基于接触热阻的高速精密电主轴热特性分析

刘志峰，马澄宇，赵永胜，方 翠

（北京工业大学先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124）

基于接触热阻的高速精密电主轴热特性分析

刘志峰，马澄宇，赵永胜，方 翠

（北京工业大学先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124）

主轴系统热问题是高精度机床必须要考虑的关键问题，接触热阻的大小影响机床的传热性能，从而影响其加工精度.利用表面接触的分形理论，计算接触面的量纲一的接触面积，针对接触微凸体的热阻由基体热阻和收缩热阻形成接触对，建立了一个考虑接触界面基体热阻和收缩热阻的表面接触热阻模型，讨论了不同的分形参数对接触热阻的影响.以立式加工中心电主轴系统为研究对象，分析了电机的损耗发热和轴承的摩擦发热，运用有限元软件对电主轴模型在有无接触热阻2种情况下的稳态温度场和稳态热变形进行仿真分析.讨论了有无热阻情况下电主轴温度和变形变化量，论证了接触热阻对电主轴热温度场和热变形的影响.结果表明：电主轴考虑接触电阻时温度将升高，变形将增加.

接触热阻；电主轴；分形；热特性

随着机械工业的高速发展，对机床的加工精度要求越来越高.电主轴虽然对传统机械主轴而言刚度较高、力学性能较好、弹性变形较小，但电主轴的电机发热和轴承摩擦发热对高速高精密机床的影响更为突出，因此为了进一步改善和提高机床的加工精度，研究电主轴的热态特性具有重要意义.在机械结构设计等领域中，接触热阻是很重要参数之一，其取值是否精确直接关系到机械结构的内部传热的效率.因此，通过研究粗糙表面的接触热阻对电主轴系统热特性的分析从而保证机床精度具有实际意义.

2009年，Chang等［1］提出了一种比热结构耦合模型更为直接的位移测量系统，可更精确地监控和补偿高速电主轴系统的热增长.2010年，Holkup等［2］对滚动轴承提出了基于有限元方法的热结构耦合模型，并实验验证了热结构主轴模型的温度分布和热变形，以及在制定工作环境下的轴承的刚度和接触载荷.2012年，Uhlmann等［3］考虑高速电主轴各部件间的热源、接触、对流等复杂的热边界条件，提出了三维有限元模型来预测高速电主轴的热行为，并进行了实验验证.分形接触热阻模型方面，Xu等［4］结合分形接触理论和经典热传递理论，基于W-M函数的改进M-B分形接触模型，建立了一定假设条件下的结合面接触热阻模型，并推导出具有尺度独立性的接触热阻理论解析公式.姬翠翠等［5-6［7-8］基于分形理论建立了一个计算接触表面间接触热导的随机模型.

本文考虑了微凸体间的基体传热和收缩传热2种传热途径，建立接触热阻分形模型，计算了主轴轴承系统的热边界条件，运用有限元分析软件对立式加工中心电主轴在有无接触热阻的条件下分别进行了温度场和热变形分析与验证.

1　粗糙表面的分形热阻模型

1.1分形表征

具有分形特征的粗糙表面的轮廓曲线可用能够生成分形曲线和曲面的著名的 Weierstrass-Mandelbrot函数（简称W-M函数）来模拟生成.试样长度L必须小于一个临界值Lu，这样才能反映出微凸体高度的微观特征，所以对于小区域长度Lu，W-M函数可写为

式中：z（x）为粗糙表面轮廓的高度；x为粗糙表面轮廓的位移坐标；G为分形粗糙度参数，反映z（x）幅值的大小；D为轮廓分形维数，定性反映表面轮廓在所有尺度上的不规则性；γ为大于1的常数，对于服从正态分布的随机表面，γ=1.5较符合高频谱密度和相位随机的情况；n为空间频率序数；γn为轮廓曲线的空间频率，对应于粗糙表面波长 λn的倒数（γn=1/λn）；nL是与曲线结构的最低截止频率相对应的序数，nL依赖于取样长度L，可由γnL=1/L确定.

当粗糙表面与刚性光滑表面接触时，界面上存在无数大小不等的接触点并且接触点尺寸越小其数量就越多.结合面接触示意图如图1所示.

由W-M函数可得微凸峰截面积的分布函数为

式中：a＇为微凸峰变形后的截面积；ψ为微观接触的域扩张系数；a＇L为最大微凸峰截面积.

根据文献［9-10］，微观接触的域扩张系数为

则小区域内实际接触面积Arf可得

根据弹性力学可知，最大微凸峰截面积a＇L和接触面积之间存在关系式a＇L=2aL.

由分形模型，临界微凸体接触面积可给出

根据接触理论，当最大微凸体接触面积aL＜ac时，所有微凸体都是塑性变形；当aL＞ac时，有的微凸体发生塑性变形，有的微凸体发生弹性变形.

