理解：概念形成的核心

仲广群（特级教师）

概念形成是概念学习历程中非常重要的一部分，也是思维过程中最复杂的部分。维果茨基曾提出：“了解概念形成的过程，即可把握儿童认知与思维的过程。”由于概念形成的核心是理解，而理解是一种心理结构的构造过程，因此概念就是理解状态的某种心理表征。

对于分数的认识，学生远不会像当初认识整数时那样来得顺利。这是因为，在学生已有的活动经验中，来自有关“分数”方面的储备，远不如整数那样多。生活中，学生更多接触到的是可以一个一个地来数的自然数，当“1”需要再分时，人们又更喜欢用小数来表示（如商场里物品的标价等）。由于缺少丰富的表象来支撑，也缺少外显操作活动中来自感觉、知觉的经验，这给学生建立分数的概念带来了不小的困难。

目前国内各类版本的教材，都分两次来教学分数的认识，除了上述原因外，还有个重要的原因便是：较之于“连续量模型”，学生对于“离散量模型”的理解，似乎更为困难。把多个物体看做一个整体进行均分，在学生的已有活动经验中并不丰富，加之整体“1”的类型并不像想象的那么简单，例如，形成分数至少涉及到有以下几种不同的类型：

刚好5个糖果

5个以上但被分成了5份

比5多但不能被5整除

比1多但比5少

由于分数的概念是建立在“均分”基础上的，而后面三种情况的“均分”，对学生而言显然是难以接受的。所以，再次认识分数，理解多个物体作为一个整体单位“1”，成了理解分数意义的重中之重。

两位老师都看到了这一关键，但在处理的方法上却有着较大的不同：史老师是从1个汉堡、一个长方形、一把直尺、一个苹果等这样的一个物体，引发学生进行拓展思考：“一”还可以表示一扎卡片、一摞卡片、一把卡片；1箱苹果、1车苹果、1堆苹果；1个教室、1个学校、1个区、1个市……既然1个物体可以平均分，那么一类物体、一些物体也可以平均分，而这些被平均分的物体都可以看做单位“1”。这样的过渡对学生而言是自然的，因为学生的生活经验被充分调取了。但从学生建构数学概念的角度看，又略显不足，因为单位“1”是被指令出来的，而不是学生内在生成出来的。

孙老师则是直接让学生用图形来表示自己所需要的分数，被分的对象都是由多个物体组成整体。虽然在前面“分数的初步认识”中并没有离散量的出现，但是，这并不妨碍学生根据图形来描述给定的分数。在学生操作、表达之后，教师再相机引出单位“1”的概念，也显得贴切顺畅。当然，这样处理的不足在于，由于教师所设计的“整体”都能够按照分母的要求进行均分的，后面出现了不能整除的情况，学生的认知仍需向前再跨一步。

或许并不存在一种完美无瑕的设计方案。让我们更清楚知道的是，学生在教学条件下学习概念与人们在自然条件下获得概念有着较大的区别。在教学条件下，由教师列举概念所反映的一些具体事例，让学生分析、归纳、抽象、概括，以抽取出一类事物的共同本质属性，从而获得这个概念，这种方式叫做概念形成。在这一过程中，学生的心理活动大致为：（1）考察具体事物，获得感性认识，形成表象；（2）分析。分化出这些事物的各种属性。（3）比较。异中求同，类化出它们的共同属性。（4）抽象。提出一类事物的共同本质属性的假设，并且在一些特定的情境中检验。（5）概括。将具体事物中抽象出来的共同本质属性综合起来，推广到一切同类事物，以形成概念，并用词语或符号表示。这一心理过程，概括起来说，就是从直接感知有关事物或模型中获得感性认识，建立起事物的表象，并在知觉水平上进行分析、筛选、辨认，根据事物的外部特征进行概括、抽象，初步形成概念。而这一过程的核心便是理解。

对照两位老师的设计，的确都在让学生通向概念的理解上进行了精心的设计。

操作：两节课都设计了操作的环节，孙老师让学生表示分数，史老师让学生创造分数。这是因为日常生活并不能为学生提供这些经过高度结构化处理的素材，只有教学这一专业活动才凸显这一功能，这是教师“浓缩”了前人探索的结果，使得素材本身更具“数学味儿”，它可以避免学生走太多的弯路，耗费太多的时间。学生建立分数的概念必须先积累大量的感官经验、操作经验，且这些体验性经验又具有某些相似性、共通性，然后经由多个层次的“抽象”这一心智活动才得以完成。而若不能以丰富的表象做支撑，概念的建立就成为无源之水、无本之木。

探究：这里的“探究”指的是融行为操作与思维操作于一体的活动。对于行为操作和思维操作，我们不妨用“操作地思考”和“思考地操作”来界定两者的区别。如果为了探索获得直接经验，我们称之为“操作地思考”；如果是在思维过程中开展活动而获得的经验，比如归纳的经验、类比的经验、证明的经验等，我们称之为“思考地操作”。两节课在这方面都进行了有益的尝试。这样的活动，既有外显操作的行为，也伴随着内隐的思维参与，对学生的学习而言，显得尤为重要，它是将学生的数学学习上升到“数学思想”境界的必要桥梁。

概括：概括是形成和掌握概念的直接前提。如果没有概括，学生就不可能掌握概念，从而由概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法被学生所掌握；没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批判性就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性和创造性就无法形成；没有概括，就无法实现思维的“缩减”与“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现。从两节课例我们可以大致梳理出这一概括的过程：首先，对已有生活经验和教师呈现的具体事例的各种属性进行分化，在经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来；其次，再进行类化，把概括而得的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在高层次上的抽象概括过程；最后，把新获得的概念纳入到概念系统中去，即要建立起新概念与已有的相关概念之间的联系，这是概括的高级阶段。

变式：教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化，不断更换命题中的非本质特征，而保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。两节课对变式的处理既有相同之处，也有不同之处。相同之处主要表现在对是否“平均分”的处理；不同之处主要反映在，史老师重在让学生厘清为什么相同的数量可以用不同的分数来表示，不同的分数也可以表示相同的数量？孙老师则更倾向于为什么可以用不同的分数来表示相同的数量？这些都很好地考查了学生是否对分数的意义是否达到了真正的理解。

反思：引导学生进行反思，不仅是课堂教学的一个重要的环节，也是帮助学生积累基本活动经验的一个重要渠道。如果学生在获得数学概念后就此终止，不对获得概念的过程进行回顾和反思，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。如果学生在抽象出概念后能对思路进行检验和自我评价，探索成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，从而可以对概念的认识上升到理性水平。长此以往，学生便学会了“数学地思考”，使自己的思维变得条理化、清晰化、精确化、概括化，而这，便通向了数学素养的形成。

两节概念课教学的课例，再次向我们诠释了“为理解而教”的真谛。