二维钱方法的改进及其在图像去噪中的应用

吴明珠， 王　洋， 李兴民*

( 1．广州商学院信息技术与工程学院，广州 511363；2．华南师范大学计算机学院，广州 510631)



二维钱方法的改进及其在图像去噪中的应用

吴明珠1， 王洋2， 李兴民2*

( 1．广州商学院信息技术与工程学院，广州 511363；2．华南师范大学计算机学院，广州 510631)

针对目前二维钱方法运行时间缓慢的问题，提出了二维钱方法的快速优化方案，并将其首次应用于图像去噪：将二维钱方法的内积计算进行优化，通过2个一维积分来计算其二维积分，然后将内积的计算过程放置到GPU的计算单元中，使用CPU和GPU并行计算的方法，明显提高了运行速度；对于因使用钱方法对图像分解重构后图像产生条形波纹的现象，使用了扩展图像边界的方法来消除波纹，改善了图像的质量；将二维钱方法应用于图像去噪中． 研究结果表明，文中提出的二维钱方法的改进方案运行速度明显提升，尤其是在步长为0.5时可以达到实时运用，使得广泛应用二维钱方法理论来解决实际问题成为可能；该去噪算法步骤简单且能够获得良好的视觉效果，在滤除噪声和保留图像细节上进行均衡，去噪效果理想．

二维钱方法； 快速实现； 并行计算； 图像去噪

Keywords：two-dimensionalQianmethod;fastimplementation;parallelcomputing;imagedenoising

1998年,HUANG等[1]提出了一种新型的非线性非稳态信号处理方法, 称为希尔伯特-黄变换(HHT),其特点在于：它是基于信号局部特征的，能够对信号进行自适应的高效分解，且特别适用于分析非线性非平稳信号[2-3]． 然而，HHT在数学理论上是有缺陷的[4]． 针对此问题，QIAN等[5]提出自适应傅里叶分解(AFD)方法, 现称之为钱方法．

钱方法在数学理论上十分完美，一维钱方法在计算机上也得到了快捷实现[6-9]． 但二维钱方法在计算机上的实现却构成难题． 2014年，武伟[10]在计算机上实现了二维钱方法，并成功将钱方法应用于图像压缩中． 遗憾的是，其实现方法运行耗时较长． 另外，在重构图像的过程中，我们发现其图像边界上有明显的条形波纹，当对图像分块使用钱方法时，条形波纹明显影响了图像重构的质量．

本文针对二维钱方法运行时间缓慢的问题，提出了一种快速实现方案． 另外，通过延拓图像的边界，消除了文献[10]使用钱方法分解重构后图像边界上出现的条纹，并将改进后的二维钱方法应用于图像去噪中．

1　改进的二维钱方法

1.1二维钱方法

单位圆盘 D 的边界用 T 表示，L2(T2)表示能量有限的复值函数空间，其中能量通过内积确定． 定义如下：

(1)

(3)

其中，Dn( f )有2n-1项，极大选择原则为在复数单位圆中选择{a1,a2,…,an}和{b1,b2,…,bn}使得‖Dn( f )‖2最大：

(4)

对于任何给定的fH2(T2)，从任意k0开始，通过极大选择原则得到的ak0, bk0, ak0+1, bk0+1,…，有

根据上节叙述可以看出，要遍历单位圆中所有离散点，从单位圆中寻找合适的a、b点使‖Dn( f )‖达到最大,从而计算二维钱方法的各个分量． 离散点越多，得到的最值越精确，当然算法要花费的运算时间也越长． 将式(1)代入式(4)，得到二维钱方法的内积计算公式：

(6)

(7)

其中m、n表示图像尺寸． 1.2.2并行计算方法整个程序分为CPU和GPU两部分运行过程进行，具体步骤如下：

(1)将单位圆进行细分并存储所有点于Ca和Cb；

(5)把步骤(4)得出的各个S值传至CPU中;

(6)求出S的最大值及其相应的an和bn值;

(7)把an和bn代入式(4)，得到当前的分量;

(8)重复步骤(2)～(7)，直到完成所有分量的计算． 1.2.3改进算法实验结果实验将一幅256像素×256像素的图像分解成100张分量． 算法优化前后运行时间上的对比见表1． 可以看出使用上述优化方案后，算法的运算速度明显提升． 使用二维钱方法与本文改进算法对图1进行各个步长重构，效果图见图2、图3． 为了客观评价图像重构的效果，采用峰值信噪比(PSNR)作为客观量评价指标(表2) ．

表1　优化前后运行时间的对比

图1　原图

图2　原二维钱方法各步长重构图像效果图

图3　改进的二维钱方法各步长重构图像效果图

方法步长0.500.250.100.08原二维钱方法25.34227.33530.11236.322改进的二维钱方法38.32238.65439.87440.334

