无序杂质、磁场对“三明治”式二维系统电导的影响

刘 龙，白志明

(河北科技大学理学院，河北石家庄 050018)

无序杂质、磁场对“三明治”式二维系统电导的影响

刘 龙，白志明

(河北科技大学理学院，河北石家庄 050018)

为研究二维电子系统中电子输运的问题及在磁场作用下二维无序杂质系统电导的物理性质，通过运用格林函数以及散射矩阵理论的方法,在格点模型的基础上，对“三明治”式二维电子系统电导的量子化现象进行了分析。导线与散射体的接触减小了系统的电导，削减了电导量子台阶现象，使得系统的电导随着导线与介质间耦合的变小而降低；当系统受到外磁场作用时，系统电导的变化随着磁场的变化表现出周期性震荡行为，这种震荡变化的剧烈程度与电子的能量有关；受杂质散射的影响，系统电导随无序杂质浓度的增大而减小，在某些特殊掺杂的浓度下，对于一些特殊的电子能量，系统的电导可以达到理想情况下的阶梯值。研究成果对于“三明治”式二维电子系统电导的进一步研究具有借鉴意义。

电磁场理论；电导量子化；格点模型；无序杂质掺杂；磁场; 格林函数

电子输运是凝聚态物理学中的一个研究热点[1-2]，越来越引起人们的研究兴趣与关注。经典玻尔兹曼方程是宏观系统电子输运问题的研究方法[3-5]，但随着微加工技术的进步，电子器件尺寸变得越来越小，人们已经能够制备出达到介观尺寸的量子器件。电子的费米波长一般为50～100 Å，对于宏观系统下的器件来说太小了，在输运过程的同时，电子不断与晶格、杂质、缺陷等发生碰撞[6-7]。这种碰撞有弹性的，也有非弹性的。其中，非弹性碰撞效应使电子丧失其“相位记忆”[8]。因此，输运过程中电子的波动性与相干性在非弹性碰撞下得不到保持，仅仅使得电子的粒子性在输运过程中体现出来，这对于具有波粒二象性的电子来说，显然是具有局限性的。随着器件尺寸大小的变化，与电子波长相比较时，电子的输运过程是弹道式的，电子几乎不发生非弹性散射[9-11]，这时电子的粒子性与波动相干性可以得到充分展现。

谢月娥等[12]和ANDO[13]分别运用Landauer理论，对两端口介观系统进行分析研究，对系统中的电子弹道输运给出表达式。 1957年，Landauer基于两端口介观系统[12-13]，研究了电子弹道输运，给出了系统的电导公式，称为Landauer理论。紧束缚近似理论、格林函数法等都是用来研究计算介观体系的常用方法[2,14-16]，人们对介观器件中的量子输运现象做了大量的研究工作，利用这些研究方法揭示了系统电子输运的物理性质。电导量子化是电子输运现象中重要性质之一，人们已在实验现象中观察到[17-20]，并在理论上，给出了充分的研究。研究发现，由于Landauer效应，磁场对电子的作用增强了系统电导的量子效应[21]。

本文研究了“三明治”式二维体系中，中间接触区域在受到磁场作用下，以及存在无序杂质的情况下，系统的电导量子化性质。

图1 晶格常数为a的点阵二维理想系统Fig.1 Two-dimensional ideal lattice system with lattice constant of a

1 二维系统模型及其电子波函数

考虑一个晶格常数为a的点阵二维理想系统，如图1所示，水平方向上(定义为x方向)的列指标用j表示。垂直方向上(定义为y方向)的行指标用l表示，并假设二维系统划分了m行。因此任一格点表示为(l,j)。仅考虑紧邻相互作用，相邻格点的跃迁积分设为t。每个格点上的格点能表示为

〈l,j|H|l,j〉=vl,j-4t,

其中vl,j表示格点上原子或杂质在(l,j)格点引起的势能部分，其对电子的散射为弹性散射。在二次量子化的表示下，系统的哈密顿量表示为

(1)

此时，系统哈密顿量的矩阵表示如下：

为了得出式(1)的线性无关解，设

(2)

其中λ为与入射能量E有关的待定系数。

联立方程可得:

(3)

(4)

(5)

其中F±=u(±)Λ(±)u-1(±)。因此电子在第j列上的电子波函数可表示为

(6)

2 输运过程中的散射

图2 电子输运系统Fig.2 Electron transport system

考虑一个划分为n×m个格点的长方形散射体S连接到2个半无限长的二维理想导线，如图2所示。左边导线L的第j=0列与散射体S的第j=1列具有电子迁移关系，其相邻两列之间的耦合表示tL；右边导线R的第j=n+1列与散射体S的第j=n列具有电子迁移关系，其相邻两列之间的耦合表示tR。系统的密顿量为HT=H+HL+HR。电子从左边导线L入射，经散射体S散射，电子以一定的概率透射到右端导线。

在左端二维导线上，电子存在入射(向右)波与反射(向左)波，因此在j=0列，电子波函数可表示为

由式(5)，电子在左导线列j=-1，表示为

(7)

电子在j=-1列上出现的概率用在j=0列上电子的波函数以及向右运动的波函数表示出来。将式(7)带入运动方程(1)，有

(8)

