儿童数学教育视角下“模型思想”的教学探索与实现

韩玉娟

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）总目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。”基本数学思想是指普适性的、一般性的、数学学科特有或者比较突出的思想，东北师范大学校长史宁中教授将基本数学思想界定为抽象思想、推理思想和模型思想，这三个基本数学思想也是“让学生学会用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界”的基础和具体体现，教师也越来越关注基本数学思想的渗透与培养。在小学阶段四大领域的教学中所涉及的“模型思想”内容十分丰富，本文将通过对“模型思想”教学的探索和实践，并在此基础上提出相应的概念解读、教材梳理、实践策略、教学建议与大家交流。

一、“模型思想”的内涵

（一）数学模型

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构，在社会生活的方方面面有着广泛的应用。史宁中教授认为：“通俗地说，数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事。”

广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由它们构成的算法系统都可以称为数学模型，主要的表现形式是数学符号表达式、图形和图表。从狭义上讲，数学模型就是只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，像“鸡兔同笼、植树问题”等一些典型的实际问题是对一类问题的刻画和表达，都是重要的狭义上的数学模型。曹培英教授认为：“广义、狭义的数学模型，都是人类进化、社会发展的产物。”

（二）模型思想

数学的模型思想是一般化的思想方法，就是针对要解决的问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。可见，模型思想体现在建立模型和模型应用两个方面。

《课标》明确指出，“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。并从实际出发，将建立和求解模型具体化为这样的三个过程：

《课标》这样的要求，不仅表明了数学的应用价值，同时明确了建立模型是数学应用和解决问题的核心，也是解决实际问题的关键，是解决实际问题的一种强有力的工具。从这个意义上讲，数学教学实际上就是引导学生理解和探索前人构建的一个个数学模型，逐步形成模型思想的过程，是用数学语言来描述现实现象的过程，是实际问题“数学化”的过程，而求解模型则是问题解决的过程，是模型应用的过程。

二、小学数学教材中模型思想的具体体现

有专家将小学阶段四大领域中所涉及的数学模型划分为公式模型、方程模型、集合模型、函数模型（正、反比例）四种重要的模型。人教社小学数学编辑室主任王永春老师在《小学数学与数学思想方法》一书中指出，在小学阶段，一般的数量关系式、公式、按规律排列的一组数、算式或图形等都可以看成是数学模型。学习和参考王永春老师对小学数学模型的梳理结果，笔者在此基础上稍稍进行了调整和补充，具体见下表：

三、渗透模型思想的教学实践策略

我们来了解一下建立和求解模型的过程，可以用下面这样一幅图来表示：

在这一过程中，发现和提出数学问题是建立模型的基础和起点，通过观察分析、抽象概括、选择判断等活动完成模式抽象，得到模型是最重要环节。可以说，数学模型是静态的形式化结构，数学建模就是动态的数学化的过程。

策略一：以生活原型为基础，构建数学模型

生活原型是构建数学模型的基础，教师应该将生活中源源不断的、丰富多彩的具体事例引入课堂，通过现实的生活原型引导学生提出数学问题，为发现和理解数学模型做好准备。这样做，一方面，可以消除学生对数学知识的恐惧，感受生活中熟悉的内容；另一方面，教师也在悄然渗透模型思想。

最经典的莫过于“哥尼斯堡七桥问题”：18世纪东普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来。一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点呢？从这样一个生活原型中，数学家欧拉根据陆地、桥和人的关系，巧妙地把小岛、河岸抽象成“点”，把桥抽象成“线”，将能否一次无重复地走过七座桥的问题转化为能否“一笔画出”这个几何模型的问题，用数学的方法证明不能一笔画出，从而得出人也不能一次无重复地走过这七座桥的结论。

在教学“植树问题”时，教师会为学生提供真实的生活原型：学校要召开运动会，从校门口到教学楼之间50米的甬道两侧每隔5米要插上一面彩旗，一共需要多少面彩旗呢？在解决问题的过程中体会和建构“点数与段数”之间关系的数学模型。在教学正比例关系时，老师为学生提供多种商品的销售记录，学生在观察、讨论、计算的过程中，逐渐发现和理解这两种量中相对应的两个数的比值一定，从而建构“正比例关系”的数学模型。

