六自由度Gough-Stewart并联机构的姿态能力

李保坤， 郭永存， 曹　毅

(1. 安徽理工大学机械工程学院，安徽 淮南　232001； 2. 安徽理工大学机械工程博士后科研流动站，安徽 淮南　232001； 3. 江南大学机械工程学院，江苏 无锡　214122；4. 上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室，上海　200240)



六自由度Gough-Stewart并联机构的姿态能力

李保坤1, 2， 郭永存1， 曹毅3, 4

(1. 安徽理工大学机械工程学院，安徽 淮南232001； 2. 安徽理工大学机械工程博士后科研流动站，安徽 淮南232001； 3. 江南大学机械工程学院，江苏 无锡214122；4. 上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室，上海200240)

为了优化并联机构的构型参数，以单位四元数为姿态参数构建Gough-Stewart并联机构位于给定位置处的具有一般符号形式的三维姿态奇异轨迹表达式，并给出机构姿态奇异曲面的三维图形化描述. 分析机构姿态奇异轨迹的性质，给出无奇异姿态空间的概念并说明其存在的必然性. 定义具有规则形状的无奇异姿态球的体积为姿态能力，并将其作为衡量机构无奇异姿态空间体积大小的一项重要指标. 探究机构构型参数和位置参数对姿态能力的影响情况并建立性能图谱. 研究表明：单位四元数可以有效地应用于该类型并联机构的姿态奇异和姿态能力描述.

并联机构；单位四元数；姿态奇异；姿态空间；姿态球；姿态能力

奇异位形严重影响Gough-Stewart并联机构的运动及力传递性能，机构若处于奇异状态，将严重失稳并导致其失控甚至被损坏. 因此，Gough-Stewart并联机构应位于远离奇异位形的区域工作[1].

Li等[2]指出，有必要得到并联机构的奇异轨迹表达式及其图形化描述，从而为进一步研究如何避开奇异位形提供必要的依据. 众所周知，Gough-Stewart并联机构具有6个自由度，机构的奇异轨迹曲面是一个嵌入六维空间的超曲面，故很难将其实施图形化描述. Li等[2]以ZYX-欧拉角为姿态参数，探讨了Gough-Stewart并联机构在若干三维子空间内的奇异轨迹曲面. 基于ZYX-欧拉角为姿态参数，Huang等[3]得到了该并联机构位于给定姿态时的位置奇异轨迹曲面. Li等[4]研究了该类型并联机构处于给定姿态时，位于三维位置空间内的奇异轨迹分布及其特征平面上的奇异轨迹的性质. Pendar等[5]提出利用平面几何中的Ceva定理研究了三角平台型Gough-Stewart并联机构的奇异位形. Bandyopadhyay等[6]基于欧拉参数为姿态参数，得出6-6型Gough-Stewart并联机构位于R3空间上的奇异轨迹，并将欧拉参数转化为球面描述形式，得到了该机构位于给定位置时的姿态奇异轨迹6次多项式. Jiang和Gosselin[7-8]以ZYX-为姿态参数，给出了3-3 型Gough-Stewart并联机构的非奇异姿态空间的搜索算法. Cheng等[9]以单位四元数为姿态参数，分别给出了Gough-Stewart并联机构位于给定姿态时的位置奇异轨迹和位于给定位置时的姿态奇异轨迹的图形化描述.

文献[10-12]提出利用运动规划的方法避开机构的奇异位形. 王玉新等[13]通过研究并联机构构型分岔特性，提出了一种利用扰动函数来规避并联机构转向点奇异的方法. 文献[14-17]提出无奇异工作空间的求解方法，机构在无奇异工作空间内工作将不会出现奇异位形. 无奇异工作空间实际上也是机构的有效工作空间，它的大小在某种程度上也决定了机构性能的好坏. 如何高效、准确地得到并联机构的有效工作空间，同时揭示机构构型参数、位姿参数等对机构有效工作空间大小的影响情况，是各类并联机器人机构结构与构型参数设计时的一项重要课题. 文献[18-19]给出了动、定平台为相似六角平台并相反布置的Gough-Stewart并联机构的姿态能力以及姿态空间算法，但对具有更加一般结构形式的动、定平台为非相似六角平台的姿态能力及其影响因素未做进一步的研究，并且上述文献给出的一般离散算法求解效率较低.