由表1和表2可以看出，步长为0.5时，改进的二维钱方法不仅速度快，而且分解重构后的图像效果也很好． 所以本文对图像进行钱方法分解重构时，均取步长为0.5． 另外，在相同步长的情况下，由表2可以看出，改进的二维钱方法图像分解重构的效果比原二维钱方法要好，图像质量优化的主要原因是改进的二维钱方法消除了原二维钱方法中进行钱方法分解后的合成过程中产生的条形波纹，具体实现过程见下节．

1.3消除条形波纹

在对图像进行钱方法分解之后，合成的图像边缘明显带有条状边框线(图4A)． 如果将图像分块后，各自进行钱方法变换后再合成，这些边界将严重影响合成图(图4B)．

图4　边界条纹

图像边界中条纹的产生，是因为钱方法假设信号J是一个周期性的解析函数[5]． 而图像并不是周期性的． 仔细观察图4A，发现图像的中心部分并没有边界上产生的条纹. 于是，我们将边界往外扩展，在钱方法重构后，条纹只产生在边界区域，即扩展后的区域． 然后再将扩展后的区域剪裁，就得到没有边界条纹的图像了． 基于这个思想，本文提出一种可以适用于非周期性图像钱方法分解的预处理方法．

1.3.1算法过程给定原图像I，其大小为m×n， 扩展长度参数e．

(1)创建扩展图像Ie，其大小为(m+2×e)×(n+2×e)，Ie的值如下：

Ie(e+1→e+m,e+1→e+n)=I(1→m,1→n),

Ie(1→e,e+1→e+n)=I(e+1→2,1→n),

Ie(e+m+1→2*e+m,e+1→e+n)=

I(m-1→m-e-1,1→n),

Ie(1→e,e+1→e+n)=I(1→m,n+1→2),

Ie(e+m+1→e+m,e+1→e+n)=I(1→m,n-e-1→n-1),

Ie(1→e,1→e)=I(e+1→2,e+1→2),

Ie(1→e,e+n+1→2*e+n)=I(2→e+1,n-1→n-e-1),

Ie(e+m+1→2*e+m,1→e)=I(m-1→m-e-1,1→e),

Ie(e+m+1→2*e+m,e+n+1→2*e+n)=

I(m-1→m-e-1,n-1→n-e-1).

(2)对扩展图像Ie进行钱方法分解，得到分量Dni(i=1,2,…,N)，它们的大小为(2×e+m, 2×e+n)．

(3)将所有分量Dni进行裁剪，将扩展长为e的边界去除． 裁剪后大小变回(m,n)．

1.3.2实验结果在原图5A进行钱方法分解之前，对图像的边界使用对称复制的方法来扩展边界，如图5B． 然后对该图进行重构，得到图5C． 可以看到重构后的条纹只产生在边界上，而原来的扩展前的边界并没有条纹． 将扩展区域剪裁，只留下原图像的区域(图5D)． 可见边界上的条纹已去除． 由图6B可见，使用本方法后的分块进行钱方法分解后合成的图像已消除连接处的边界． 由图5和图6知，本文提出的消除波纹的方法简单有效．

图5　图像的扩展与剪裁效果图

图6　是否使用扩展的图像合成效果比较图

Figure6Comparisonofimagesynthesiseffectwithofwithoutimageexpansion

2　改进的二维钱方法在图像去噪的应用

由于二维钱方法是崭新的数学理论，除文献[10]在图像压缩方面做过尝试外，在二维钱方法的应用方面还没有任何可以借鉴的文献． 运行速度的提高，使得广泛应用钱方法解决实际问题成为可能． 本文尝试将二维钱方法应用于图像去噪中． 传统的去噪方法包含空间域去噪和变换域去噪． 空间域去噪的方法有：均值滤波器去噪[12]、中值滤波器去噪[13]等． 变换域的去噪方法有：低通滤波器去噪[14]、维纳滤波器去噪[15]和小波阈值法去噪[16]等．

与低通滤波去噪原理一样，噪声分布在高频段． 钱方法分解后的分量是从低频到高频分布的，能量呈递减趋势，频率呈递增趋势． 低频分量表示图像的平滑区域，而高频分量描述图像的细节． 去除部分高频分量，对重构后的图像影响不大(图7)．

图7　部分分量重建的效果图

如何在有效滤除高频噪声的同时更大限度地保留图像的细节信息，从而提高图像质量也是我们需要考虑的问题． 所以，我们综合采用噪声检测算法[14]和二维钱方法进行图像去噪.本文的去噪算法具体步骤如下：