因此，在散射体S与右端导线R上的电子运动方程为

(9)

假设一磁场H沿z轴垂直于二维系统作用，按照Peierls理论，该磁场的作用表现在转移常数上增加了一个Peierls相因子。选择合适的电磁场规范条件，近邻格点间的转移常数可表示为

其中φ=Ha2是穿过晶胞的磁通，φ0=ch/e是量子磁通。这样，系统的哈密顿量可写为

其中，紧邻格点间耦合表示为

(10)

可以看出，格林函数也是(n+2)m×(n+2)m阶方阵。因此透射端电子的波函数为

(11)

(12)

3 数值结果与分析

图3 两端导线与散射区域不同耦合系数下的系统电导与电子入射能量关系曲线Fig.3 Relationship curve of the system conductance and the incident electron energy with different coupling coefficients

图3 a)显示，当t=tL=tR时，即系统为一理想的无限长直二维系统，此时的电导具有随费米能理想的阶梯形状。图3 a)—图3 d)给出，随着散射体与两端导线耦合强度的减少，散射体对电子的散射逐渐增强，系统电导比理想系统电导(图3 a))减小。在每一个上升台阶附近，电导接近理想系统电导，但随着能量的增加，电导逐渐减少。从物理角度上分析，当电子能量达到一个新的输运通道所需要的能量时，系统便打开一个输运道，从而使电导增加一个新的台阶，而此时在传输方向上，电子运动能量较小，对界面散射影响较小，导致系统电导较大。这与文献[13]中的计算结果相一致。之后随着电子能量的增加，在该输运道上传输方向上电子能量增加，使得界面散射作用增强，从而系统电导变小。当电子能量增加到一个新的输运道所需要的能量时，一个新的电导台阶形成。

图5给出在没有磁场，散射体不同的掺杂浓度下，系统电导随电子能量的变化关系。图5 a)—图5 d)表明，由于杂质对电子散射的影响，掺杂杂质浓度越大，系统的电导越小，并随电子能量震荡。其中对于一些特殊的电子能量，由于电子相长干涉，电导的峰值达到了理想导线的阶梯值，之后的系统电导随电子能量的变化进行振幅减少的震荡变化。

图4 零温不同费米能下系统电导随外加磁场变化曲线 (中间散射区参数为m=10，n=20，tL=tR=t)Fig.4 Under different Fermi energy, the conductance changes with the applied magnetic field (The parameters of the scatter are m=10,n=20,tL=tR=t)

图5 无磁场不同掺杂浓度下电导-能量关系曲线 (中间散射区参数为m=10,n=20,tL=tR=t)Fig.5 Conductance varies with the electron energy in the disappear of magnetic field and the different doping concentration (The parameters of the scatter are m=10,n=20,tL=tR=t)

4 结 论

在无外部磁场以及杂质散射的情况下，分析研究了接触对系统电导量子化台阶效应的影响，由于接触的散射作用，系统的电导随着导线与介质间耦合的变小而降低；在磁场对散射体区域作用下，系统电导的变化随着磁场的变化而表现出周期性的震荡行为。这种震荡变化的剧烈程度与入射电子的能量有关；同时，给出了无序杂质对系统电导的影响，系统的电导随无序杂质浓度的增加而减小。在一些特殊掺杂浓度下，由于存在相长干涉效应，对于一些特殊的电子能量，系统的电导可以达到理想情况下的阶梯值，这为“三明治”式二维电子系统电导的进一步研究提供了参考。

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Influence of disorder and magnetic field on conductance of“sandwich” type two dimensional system

LIU Long, BAI Zhiming

(School of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China)

In order to discuss the transport phenomena and the physical properties of the doping of the disorder system under magnetic field, the electron transport in a two-dimensional system is studied by using Green function and scattering matrix theory. Base on the two-dimensional lattice model, the phenomenon of quantized conductance of the "sandwich" type electronic system is analyzed. The contact between the lead and the scatterer reduce the system's conductance, and whittle down the quantum conductance stair-stepping phenomenon; when an external magnetic field acts on to the system, the conductance presents a periodicity oscillation with the magnetic field. The intensity of this oscillation is related to the energy of the electron;with the increase of the impurity concentration, the conductance decreases.In some special doping concentration, the conductance of the system can reach the ideal step value corresponding to some special electron energy. The result could provide reference for further study of the conductance of the "sandwich" type two dimensional system.

electromagnetic field theory; conductance quantization; lattice model; disorder doping; magnetic field; Green function

1008-1542(2017)02-0151-07

10.7535/hbkd.2017yx02008

2016-10-08；

2017-02-10；责任编辑：张 军

刘 龙(1990—)，男，河北石家庄人，硕士研究生，主要从事量子输运方面的研究。

白志明教授。E-mail:baizhiming@hebust.edu.cn

O469

A

刘 龙，白志明.无序杂质、磁场对“三明治”式二维系统电导的影响[J].河北科技大学学报,2017,38(2):151-157.

LIU Long , BAI Zhiming.Influence of disorder and magnetic field on conductance of “sandwich” type two dimensional system[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(2):151-157.