工作空间的问题进行了探讨，其中值得一提的是天津大学的黄田等提出以微分几何和集合论为工具，提出一种Stewart并联机器人工作空间解析建模的方法，该方法应用单参数曲面族包络理论，将工作空间边界问题归结为对若干变心球面族的包络面求交问题，并提出了用截平面法求解工作空间边界的高效算法，虽然具有综合多种数学理论和方法，具有一定的创新性，但这些新方法只针对特定研究对象，不够普适和系统，也不能将机构工作空间与自由度、奇异综合一体分析，故应用范围比较有限，局限性比较明显。

3 机构奇异研究现状

工作空间之间或内部有什么特殊分布情况和关系，属于机构奇异分析，奇异位形是机构固有的性质，它对机构的工作性能有着严重的影响。当机构处于某些特定的位形时，机构的输入构件失去了对输出构件的控制能力，因此在设计和应用机构时应该避开奇异位形。同时，奇异位形的研究是合理确定有效工作空间、制定各向同性、可操作性、灵活性等性能指标的基础。

对机构奇异的研究近年来主要集中在并联机构领域，主要的研究方法有:Gosselin等提出的基于机构输入输出速度的分析方法;Grassman线几何方法，如文献［15］、［16］均利用该方法分别对一3T2R并联机构、并联髋关节试验机进行奇异分析;雅可比矩阵分析方法，如文献［17］、［18］均利用该方法分别对一四自由度并联机构、六自由度工业机器人的奇异进行分析;Hunt基于螺旋理论对并联机构进行奇异分析，并将奇异分为固定和不确定奇异位形;黄真等基于螺旋理论，提出了奇异的运动学理论，并据此得出一种新的判断并联机器人机构奇异的简捷方法，此运动学法是一种普遍适用于多种并联机器人奇异求解。Kong等利用螺旋系的分类特性对一并联机构进行奇异分析，韩先国等基于反螺旋理论对3UPSS并联机构单支链驱动奇异进行了分析［19］，此类研究工作较多，在此不再赘述。

雅可比矩阵法要建立并求解6×6的矩阵，由于表达式过于复杂，难以深入分析奇异的性质。Grassman线几何法验证奇异方便，但难以得到奇异的整体分布规律。基于螺旋和反螺旋理论的机构奇异分析方法适合于理想形式(给定运动副空间轴线、给定构件间连接关系、不限制运动副运动范围、不限定构件尺寸的机构形式)的并联机构，且结果不能直观具体反应其意义和构成。所有三种方法均未实现机构自由度、工作空间、奇异的综合一体分析，且不能普遍适用于如图1所示的虚幻形式和真实形式的所有机构类型(串联机构、并联机构、混联机构)。

另外还有一些学者采用其他的方法，对并联机器人的奇异问题进行了研究。沈辉等［20］提出针对一般并联机构的奇异位形分类和判定方法，这种方法易于计算，且具有明显的几何和物理意义。Yu等利用可视化绘图方法对二自由度转动并联机构进行奇异和活动能力分析，Choi等采用几何方法对一平面纯转动关节并联机构进行奇异分析，这些方法只针对具体研究对象提出，适应范围有限［21］。

研究机构奇异的目的是如何避开工作空间中的奇异位形，所以，如何描绘出全部奇异位形是实现这个目标的前提。要完整的描述奇异形位的特征，如三维/二维/一维空间的形状、体积(范围)、分布特性，参数化的表示出这些特性有利于机构可控性的提高，但这样的描述非常困难，目前还没有文献发表［22］。

4 F、W、S一体化分析现状与不足

纵观国内外机构学研究在机构自由度分析、工作空间分析、奇异分析方面的理论和方法，可以总结归纳为如下两类情况(如图1所示)。

第一类，除了黄真教授提出的基于反螺旋理论的机构自由度求解方法适用于所有理想状态的现有机构类型，其它理论方法仅仅适用于部分机构的自由度求解。所有理论方法均只能针对机构自由度、工作空间、奇异的部分特性进行分析研究，而不能将自由度、工作空间、奇异综合一体分析研究。

第二类，部分现有理论方法对真实型的机构某些特性可以进行分析研究，如解析几何、微分几何、线几何、拓扑与群等理论方法，均只能针对机构自由度、工作空间、奇异的部分特性进行分析研究，而不能综合一体分析研究。

所有前述理论和方法均有各自的特点，对机构学的研究也做出了重要贡献。但这些理论和方法要么适应对象范围存在一定的限制，只针对特定机构类型或具体研究对象，不够普适;要么不能将机构自由度、工作空间、奇异综合一体分析;有的要么分析结论虽简洁直观，但不能具体反应其构成;有的要么分析结论虽具体，但无法直观反应其意义。所有分析结论没有统一的数学模型，反应各构成要素与机构自由度、工作空间、奇异的影响机理极其数学表达式。总之，所有这些针对机构自由度、工作空间、奇异的研究理论和方法均不具有系统普适、直观具体的特点。

图1 项目研究意义来源

6 结论与展望

历史证明，机构学的发展与数学息息相关，数学工具在现代机构学中的应用，极大地促进了机构学的发展。鉴于以往研究成果的局限性和不足之处，本文提出将综合运用多种数学理论，与机构学理论结合，探索出一套新的能够将自由度、工作空间、奇异综合一体分析的理论和方法，能够普遍适合于所有机构形式，并揭示运动副、支链对机构F、W、S及 F、W、S之间的影响机理，建立机构 F、W、S与运动副方位和范围、构件尺寸间的数学关系模型，并基于此研究成果，以实例和参数化的形式对数学模型进行验证。

通过深入的研究，不仅能丰富和完善现有机构学研究理论和方法，为机构自由度、工作空间、奇异分析提供系统普适、直观具体的科学理论和方法;同时，还可基于该理论和方法、有关的数学模型对工程实际领域的设计、应用提供有效的理论方法和技术支持，随着研究的深入和应用的不断拓宽，现有机构形式将会被快速推向实际应用，更多未知的机构及其应用将会变成现实。

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