鉴于非相似型Gough-Stewart并联机构在结构型式上更具有一般性，在工程应用领域中也具有更广泛的应用前景，本文将进一步研究该类型并联机构的姿态奇异与姿态能力. 以单位四元数描述机构动平台的姿态，得到机构位于给定位置时的具有一般符号形式的姿态奇异轨迹方程，考虑到姿态奇异轨迹分布特性，给出一种计算机构姿态能力的高效求解算法，并进一步研究机构构型参数和位置参数对机构姿态能力的影响情况. 姿态能力可以衡量机构位于给定位置时非奇异姿态空间的大小，也可作为优化机构几何构型参数时的一项性能指标.

1　三维姿态奇异轨迹描述

六自由度Gough-Stewart并联机构的结构简图如图1所示，其动定平台为2个非相似型的半对称正六边形B1B2…B6，C1C2…C6(i=1,2,…,6)，并通过六根相同的球副- 移动副- 球副(或万向铰)支链(BiCi)相连.Bi和Ci分别为动定平台的6个顶点，Aj(j=1,3,5)为定平台六边形长边的交点.

图1中：P为机构动平台几何中心点；O为机构定平台的几何中心点；βm为动平台上边B4B5对应的中心角，0°≤βm≤120°；βb为定平台上边 C1C2对应的中心角，0°≤βb≤120°；Rm为动平台外接圆半径；Rb为定平台外接圆半径.

为分析并得到机构的奇异轨迹方程，在机构动平台上建立固连坐标系P-xyz，在定平台上建立固定参考系O-xyz. 将动平台中心点P作为动平台运动的位置参考点，设点P在固定参考系O-xyz中的位置矢量记为P=[X,Y,Z]T；记动平台各铰点Bi在动坐标系P-xyz中的位置矢量为bi(i=1, 2, …, 6)，记Bi在固定坐标系O-xyz中的位置矢量为Bi(i=1, 2, …, 6)；定平台各个铰点Ci在固定参考系O-xyz中的位置矢量记为Ci(i=1, 2, …, 6).

定义机构的初始姿态，其满足条件： 1) 给定机构动平台参考点P的位置； 2) 动定坐标系的相应坐标轴相互平行.

机构的几何构型取决于4个参数：Rm、Rb、βm、βb. 机构动定平台的形状分别取决于βm、βb，如表1所示.

表1　动定平台的形状与中心角大小的关系

(1)

由坐标变换原理不难得到Bi与bi满足

Bi=Rbi+P

(2)

将式(1)带入机构奇异位形判别矩阵

(3)

若令式(3)所示矩阵的行列式等于零，即可得到机构奇异位形关于位姿参数的解析表达式

F(A, B)=0

式中：A表示机构动平台的位置参数；B表示机构动平台的姿态参数.

(4)

式中：fi(i=1, 2, …, 73)均是机构构型参数Rm、Rb、βm、βb以及位置参数(X,Y,Z)的显示表示.

当给定机构的构型参数Rm=1、Rb=2、βm=75°、βb=105°，机构位于给定位置(0, 0, 4)时关于姿态参数(q1,q2,q3)的姿态奇异轨迹在笛卡儿坐标系中的三维图形化描述如图2所示.

2　姿态奇异性质分析

为便于阐述机构处于给定位置时姿态奇异位形的性质，在此给出“姿态原点”的概念：当机构位于“姿态原点”时，应满足机构动、定坐标系具有相同的姿态，机构动平台的姿态参数为(0, 0, 0) .

当机构处于姿态原点时，将机构的位置参数A=(X,Y,Z)及姿态参数B=(0, 0, 0)带入式(4)便可得到机构位于初始位形时的奇异轨迹表达式

gZ3=0

(5)

式中：g由机构构型参数Rb、Rm、βb、βm决定，并且只要βb+βm≠120°，即只要机构不满足结构奇异时，必有g≠0.