对于小区域长度Lu上的量纲一接触面积Ar，即实际接触面积Arf与名义接触面积A的比，可给出：

当aL＜ac时，

当aL＞ac时，

其中

最大微凸峰截面积a＇L为

1.2接触热阻模型

如图1中所示，热流通过接触界面传递时只通过这些离散的接触点，接触界面之间充满流体介质.因此热流流过粗糙接触表面时热流线会发生收缩，即收缩热阻；当接触面较粗糙时，热流通过微凸体自身会产生基体热阻.则两粗糙表面接触热阻网络如图2所示.

整个平面的热流可看作由相互平行的通过离散接触点的小热流通道并联而成.根据粗糙表面接触热阻网络，总的接触热阻R包括基体热阻Rb和收缩热阻Rc的串联：

1.3接触点的基体热阻

由分形接触模型可知，对于接触面积a的微凸体，在接触高度d＇范围内的基体热阻可表达为

各个微凸体间基体热阻间为并联关系，根据式（2）及a＇L=2aL，可得所有微凸体的基体热阻为

对于相互接触的2个平面，接触高度d＇可写为

式中z＇max为最大微凸体高度，由 W-M可知，z＇max= |zmax|+|zmin|.根据弹性理论，微凸体最大变形量为

1.4接触点的收缩热阻

对于接触面积a的微凸体，相应的收缩热阻［5］为

由图2可知，各个微凸体间收缩热阻也为并联关系，则

将式（12）（16）带入式（10），可得接触界面总热阻

1.5分形参数对接触热阻影响

下面讨论分形参数对接触热阻的影响.由式（1）生成二维分形表面，以不锈钢与不锈钢的接触为研究对象，弹性模量E=2.00×105MPa，泊松比ν=0.29，导热系数k=16.2 W/（m·℃），分别控制分形维数D和粗糙度参数G的变化，讨论其对接触热阻的影响.为了使结果更具对比性和一般性，对下列参量进行量纲一化

分形维数D和载荷一定时，不同的粗糙度参数G下量纲一的接触热阻随载荷的变化分别如图3所示，粗糙度参数G值越大说明表面轮廓幅值越大，接触表面就越粗糙，导致实际接触面积越小，量纲一的接触热阻也就越大.

粗糙度参数G和载荷一定时，不同的分形维数D下量纲一的接触热阻随载荷的变化分别如图4所示，分形维数D越大，接触表面微凸体越平坦，接触表面就越光滑，实际接触面积就越大，量纲一的接触热阻也随之越大.

2　电主轴热源分析与计算

机床主轴在工作时存在2个主要热源：电机的功率损耗和轴承的摩擦生热（即滚动体与轴承内外圈的接触摩擦发热）.

电主轴的电机损耗发热由机械损耗Pn、电损耗Pe、磁滞损耗Pt组成［11-12］.

式中：Pn为机械损耗；C1为摩擦系数（通常根据经验来确定）；r为转子的外半径，m；L1为转子的长度，m；ω为电机角速度，rad/s；ρ1为空气密度，kg/ m3；Pe为电损耗；I为电流，A；R为导体的电阻，Ω；ρ为导体的电阻率；L为导体的长度，m；S为导体的截面积，m2；Pt为磁滞损耗；C为与电工钢牌号有关的常数；f为磁化频率，Hz；Bmax为磁感应强度最大值，T.

摩擦力矩是引起轴承发热的主要原因，轴承的发热量［13］为

式中：Hf为轴承摩擦发热量，W；M为轴承摩擦总力矩，N·mm；轴承摩擦力矩M包括外加载荷而引起的摩擦力矩ML和润滑剂的黏性摩擦而产生的力矩Mv，即

式中：f1为与轴承类型与外加载荷有关的参数；Fβ为轴承所受的动态当量载荷，N；dm为轴承中径，为轴承内圈与外圈和的平均值，mm；v0为工作温度下的润滑剂运动黏度，mm2/s；f0为与轴承设计和润滑方式有关的系数，角接触球轴承f0=1.

3　电主轴系统温度场分析

将电主轴三维实体模型导入到ANSYS有限元分析软件中，采用自动网格划分方法，共生成108 238个单元和271 485个节点.然后设置电主轴系统的材料参数，如表1所示，施加热载荷和热边界条件.设定分析条件为：外界环境温度为22℃；轴承油-气润滑系统的气体压力为0.4 MPa；油-水热交换冷却系统的冷却油流量为0.25 L/min，压力为2.0 MPa，入口温度为22℃，主轴转速为15 000 r/ min，电主轴初始温度为22℃.分别对电主轴系统进行有接触热阻（根据上述理论计算接触热导值如表2所示）和无接触热阻的温度场分析，主轴关键结合面接触热导分布如图所示5，待热平衡后，有接触热阻与无接触热阻的电主轴温度场分析结果如图6、7所示.

