数学探究活动的设计应基于学生的知识和经验
——以“利用函数性质判定方程解的存在”教学为例

张建民　汪喜天

(安徽省颍上第一中学，236200)



数学探究活动的设计应基于学生的知识和经验
——以“利用函数性质判定方程解的存在”教学为例

张建民汪喜天

(安徽省颍上第一中学，236200)

一、引言

随着新课程改革的进一步发展,课堂教学的模式正悄然发生改变.有研究者指出,在课程与教学领域正在发生范式的迁移,即从“内容+学生+讲授者”转向为“问题+问题解决者+指导者”,后者即为探究式教学模式．为实践新课程的基本理念，“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”,数学探究日益成为一线教师积极尝试的课堂教学方式之一．

探究教学模式的理论基础是杜威的“五步教学法”和布鲁纳的发现学习理论．杜威提出的“教学五步”是:第一,学生要有一个真实的经验的情境——要有一个对活动本身感兴趣的连续的活动;第二,在这个情境内部产生一个真实的问题,作为思维的刺激物;第三,要占有知识资料,从事必要的观察,对付这个问题;第四,必须一步一步地展开他所想出的解决问题的方法;第五,要有机会通过运用来检验他的想法,使这些想法意义明确,并且让他自己去发现他们是否有效．布鲁纳认为:“发现学习就是以培养探究性思维的方法为目标,以基于教材为内容,使学生通过再发现的步骤进行学习”.探究教学模式的操作程序主要有:创设问题情境,激发学生的好奇心、求知欲;教师引导学生围绕问题进行探究,发现概念、原理;归纳总结,拓展应用．

基于此,设计有利于激发学生探究的动机和需求的问题,是数学探究活动展开的关键.注重学生在已有的知识发展水平和活动经验基础上的思维自由伸展,体验自主获取数学结论的乐趣,回归探究的本真是数学探究活动的核心.本文笔者就“利用函数性质判定方程解的存在”(北师大版高中数学必修1第四章第一节“函数与方程”第一课时)教学为例,谈谈自己的思考和实践,与同行交流探讨．

二、教学案例

问题1方程x2-x-6=0是否有解?如何判定?若有解,如何求解?

设计说明学生对一元二次方程的根的判定和求解是已经掌握的知识.用根的判别式Δ=b2-4ac可以判定所有一元二次方程的根的存在情况,当Δ≥0,可用求根公式求出所有一元二次方程的根.另外，也可以利用函数图象法求解,即利用函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交点的横坐标来确定方程的解,这也是学生在初中已经学过的知识,学生是熟悉的．这样设计是“依据学生已有的知识水平和活动经验”(课标要求),是学生进行探究的基点,也为以下的探究活动奠定经验基础,是符合学生的认知规律的．

课堂实践:

生1:由根的判别式Δ=25,可判定方程有两个不等的实根,因式分解法求出方程的根是3和-2.

生2:也可以用求根公式求出它的根是3和-2.

师:还有什么方法可以判定此方程的根?

(学生思考片刻后)

生3:图象法,画出函数f(x)=x2-x-6图象,发现图象与x轴交点有两个,分别是(3,0)和(-2,0)(图象展示在黑板上)，即3和-2是方程的根．

师:很好,下面我们明确一个概念,函数的零点:我们把函数y=f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.

问题2方程2x-x2=0是否有解?如何判定?

设计说明对方程2x-x2=0的解的判定,对学生具有挑战性,学生很难一下子找到方法.正因如此,才能激发学生探究的欲望,学生才有兴趣积极开动脑筋,启动思维．虽然学生对问题2不能直接找到答案,但学生对方程2x-x2=0中的式子2x和x2是熟悉的,学生已有的知识和经验是学生思考新问题的起点．

课堂实践:(学生经过深入思考后)

生1:有两个根是2和4.

师:你怎样得到的?

生1:通过观察,试值得出的.

生2:构造函数y=2x和y=x2,作出函数图象(如图1).两函数的图象有两个交点,应有两个解.

师:生1得到的两根与生2作的图象吻合吗?