式(5)不含位置参数X、Y，若使式(5)成立，必然有Z=0. 也即是说，当Z≠0也即动、 定平台不重合且机构位于姿态原点(0, 0, 0)时，无论位置参数X、Y为何值，机构的雅可比矩阵行列式必不等于0，即机构不会处于奇异位形. 另一方面，机构处于给定位置时的姿态奇异轨迹方程(4)必然关于姿态参数(q1,q2,q3)连续，因此，当给定机构位置参数(X,Y,Z)，机构在关于姿态参数B的姿态原点(0, 0, 0)附近必然存在一个无奇异姿态空间. 从图2可以看出，机构在若干给定位置处的姿态原点附近，确实存在一个无奇异姿态空间. 综上所述，可得出以下重要定论：

定论对于非结构奇异性六自由度Gough-Stewart并联机构，若动、 定平台不在同一平面内，则机构在以单位四元数表征的三维姿态参数空间原点即(1, 0, 0, 0)附近，理论上必然存在一个无奇异姿态空间.

从图2可看出，由于姿态奇异轨迹分布的复杂性，很难确定以上所述的理论无奇异姿态空间的形状及大小，而并联机器人机构在实际应用时，人们常希望得到具有一定规则形状及大小的姿态空间. 因此，为便于确定理论无奇异姿态空间，在此，将具有规则形状的姿态奇异三维曲面最小内切球作为机构的理论无奇异姿态空间，并且球心为姿态原点(q1,q2,q3)=(0, 0, 0)，称此球为无奇异姿态球，如图3所示. 并将该球的体积大小作为衡量机构处于给定位置时的无奇异姿态变换能力，简称为姿态能力(orientation- capability). 由于球的体积决定于其半径大小，因此，也可将无奇异姿态球半径作为衡量机构姿态能力的大小，无奇异姿态球半径越大，机构的姿态能力越大，理论无奇异姿态空间体积将越大.

3　姿态能力的数值算法

为便于计算机构姿态能力大小，并考虑单位四元数的性质，将单位四元数转换成下列球坐标表示形式：

q1=rsinαcosβ

q2=rsinαsinβ

q3=rcosα

α[0, π],β∈[0, 2π],r∈[0,1]

(6)

将单位四元数转换为球坐标形式计算的另一个原因是为便于计算姿态能力大小

将式(6)带入式(4)，可得到关于r、α、β的方程

F(r,α,β)=0

(7)

因而，计算机构在给定位置时的姿态能力便转化成对于所有的α、β取值，满足式(7)时搜寻r的最小值rmin问题. Pernkopf等[14]综合利用二分法和Sturm原理在Maple软件中来求解无奇异姿态空间. 本文给出另一种计算姿态能力大小的一种通用算法，该算法综合利用逐步搜索算法和二分法来精确地计算姿态能力，算法如下：

步骤1将机构构型参数Rb、Rm、αb、βm，机构动平台位置参数(X,Y,Z)，以及式(6)代入式(4)，将式(4)转换成关于r、α、β的式(7).

步骤2将α、β取值范围划分成步长分别为Δα、 Δβ的一系列微分子空间

αi+1=βi+Δα(i,i+1=1, 2, …, π/Δα)

βj+1=βj+Δβ(j,j+1=1, 2, …, 2π/Δβ)

式中:α1=0；β1=0；r1=0. 在α=αi并β=βj的微分子空间内，式(7)关于r在[0, 1]的实数解可能不止一个，将其中较小的一个解记为ri,j，如图4所示.

步骤3设α=αi(i,i+1=1, 2, …, π/Δα)，并执行步骤3(a)～(e).

(a) 设β=βj(j,j+1=1, 2, …, 2π/Δβ)，将r以步长为Δr从0开始逐步增加，并将第k个值记为rk(k=1, 2, …, 1/(r)). 将rk、αi及βj带入式(7)左边，并将其值记为F(rk). 若满足F(rk)×F(rk+1)≤0或rk=1，即可停止步骤3(a)，并继续步骤3(b)～3(f).

(b) 若F(rk)×F(rk+1)=0，则记ri,j=rk+1.