(1)运用噪声检测方法[14](即分数阶微分梯度算法)来检测噪声图像J中的随机噪声点的位置图g；

(2)对噪声图像J和噪声位置图g分别运用本文改进的钱方法分解成100个分量，得到各自的分量图J1,J2,…,J100和g1,g2,…,g100；

(3)对2组分量图后面30个高频分量进行匹配，当2组对应的分量图Ji和gi相似则去除相应的分量图Ji；

(4)最后重构噪声图像J剩余分量图． 图8B是对图8A添加标准差σ=25的高斯白噪声的噪声图． 图9A～F则是分别采取了6种不同的去噪算法对图8B的噪声图像进行去噪的实验效果图，可以看到运用本文算法进行去噪可以达到理想的去噪效果． 为了客观评价图像去噪的效果，本文同时采用峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)[17]来作为去噪的客观量评价指标，结果见表3．

图8　原图及噪声图

图9　不同算法的去噪效果图

评价指标均值滤波中值滤波维纳滤波小波阈值文献[14]本文算法PSNR26.633226.794127.119928.388433.821334.3456SSIM0.61320.63650.70160.77600.89960.9022

本文提出的去噪算法在滤除噪声和保留图像细节上进行均衡，因为通过二维钱方法分解后发现后面的高频分量主要包含了图像的部分纹理细节和噪声． 因此，为了避免图像的细节被丢失，先将噪声点检测出来，然后在去除高频分量的时候对比噪声点的位置信息，尽可能保留了图像的细节． 由表3可以看出，与传统的几类去噪算法进行对比，本文提出的利用二维钱方法进行图像去噪算法步骤简单，实验效果理想． 当然，钱方法在解决图像处理相关问题中的优势还有更多地方值得我们去发掘，下一步将考虑改进的二维钱方法在图像压缩等其他方面的应用．

3　结论

本文提出的二维钱方法的快速实现方案不仅大大缩减程序运行时间，使广泛应用二维钱方法成为可能，并且成功应用在图像去噪方面． 当然，钱方法分解后的各个分量，除了能量递减这一特性之外，其他特征还有待研究． 如果能提取出每个分量中的特征，将有助于更好地利用钱方法． 同时，对于实时性的应用，如实现车载摄像头中的去雾功能，以减少道路拥堵状况，13s的运行时间还太长． 如何进一步优化二维钱方法的运算速度，以达到实时这一级别，将是我们进一步研究的问题．

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【中文责编：庄晓琼英文责编：肖菁】

An Improved Two Dimensional Qian Method and Its Application of Image Denoising

WUMingzhu1，WANGYang2，LIXingmin2*

(1.SchoolofInformationTechnologyandEngineering,GuangzhouCollegeofCommerce,Guangzhou511363,China;2.SchoolofComputerScience,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)

ToalleviatetheproblemofcurrenttwodimensionalQianmethod’sslowrunningtime,afastimplementationoftwodimensionalQianmethod’sisproposed.Anditisappliedtoimagedenoisingforthefirsttime.First,theinnerproductcalculationofthetwodimensionalQianmethodisoptimizedbyusingtwoone-dimensionalintegraltocalculatethetwo-dimensionalintegral.ThentheinnerproductcalculationprocessisplacedintotheGPUcomputingunit.CPUandGPUparallelcomputingisusedtoimproverunningspeed.ForthestriprippleswhicharegeneratedafterthedecompositionandreconstructionoftheimagebyusingQianmethod,themethodofextendingtheimageboundaryisusedtoimprovethequalityoftheimage.Finally,twodimensionalQianmethodtoimagedenoisingisapplied.Experimentalresultsshowthat,therunningtimeoftheimprovedschemeoftwodimensionalQianmethodproposedinthispaperissignificantlyimproved.Especiallywhenthestepsizeis0.5,itcanbeusedinrealtime.SoitispossibletosolvethepracticalproblemsbyusingthetheoryoftwodimensionalQianmethod.AnditcanbeseenintheexperimentalresultsofimagedenoisingintwodimensionalQianmethod,thedenoisingalgorithmissimpleandcanobtainagoodvisualeffect.Andthedenoisedimagecouldgetabettereffectofremovingthenoiseandpreserveimagedetailsatthesametime.Theeffectofdenoisingisideal.

2016-03-14 《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http://journal.scnu.edu.cn/n

国家高技术研究发展计划(863 计划，2012AA021105)；广东省创新强校工程教学改革项目(GDJG2016001);广州商学院应用型人才培养示范基地项目(zlgc2015005)； 广州商学院2014年校级教学成果培育项目(JXCG201406)

李兴民，教授，Email:wmz419@163.com.

TP391

A

1000-5463(2016)04-0119-06