非线性阻尼非线性刚度隔振系统参数识别

胡广深， 陆泽琦， 陈立群,2,3

(1.上海大学 上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；2.上海大学 力学系，上海 200444；3.上海大学 力学在能源工程中的利用重点实验室，上海 200072)

参数识别作为振动分析中一种“逆问题”分析方法，是建立在实验基础上，采用理论分析与实测相结合手段以处理工程中振动问题。用已知系统的输入(激励)和输出(响应)来求系统参数，研究系统特性，为实际工程问题提供理论指导、改进理论模型[1]。李晶等[2]提出了一种将解析模态分解与希尔伯特变换相结合的模态辨识方法，并对该方法进行数值模拟，验证了该方法对低频、密频结构模态辨识的正确性和优越性。杨凯等[3]利用信号时频分析理论，研究了温度对参数辨识时变模态的影响，为热环境下结构振动特性分析提供了分析方法和实验依据。尹帮辉等[4]研究了结构阻尼衰减法，对比了衰减法阻尼测试结果与统计能量分析意义下的频段阻尼之间关系，探讨了频段外模态阻尼对频段阻尼测试结果的影响。孙伟[5]提出了一种可重复性良好的实验测试硬涂层阻尼参数的方法，利用自由振动衰减曲线研究了硬涂层复合结构的阻尼特性。对于线性系统，可以通过直接求逆的方法对系统中的线性参数进行识别，而对于非线性系统，识别其中的非线性参数则比较困难。

非线性隔振系统中的非线性刚度，人们做了许多探索和研究。Carrella等[6]研究了含有准零刚度隔振系统的隔振效果，运用斜、水平线性弹簧构造非线性刚度的想法为非线性刚度、非线性阻尼隔振系统提供了重要参考。Carrella等[7]还研究了高静态低动态刚度的非线性隔振系统力和位移传递率，预压缩水平弹簧和竖直弹簧提供高静态低动态刚度，实现了较好的隔振效果。Brennan等[8]研究了达芬隔振系统上、下跳频率现象等一些具体特性。此外，非线性隔振系统中的非线性阻尼得到了深入研究。Brosch等[9]研究了单自由度隔振系统在三种不同阻尼下的自由振动特性以及不同阻尼间的对比，证明了单自由度隔振系统的水平线性阻尼可近似为立方非线性阻尼。此外，Tang等[10]还进一步探究了单自由度隔振系统在不同阻尼下的强迫振动并给出了良好的结果。

针对非线性振动系统，Tang等[11]研究了脉冲响应下达芬方程的解析解，为瞬态激励参数识别方法提供了理论基础，对于如何在瞬态激励下识别隔振系统的非线性参数具有指导意义。Feldman[12-13]从自由振动角度运用希尔伯特变换分析非线性系统的振动，研究了希尔伯特变换在时域信号关键参数提取中的应用，给出了一种简明的自由振动信号处理思路。李晖等[14]测试了非线性刚度结构系统参数，在修正经典半功率带宽法的基础上，提出了一种适用于强、弱刚度非线性系统的阻尼辨识方法。但只能识别系统的非线性刚度参数，而忽略了非线性阻尼参数。邓杨等[15]利用调频小波变换，结合FREEVIB和FROCEVIB方法中的瞬时参数估计算法，通过多项式拟合识别出平均化的非线性刚度和阻尼。但是，这些研究大部分是基于系统的瞬态响应，特别是对非线性阻尼识别的文献较少。

本文运用非线性振动系统中特有的跳跃现象进行参数识别，对非线性特征现象进行测量，并由此逆推结构参数，成为非线性参数识别的新途径。Tang等[16]运用非线性跳跃现象识别立方非线性刚度。Roszaidi等[17]研究了位移激励下利用正反扫频获得跳跃现象，识别了含有非线性刚度的达芬方程参数，并得到实验验证。而运用跳跃现象对同时含有非线性阻尼和非线性刚度参数的识别没有涉及，本文补充正反扫力幅获得额外跳跃现象，识别出系统的非线性阻尼参数。另外本文意在通过两种激励方式研究同时含非线性刚度、非线性阻尼隔振系统的参数识别方法；在此基础上，比较两种识别方法和结果，以验证识别精度。

1 参数识别

针对同时含有非线性刚度和非线性阻尼非线性系统的参数识别，用如下系统受扰运动方程为例

(1)