(c) 若F(rk)×F(rk+1)<0，则必有ri,j∈(rk,rk+1). 此时，搜寻ri,j即是搜寻如式(7)所示关于未知数r的在(rk,rk+1)的解，这样，可利用二分法在搜索区间 [rk,rk+1]上求解方程的根. 关于二分法的具体算法，在此不再赘述.

(d) 若对于所有的rk均有F(rk)×F(rk+1)>0，则记ri,j=1. 此种情况下，也即α=αi并β=βj时，关于r的式(7)无解.

(e) 对于其他所有β值，重复3(a)～3(d).

(f) 对于其他所有α值，重复3(a)～3(e).

步骤4将搜索得到的所有ri,j取最小值(i=1, 2, …, π/Δα;j=1, 2, …, 2π/Δβ)便可得到无奇异姿态球半径即姿态能力r，即有r=min(ri,j).

步骤3(c)利用了连续函数的介值定理. 当α、β均给定时，式(7)左边是关于r的连续函数，若r从rk连续变化至rk+1，则式(7)左边F(r)必随着r的连续变化而变化. 根据连续函数介值定理，若F(rk)F(rk+1)<0，则方程F(r)=0在区间(rk,rk+1)上至少有一个解，此时，搜寻ri,j即是要在(rk,rk+1)上寻找方程F(r)=0的根，如图5所示.

4　姿态能力大小的影响因素研究

影响机构姿态能力大小的因素主要有动、 定平相对尺寸大小，动、 定平台的几何中心角βm、βb，以及动平台所处位置(X,Y,Z). 为便于分析，将机构定平台外接圆半径设为Rb=2，不考虑机构关节运动范围情况下动平台可以到达三维空间内任意位置. 不失一般性，此处机构的长度单位及位置参数单位均为量纲一尺寸.

4.1动、 定平台几何中心角的影响

为便于分析机构动、 定平台几何中心角βm、βb对姿态能力的影响，设动、 定平台外接圆半径比μ以及动平台位置参数(X,Y,Z)均给定. 当Rb=2、μ=Rm/Rb=0.5，动平台中心角βm和定平台中心角βb对机构姿态能力r的影响情况如图6所示.

从图6可以看出，当动、 定平台其中一个中心角给定时，另一个平台越接近三角形形状，则机构姿态能力越大. 但是，众所周知，三角形平台由于制造难度较大，在生产实际中鲜有应用.

此外，当βm+βb=120°即机构动、定平台为2个相似六边形且对应定点以支链相连时，机构为结构奇异性构型，此时，无论机构处于何种位形，机构均奇异，因此，应避免设计此种结构型式的机构.

4.2动、定平台相对尺寸大小的影响

假定机构动、定平台中心角βm、βb以及机构动平台位置参数(X,Y,Z)均给定，动、定平台外接圆半径比μ=Rm/Rb便决定了动、定平台相对尺寸大小，其对机构姿态能力影响情况如图7所示.

从图7可以得到以下结论：

1) 其他构型参数给定，当μ=1时，机构姿态能力接近最大值. 也即是说，当动、定平台具有相同大小的外接圆半径时，机构具有最大无奇异姿态球.

2) 当βm/βb=0°或βm/βb=120°时，机构姿态能力随μ变化而变化的范围很小. 也即是说，当机构动平台或定平台为三角平台时，机构无奇异姿态球大小基本不随动、定平台外接圆半径比变化而变化.

4.3动平台位置的影响

图8描述了机构构型参数均给定时，机构姿态能力r大小随动平台位置参数不同而变化的情况. 其中Rm=1、Rb=2，βb=90°、βm=45°，且ΔX、ΔY均为0.25，姿态能力变化曲面对应的位置参数分别为Z=2、3、4. 图9、10给出了在Y及X截面上姿态能力随位置参数变化情况.

从图10～12可以得出：

1) 当位置参数Z给定时，姿态能力随位置(X,Y)变化的曲面关于X轴对称.

2) 当位置参数Z给定时，动平台中心点P越接近Z轴，机构姿态能力越大，位于Z轴时，姿态能力达到最大.