策略二：以生活情境为载体，经历建模过程

1. 经历从一个到一类的过程

模型的建立不是一蹴而就的，从一个情境或现象中建构的数学模型，得到的数学结果和数学规律，需要通过检验，需要以生活情境为载体，从不同情境中多次感悟，经历从 “境”到“模”的过程，要多举一些实例。比如对于加法这个数学运算模型，要通过大量的生活情境，反复感受把两部分合并成一个部分用加法计算，经历多次的长时间的感悟，学生才能够逐渐理解加法的意义，形成加法模型。

例如全国著名特级教师吴正宪执教的“乘法分配律”一课，为了让学生顺利构建“a（b+c）= ab+ac”这个数学模型，吴老师给学生提供了三个不同的素材：

①左边的花坛中每行有12朵花，共有8行。右边的花坛中每行有8朵花，共有8行。一共有多少朵花？

②两个花坛一共有多大的面积？

③厨房要铺瓷砖，一共需要铺多大的面积？

在解决问题、交流汇报的过程中，多个生活原型帮助学生似乎找到了一些“感觉”，他们体会到虽然情境不一样，但是问题的本质是一样的，解决问题都有两种方法，这两种方法结果是一样的，而且这两种方法在计算过程中存在某种联系……为了让这种“感觉”更清晰一些，吴老师又安排让学生自己创造几个符合“这种感觉”的算式。

这一类素材的呈现和问题的解决，使得学生对于这个模型经历了一个循序渐进、从模糊到清晰的领悟过程。

2. 经历从具体到抽象的过程

数学模型源于生活原型，是对生活原型的高度凝练、简化与提升而形成的，数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物本质属性与内在联系的理想化表述，因此，数学的抽象与概括是建立模型的重要过程。要让学生经历从具体感知到抽象概括的过程，用数学的语言和方式进行表达。

在吴老师的“乘法分配律”一课教学中，学生通过上述一类问题感受到有规律存在，找到一点“感觉”，教师适时安排了抽象概括的环节：这一类问题有什么规律？你能把这个共同的规律用自己的语言写出来吗？

生：我发现结果是一样的，而且写不完。

生：两个物体的长加在一起再乘宽就等于面积。

生：这一类问题，两组数可以分开算，也可以一起算，而且结果一样，写不完。两个算式有一个数一样。

学生的表达反映出学生对于乘法分配律这个模型已经有了充分的感知，同时也反映出学生的抽象水平和概括水平存在差异，有的学生还只是停留在“悟模”的阶段，不能进行完整的归纳概括，有的学生抽象水平高，已经“成模”，对于模型的概括就比较好。在建立模型的过程中，经历从具体到抽象的过程是非常重要的，是必不可少的，这是对数学本质的理解与抽象。

与此同时，模型的建立还要能够借助具体事件和情境解读抽象的表达式，这也是对模型内化的过程。在教学“乘法初步认识”时，学生已经从多个生活现象中经历了图形表征、语言表征、符号表征的过程，抽象出“求几个相同加数和的简便运算”这一乘法模型，能否用你喜欢的方式表达5×4的含义呢？5×4作为一个抽象的算式模型，学生理解吗？只需看看学生的作品就清楚了。

还有的学生用语言描述：餐厅里每桌有5位客人，4桌是多少人？有的学生画出一个花瓶中有4枝花，5个花瓶有几枝花？……不同的形式都表达着同一个算式的意思。可见，乘法模型已经在学生头脑中建立起来。从具体解释抽象，用生活中的故事解读数学模型，是检验学生是否理解数学模型、理解知识本质的有效途径。

