利用数形结合解题法解决集合问题

王路

摘 要：数形结合是高中数学教学中一个重要的思想方法，其实质就是把“数”与“形”联系起来，以形助数，以数辅形，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，达到揭示数学问题本质的目的。本文结合几道典型的题目浅谈数形结合思想在高中数学集合中的应用。

关键词：数形结合；高中数学；集合；思想方法

数形结合作为一种重要的数学思想方法，已经渗透到数学的每个模块，在新课标下的高中数学教材中，大部分章节都渗透了这种思想，如集合、三角函数、圆锥曲线、不等式、平面几何及立体几何等。它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。笔者认为在教学过程中教师要在潜移默化中逐渐渗透数形结合思想方法，把“无形的”思想贯穿在“有形的”数学教学中，学生才能全面发展。本文结合高中数学第一章集合模块的知识和题型分类，谈一谈这种方法的灵活应用。

一、研究意义

集合是高一新生入学学习的第一章内容，是非常基础和重要的，而本章集合的学习，抽象度较高，学生理解起来较为困难。运用数形结合思想解决集合问题，可以使集合的并、交、补关系直观形象地显示出来，并且有利于运算。本章中数形结合主要体现在用Venn图及数轴解决有关问题。Venn图经常用来处理较为具体的集合问题，即集合中的元素已经明确标出。而数轴用来处理以不等式表示的集合问题，可以将两个集合的关系标示在数轴上，将集合之间的运算转化为不等式之间的运算。

二、数形结合解决集合问题

1.利用Venn图解决集合问题

例1 （北师大版数学必修一习题1-3B组2）某学校先后举办了多个学科的实践活动，高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，这个班有多少同学既没有参加数学活动，也没有参加物理活动？

解法一：参加了数学活动没有参加物理活动的人数有30-15=15（人）。

参加了物理活动没有参加数学活动的人数有26-15=11（人）。

所以，参加活动的人数有15+11+15=41（人）。

所以，这个班既没有参加数学活动也没有参加物理活动的人数有50-41=9（人）。

解法二：设集合U={高一（1）班全体学生}，集合A={参加数学活动的人}，集合B={参加物理活动的同学}，用对应小写字母表示该区域集合中元素的个数，如图1所示，

解得：a=15，b=11，c=15，

則参加活动的人数有15+11+15=41（人），

所以，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动有50-41=9（人）。

题后感悟：对于第一种解法，数量关系较为复杂，很难理清其中的思路。如果活动数目从两种活动增加到三种甚至更多时，这种方法就更为困难。而解法二中分别把参加数学、物理活动的人看成一个集合，用Venn图表示这些集合，我们可以很容易地从图中得到一些等量关系，通过解方程得到答案。

2.利用数轴解决由不等式标出的集合间的交集、并集、补集问题

题后感悟：对于这种由不等式表出的集合，把它们表示在数轴上，能更加直观地刻画集合之间的关系，使我们解题更加快速准确。

三、反思

数形结合思想方法除了可以解决集合方面的问题，还可以解决三角函数、圆锥曲线、不等式等问题，至于较为复杂的解析几何及立体几何问题，则是将数形结合问题更加直接利用，使学生更加容易理解立体几何问题。而伴随着新课改的新要求，高考数学命题越来越倾向于考查知识的多变性、深刻性与丰富性，注重考查学生的创造性与发散性思维，在题目的设计上更具开放性。数形结合思想在解决高考数学题目时是一种常用方法和技巧，特别是在解决选择题及填空题时，因为这些题目不要求解题步骤，数形结合运用得好可以达到事半功倍的效果。而数形结合也成为每年高考必考方法之一。因此，在平时的数学教学与题目训练中，笔者认为教师应该认真分析数形结合与高中数学的结合点，通过数形结合方法引导学生思维方式由静态到动态的变化，帮助学生分析数形结合常见使用和分类，做到举一反三，达到事半功倍的教学效果，更进一步地提高学生分析问题、解决问题的能力，使学生做到“脑中有图，见数想图，看图得数”，进而提升学生的抽象思维能力。如果在考场上可以做到“能从数量关系中发现图形特征，能从图形特征中得到数量关系”，那么就可以大大节省时间，一些题目也可以得到迅速而精确的解答。

参考文献：

1.徐国央.数形结合在数学解题中的应用[J].宁波教育学院学报，2009（11）.

2.任樟辉.数学思维理论[M].西宁：广西教育出版社，2001.

（作者单位：陕西省西安市八一民族中学）endprint