图11描述了当(X,Y)给定时，姿态能力随位置参数Z变化情况. 从图11姿态能力r随位置参数Z的变化趋势可以看出，当(X,Y)给定时，Z越大，也即机构动平台距离定平台越远，机构姿态能力越大，但随着Z的逐渐增大，姿态能力增大的趋势越平缓；当机构动平台位置位于定平台所在平面时，机构无姿态能力.

文献[14]以单位四元数为姿态参数，给出了Gough-Stewart并联机构的无奇异姿态空间的一种数值离散求解算法，研究表明在没有考虑机构结构参数约束条件下，该机构的无奇异姿态空间体积大小

随着Z坐标值的增大逐渐增大. 文献[15]进一步考虑了机构的结构参数约束，给出机构的无奇异姿态空间求解算法，并描述了机构在Z截面上在若干不同(X,Y)坐标参数下的无奇异姿态空间. 文献[15]研究也表明机构无奇异姿态空间大小确实关于X坐标轴对称.

5结论

1) 论文提出的综合利用逐步搜索和二分法可有效地计算六自由度Gough-Stewart机构无奇异姿态球及姿态能力的大小.

2) 对于六自由度Gough-Stewart机构，其动、定平台为2个相似六边形且对应点相连的结构为结构奇异性构型，应避免设计此种构型参数.

3) 当动、定平台其中一个几何形状给定，另一个平台的几何形状越接近三角形形状，机构的姿态能力越大，即理论上的无奇异姿态球体积越大.

4) 当其他构型参数给定，动、定平台的相对尺寸大小越接近，机构便具有较大的姿态能力. 因此，为使机构具有较大的姿态能力，动、定平台应具有较为接近的相对尺寸.

5) 机构动平台几何中心点距离定平台距离越远且越接近坐标轴Z时，理论上机构具有的姿态能力越大. 因此，为提高机构在实际工作工程中的姿态能力，在强度及刚度等条件允许情况下，可适当增加各分支杆长度，使得动平台能够在远离定平台的区域工作，从而机构具有较大体积的理论无奇异姿态空间.

6) 作者下一步研究将在基于姿态奇异研究基础上，集中于机构的无奇异姿态运动规划和控制算法等的研究.

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(责任编辑杨开英)

Orientation-capability Analysis of Gough-Stewart Parallel Mechanism With Six-degrees of Freedom

LI Baokun1, 2， GUO Yongcun1， CAO Yi3, 4

(1. School of Mechanical Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, Anhui, China;2. Post Doctoral Research Station of Mechanical Engineering, Anhui University of Science and Technology,Huainan 232001, Anhui, China; 3. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, Jiangsu, China;4. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai 200240, China)

A general symbolic expression for representing the three-dimensional orientation-singularity locus of the Gough-Stewart parallel mechanism for a given position was obtained and the three-dimensional view of the orientation-singularity locus was described by using the unit quaternion as the orientation parameters. The orientation-singularity locus property of the mechanism was analyzed. Conception of the orientation-singularity-free void was advanced and the necessity of existence of the orientation-singularity-free void was illustrated. The orientation capability that was the singularity-free ball with regular shape was defined and used as an important performance index for measuring the volume of the orientation-singularity-free void. The influence of the geometry parameters and the position parameters of the mechanism on the orientation-capability was further explored and the atlases were constructed. Investigation shows that the unit quaternion can be efficiently used to represent the orientation-singularity and orientation-capability the class of the parallel mechanisms.

parallel mechanism; unit quaternion; orientation-singularity; orientation void; orientation ball; orientation-capability

2015- 02- 28

国家自然科学基金资助项目(50905075)； 安徽省自然科学基金资助项目(1308085QE78)

李保坤(1982—)， 男， 在站博士后， 副教授， 主要从事机构学与机器人技术方面的研究， E-mail： libkmail@126.com

郭永存(1965—)，男，教授，博士生导师， 主要从事机构学、现代机械设计理论方面的研究， E-mail: ycguo@aust.edu.cn

TP 242.2

A

0254-0037(2016)05-0641-09

10. 11936/bjutxb2015020044