3. 经历从猜想到验证的过程

“提出猜想—验证猜想”是一种科学精神，由于小学生年龄小，生活经验、认知水平和探究能力都是有限的，在小学阶段建模最有效、最直接的方法就是让学生经历“提出猜想—验证猜想”的过程。小学数学中很多模型都可以通过这样的方式来建立。

在“平行四边形的面积”一课教学中，教师通过谈话引发学生猜想：同学们，我们学过长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长，猜一猜，这个平行四边形停车位的面积该怎样计算呢？

受到原有知识经验的影响，学生当中出现了三种方法：4×5，4×6，5×6。当然，这些都只是猜想，到底哪一个是正确的呢？用原有的方法验证一下吧。

学生通过数方格或将平行四边形转化成长方形，发现平行四边形的面积应该是4×6，所以平行四边形的面积=底×高。

所有的平行四边形都能用底×高来计算吗？教师为学生提供不同的平行四边形来进行再次验证。最终无一例外都验证这一结论的正确性，从而建立了平行四边形的面积计算模型。

“提出猜想—验证猜想”也是数学建模的重要途径，根据数学问题提出一种猜想，也许这个猜想是错的，但只要是学生基于经验认真思考的都应该给予积极的正面回应，经过检验的正确猜想就成为一个数学结果，进而会成为一个数学模型。

策略三：以解决问题为目标，自觉应用模型

形成模型思想，就要让学生在“建模”之后“用模”，引导他们运用数学模型解决实际生活中的问题，内化模型，并体会模型的价值和作用。

在学生建立了“正比例关系”这一数学模型之后，教师巧妙地运用了著名数学教育家弗赖登塔尔设计的经典数学问题“巨人的手印”：夜晚，巨人访问我们的校园，在黑板上留下巨大的手印，你能根据他的手印为他设计书籍、桌子和椅子的尺寸吗？在这一问题的引领下，学生积极想办法，主动尝试，用自己的手和巨人的手相比，得到一个比值，同时量出自己的书籍、桌椅的尺寸，并通过这个固定的比值来推算巨人的这些物品的大小。在解决这一问题的过程中，学生通过测量、观察、计算，进一步理解正比例关系模型的内涵。

经典的“鸡兔同笼”问题大家都很熟悉，“鸡和兔子共8个头26条腿，鸡兔各几只？”在学生利用画表、画图、假设等方法解决问题并建立数学模型之后，可以进行适当的变式练习：同学们去划船，大船可以坐6人，小船可以坐4人，有120名同学，25只船，大小船各有几只呢？解决问题时，关键是能否找到对应关系，120人相当于鸡和兔的总腿数，25只船相当于鸡和兔的总只数。只要找到对应关系就能利用“鸡兔同笼”的数学模型解决租船问题了。

利用已有模型解决问题是小学阶段的一个主要内容，有利于学生理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想和方法，积累解决问题的经验，形成数学的思维方式。

四、渗透模型思想的教学建议

（一）情境和活动设计符合儿童年龄特征和思维特点

数学模型是很抽象的。6～12岁的儿童由于其身体和心理发育都还不成熟，思维上以形象思维为主，逐渐向抽象思维过渡，因此在建立数学模型的过程中，要考虑到儿童的年龄特点、认知规律、生活经验等，应该选择学生熟悉的、感兴趣的素材和生活情境为依托，让学生经历数学模型再创造的过程。

（二）充分经历建模过程，尊重儿童的独特理解与个性表达

建立数学模型是一个比较复杂并且具有挑战性的过程，教师要让学生充分经历建立数学模型的过程，并且根据学生的起点、基础、思维水平的不同，要求学生用说一说、画一画、写一写等不同方式表达对模型的感悟和理解，要关注抽象概括能力的培养。

（三）模型思想的渗透要选择合适的知识载体并循序渐进

模型思想的形成需要经历一个长期的过程，日常教学中，要增强对模型思想的认识，精心筛选教学内容和知识载体，选择合适的契机潜移默化并循序渐进地进行渗透。

参考文献：

[1]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014（10）.

[2]王光明，范文贵，主编.新版课程标准解析与教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2012（7）.