表1　主轴零部件材料属性Table 1 Spindle parts material properties

表2　关键结合面接触热导值Table 2 Key interface thermal contact conductivity

从图6所示的电主轴系统温度场分析结果可以看出，有接触热阻的条件下，最高温度为70.494℃，发生在转子处，定子芯部最高为56.160℃，这是由于电机转子的生热率几乎是定子的2倍，加上电主轴系统是个相对封闭的系统，散热条件差，转子的热量只有通过主轴两端和定子进行散热，而定子有冷却套中的冷却油进行冷却可以带走大量的热，使得定子温度相对较低，壳体中部温升较小.同时电主轴系统前后轴承温度大概分别为61℃和56℃.无接触热阻的条件下，达到稳态时，最高温度为66.975℃，发生在转子处，定子芯部最高为55.398℃，前后轴承温度大概分别为56℃和52℃.由此对比可以看出，在考虑热阻时电主轴系统的温度整体有所上升，这是因为电主轴系统中考虑接触热阻时，阻碍了热源热量的散发，导致电主轴系统温度的相对上升；而没有考虑热阻时，热阻热传导无穷大，电主轴系统的热源产生的热量散热相对较快，整体的温度相对较低.由各部分温度变化可以看出，中间部分温度变化较小，主轴两端特别是轴承部分温度变化较大，这是由于主轴中间部分材质基本均匀，热导较大，传热较好；相反两端温度变化较大，这是由于两端轴承处的热导较小，传热较差.因此电主轴热态分析不能忽视接触热阻的影响.

4　电主轴的热变形分析

电主轴系统中各部件的温升和温度场分布不均将会导致热变形.热变形越大，电主轴系统热态特性就越差.因此，在高速电主轴稳态温度场分析的基础上，以此作为热载荷，综合电主轴系统受力情况，以主轴箱体底部作为约束条件，考察其热变形情况，对此做出电主轴系统的热结构分析，有无接触热阻电主轴系统的热变形云图如图8、9所示.

从图8可知，加接触热阻电主轴系统综合热变形量最大为0.089 603 mm，主轴在x、y、z方向的最大变 形 量分 别 为 0.009 317 6、0.081 287、 -0.010 281 mm.从图9可知，不加接触热阻电主轴系统综合热变形量最大为0.081 632 mm，主轴在x、y、z方向的最大变形量分别为0.008 768 8、0.077 767、-0.010 116 mm.通过比较可知，电主轴系统的综合热变形量提高了10%，在主轴径向x、y方向的最大变形量分别提高了大约6.3%和4.5%，z方向变形量基本相同.由此可见，在考虑热阻的情况下，电主轴系统主要部件的整体的热变形量不仅受到了热态特性的影响，而且很大程度上受到了热阻的影响，尤其是电主轴径向的热变形影响较大，从而造成了比不考虑热阻情况下电主轴系统的热变形更为严重的情形，由此立式加工中心的加工精度将会降低.因此，在实际工况下，需要考虑接触热阻的影响，以符合实际情形，提高机床的加工精度.

5　结论

1）分析接触粗糙界面间热阻对电主轴系统的热影响，利用分形的方法来模拟实际的粗糙界面.

2）建立了一个考虑接触界面的基体热阻和收缩热阻的表面接触分形模型，分析了分形参数对接触总热阻的影响.

3）依托建立的接触热阻模型，分析了结合面的接触热阻对电主轴系统温度场分布和热变形影响，其中有接触热阻的电主轴最高温度比无接触热阻的高3.52℃，综合热变形提高了10%左右，所以在电主轴温度场分析过程中必须充分考虑接触热阻这一因素.

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（责任编辑 杨开英）

Analysis of High Speed Motorized Spindle Thermal Characteristics Based on Thermal Contact Resistance

LIU Zhifeng，MA Chengyu，ZHAO Yongsheng，FANG Cui
（Beijing Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

The spindle system heat problem is a key problem that must be considered for high precision machine tool.The thermal contact resistance（TCR）affects the heat transfer performance of a machine tool，which affects the machining accuracy.In this paper，a model considerating the bulk resistance and shrink resistance surface of TCR was established by using the fractal theory of the contact surface.Motor heat and bearing friction heat in a vertical machining center motorized spindle system were analyzed.In case of considering TCR and without considering TCR，steady state temperature field and the steady state thermal deformation were analyzed.Results demonstrate the importance of TCR to the problem thermal characteristics of motorized spindle.The temperature will be higher and the deformation will be serious when TCR is considered.

thermal contact resistance（TCR）；motorized spindle；fractal； thermal characteristics

TH 161+.4

A

0254-0037（2016）01-0017-07

10.11936/bjutxb2015050085

2015-05-27

国家自然科学基金资助项目（51375025）；北京市自然科学基金资助项目（3132004）

刘志峰（1973—），男，教授，主要从事数字化设计与制造、制造信息化与信息管理系统方面的研究，E-mail：lzf@ bjut.edu.cn