生3:构造函数f(x)=2x-x2,通过列表、描点、连线作函数图象,但是我只描出点,却不知道该如何连线．

师:很好,下面我们用几何画板演示一下生2与生3构造的函数图象(如图2、3)．

师:通过图象,我们可以看出,此方程有三个根,其中有两个正实根，易知它们是2和4,另一个根在区间(-1,0)内.同学们试想,我们可以用什么方法判定函数f(x)=2x-x2在区间(-1,0)内有零点呢?

(学生思考)

接着,结合图象,教师引导学生,通过f(-1)<0与f(0)>0可判定函数在区间(-1,0)内应有根,并在此基础上进一步讨论由f(-1)·f(0)<0可判定此方程根的存在的合理性.但对于区间(-1,0)内的根，很难求出其准确值,这正是函数零点判定定理存在的必要性,同时为下一节“利用二分法求方程的近似解”的学习奠定基础．

然后,进一步推广到一般,得出:当函数满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)有零点．通过以上师生的共同努力得出结论:对于不能直接求解的方程,可以通过条件f(a)·f(b)<0,判定函数f(x)在区间(a,b)内有零点．

问题3若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0,一定能够判定函数在区间(a,b)有零点吗?

学生通过交流讨论,得出函数图象在闭区间[a,b]上必须是连续的,如图4(图5函数图象虽然满足f(a)·f(b)<0,但没有零点)

师:我们已经学过的函数,哪些函数图象是不连续的?

生:反比例函数的图象和部分分段函数的图象,……

(通过学生熟悉的函数图象认识函数图象连续和不连续)

问题4若函数y=f(x)的图象在闭区间[a,b]上连续且满足f(a)·f(b)<0,那么函数在区间(a,b)内的零点是唯一吗?请结合函数f(x)=2x-x2的图象思考.

学生经过交流讨论,得出满足上述条件时零点不唯一.如图6，虽然函数y=f(x)图象在闭区间[-1,5]上连续且满足f(a)·f(b)<0,但是它却有三个零点．

问题5若函数y=f(x)图象在闭区间[a,b]上连续且有零点,一定有f(a)·f(b)<0吗?

学生经过交流讨论后,多名学生给出否定的答案:如图7，虽然函数在闭区间[a,b]上有零点,但f(a)·f(b)>0.

归纳函数零点判定定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b) 内函数y=f(x)至少有一个有零点,即相应的方程f(x)=0 在区间(a,b)内至少有一个实数根,其图象与横轴至少有一个交点．

设计说明在问题1的铺垫与问题2的引领下,通过问题3、问题4、问题5的研讨,学生对于函数零点的判定方法的由来,判定定理中的核心关键词有了深入的理解.对以上问题的解答过程是在学生充分交流讨论的基础上,经过师生的对话交流共同努力下逐步完成的,整个过程学生的思维是自由的、深入的、学生的思维经历了阵痛但情绪是愉悦的．这一教学过程有效地落实了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的教学目标．

学生经历以上探究过程,对最终获得的结论是兴奋的,对函数零点判定定理的适用对象、途径、方法和价值认识是深刻的,认识到运用它判定方程根的存在的重要性和优越性．

三、教学思考

“探索是教学的生命线”．教师要善于注重教学素材,启迪学生探究研讨．建构主义学习理论认为,学习者依赖自身建构自己的知识,其他任何人都无法代替的;新的学习依赖

于已有的知识经验,原有的知识经验是新知识的生长点,脱离原有的知识经验,知识建构活动就会成为无源之水,无本之木;知识的获得是参与教学活动的各类主体之间通过对话、交往、互动实现“视野融合”的过程．

数学课堂中的探究活动不但能够调动学生参与课堂学习的积极性,落实学生的主体地位,同时也能有效地提高学生的数学学习能力,培养学生的创新意识和创新精神．但受诸多因素的影响,大部分课堂仍以教师为中心,数学课堂探究追求形式,往往是教师牵着学生的鼻子进行所谓的探究过程,学生没有真正亲身经历探究的过程,学生的思维不能展开,不够深入．数学课堂探究应注重问题引领,注重学生在已有的知识发展水平和活动经验基础上的思维自由伸展,回归探究的本真．