式中:α为线性刚度系数;γ为非线性刚度系数;ζ1为线性阻尼系数;ζ2为非线性阻尼系数;f(t)为系统的输入激励，该激励是和时间相关的变量。参数识别就是利用激励和响应的已知量得到系统的线性刚度系数、非线性刚度系数、线性阻尼系数和非线性阻尼系数四个未知量。

1.1 稳态激励参数识别

稳态激励选取余弦函数，即f(t)=Fcos(Ωt)，其中F是余弦激励的激励幅值，方程可写为

(2)

利用谐波平衡法，取解的形式为x=Xcos(Ωt+φ)，略去三阶谐波cos(3Ωt)和sin(3Ωt)，可以得到稳态激励下该系统的幅频方程

(3)

振幅跳跃现象是非线性隔振系统特有的现象，指的是在特定激励条件下出现振幅突然变化现象。固定激励幅值下改变激励频率和固定激励频率下改变激励幅值两种方式都会发生振幅跳跃现象，两种方式下振幅跳跃处相应的激励频率和激励幅值，分别为上跳频率、下跳频率、上跳力幅和下跳力幅。通过这四个已知参数，可以得到系统的线性刚度系数、非线性刚度系数、线性阻尼系数和非线性阻尼系数四个未知参数。

(1)固定激励幅值F改变激励频率Ω，可以得到上跳频率和下跳频率。

由幅频方程给出稳态激励频率解

(4)

考虑ζ1,2<<1，由Ω1=Ω2可以得到下跳频率为

(5)

考虑ζ1,2<<1，解dΩ/dX=0得上跳频率为

(6)

(2)固定激励频率Ω下改变激励幅值F，可以得到上跳力幅和下跳力幅。

由幅频方程给出稳态激励幅值解

(7)

考虑ζ1,2<<1，解dF/dX=0得下跳力幅和上跳力幅分别为

(8)

(9)

联立式(5)、式(6)、式(8)、式(9)得到

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

1.2 瞬态激励参数识别

瞬态激励选取单位脉冲函数激励，即F(t)=δ(t)，方程可写为

(11)

由于激励选取的是单位脉冲函数，方程可写为

(12)

其中,初始条件为

考虑ζ1,2<<1，利用多尺度法，取一阶近似解

x(t)=a(t)sin(ω0t+β(t))

(13)

结合初始条件得

(14)

(15)

式中：a(t)为系统在单位脉冲激励下自由振动衰减曲线的包络线表达式。

瞬时相角为

(16)

瞬时频率为

(17)

由自由振动的时域衰减曲线，经过信号处理，得到包络线曲线、瞬时相角曲线和瞬时频率曲线，结合由多尺度法解出的曲线相应近似表达式，可以识别系统的线性刚度系数、非线性刚度系数、线性阻尼系数和非线性阻尼系数四个未知参数。

(1)包络线

包络线曲线可以用以e为底的指数函数拟合，故包络线曲线方程可近似为

a(t)≈ea1t

(18)

其中,a1为已知。代入式(14)中，得

(19)

考虑ζ2<<1，可得

ζ1≈-a1

(20)

(2)瞬时相角

瞬时相角曲线可以用线性函数拟合，故瞬时相角曲线方程可近似为

Φ(t)≈Φ1t+Φ0

(21)

其中,Φ1、Φ0为已知。代入式(16)中，得

(22)

考虑ζ2<<1，可得

(23)

故有

ω0≈Φ1

(24)

(25)

(3)瞬时频率

在瞬时频率曲线上选取初始时刻的瞬时频率Ω0作为已知参数，代入式(17)中，得

(26)

联立式(20)、式(24)～式(26)得

ζ1≈-a1

(27)

式中：对于ζ2并没有显式表达式，但可以通过等式左右两端作曲线取交点即可得到ζ2的值。

2 应用举例

如图1所示为一种非线性刚度、非线性阻尼隔振系统，这一系统与经典质量-弹簧-阻尼系统相似，但是所不同的是除了竖直弹簧kv和阻尼cv，还有两个水平放置刚度为kh的弹簧和阻尼为ch的阻尼，系统的刚度和阻尼非线性分别是由水平弹簧和水平阻尼在垂直运动方向上的作用产生的，即几何非线性。

图1 含有非线性刚度、非线性阻尼隔振系统模型

如图1所示的系统运动方程可写为

(28)

式中：l0为水平弹簧的初始长度；l为弹簧预压缩后的长度。当x<0.2l时，式(28)可近似写为无量纲方程

(29)

选取一组线性刚度系数、非线性刚度系数、线性阻尼系数和非线性阻尼系数，如表1、表2所示，利用Matlab数值模拟，可以得到这组选取参数值下的动力学特性曲线，包括稳态动力学特性曲线和瞬态动力学特性曲线，然后通过稳态激励参数识别和瞬态激励参数识别这两种方法，分别对上述由几何非线性构造的双非线性隔振系统进行参数识别。

表1 选取无量刚参数值

表2 选取实际结构参数值

(1)稳态激励参数识别

通过固定激励幅值下改变激励频率和固定激励频率下改变激励幅值两种方式，得到两种方式下的响应幅值-激励频率和响应幅值-激励幅值关系曲线。分别如图2、图3所示。

图2 幅值-频率响应曲线

图3 幅值-力幅响应关系曲线

Fig.3 Relationship between amplitude and excitation amplitude

选取曲线上的四个关键参数上跳频率、下跳频率、上跳力幅和下跳力幅作为已知量，由式(10)可得到隔振系统的线性刚度、非线性刚度、线性阻尼和非线性阻尼系数，如表3、表4所示。

表3 识别无量系统参数值

表4 识别实际结构参数值

(2)瞬态激励参数识别

选取单位脉冲函数作为激励，可得到系统在瞬态激励下的动力学特性曲线，包括自由振动衰减曲线(见图4)，以及通过希尔伯特变换得到的包络线曲线(见图5)、瞬时相角曲线(见图6)和瞬时频率曲线(见图7)。

包络线拟合曲线为

a(t)≈e-0.044 7t

(30)

瞬时相角拟合曲线为

Φ(t)≈0.419 7t-17.388 8

(31)

初始时刻的瞬时频率为

Ω0≈2.044

(32)

图4 自由振动衰减曲线

图5 包络线曲线

图6 瞬时相角曲线

图7 瞬时频率曲线

由式(27)可得到隔振系统的线性刚度、非线性刚度、线性阻尼和非线性阻尼系数，如表5、表6所示。

表5 识别无量系统参数值

表6 识别实际结构参数值

3 两种识别方法结果对比

两种参数识别方法的结果，即隔振系统的线性刚度、非线性刚度、线性阻尼和非线性阻尼系数，如表7、表8所示。

表7 识别无量系统参数值

表7和表8给出，在选取参数下，两种参数识别方法得到结果对比，特别是非线性刚度参数和非线性阻尼参数。对比稳态激励识别方法和瞬态激励识别方法，发现稳态激励参数识别结果要比瞬态激励参数识别结果更为精确，尤其是非线性刚度和非线性阻尼参数，这也说明了利用跳跃现象对系统的参数尤其是非线性参数的识别具有更好的准确性。同时，由于跳跃现象在实验观测中现象明显，所以，稳态激励参数识别更适用于对参数的精确识别。

表8 识别实际结构参数值

但是，稳态激励参数识别方法基于系统的分岔点测量，对误差较为敏感，对实验操作要求更为严格，需要多次测量取平均。瞬态激励参数识别方法则只需要得到系统衰减振动的时域信号，通过希尔伯特变换等信号处理的方式即可得到识别结果，对实验操作的敏感性较低，但是瞬态激励法相比于稳态激励法存在较大误差，原因是多尺度法求解强非线性瞬态振动存在局限性。

4 结 论

针对非线性刚度非线性阻尼系统，提出稳态激励和瞬态激励两种参数识别方法。第一种方法是基于非线性隔振中的振幅跳跃现象，对隔振系统中的非线性刚度、非线性阻尼参数进行识别。通过固定激励幅值改变激励频率和固定激励频率改变激励幅值，观测振幅跳跃现象，得出振幅跳跃处相应的激励频率和激励幅值，具体为上跳频率、下跳频率、上跳力幅和下跳力幅。通过谐波平衡法得到的幅频方程，反演系统线性刚度、线性阻尼、非线性刚度、非线性阻尼四个参数关于上跳频率、下跳频率、上跳力幅和下跳力幅的解析表达式，识别出非线性隔振系统的参数。第二种方法是涉及时域响应，通过希尔伯特变换获得非线性系统自由振动的响应幅值和相角，然后结合双非线性隔振系统在瞬态激励下的解析解，获得系统的非线性刚度和阻尼。并对两种参数识别方法进行比较，结果相吻合。稳态参数识别方法相比于瞬态参数识别方法较为精确、方便快捷。

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