基于节点构形度的单层柱面网壳稳定优化设计

陆明飞， 叶继红

(东南大学 混凝土与预应力混凝土结构教育部重点实验室，南京 210018)

整体失稳是壳体结构特有的一种失效模式，因此，稳定是网壳结构分析中的一个重要因素。1979年，Riks[1]提出了弧长法，成功解决了在迭代过程中，因刚度矩阵奇异而导致的不收敛问题。经弧长法非线性跟踪，可以准确求得代表网壳结构稳定的临界荷载Pcr。30多年来，学者们对网壳结构稳定性问题做了深入研究，在计算方法、缺陷、后屈曲性能等方面取得了丰硕成果[2-7]。曹正罡等[8]考虑弹塑性，研究了单层柱面网壳弹塑性稳定性能。Ma等[9]研究了半刚性节点对单层柱面网壳稳定性的影响。然而，对于网壳结构的静力失稳机理，系统性的研究尚未见报导。

不同于其它杆系结构，稳定性已经超越了强度、刚度问题，成为单层柱面网壳结构设计中的控制性因素。也就是说，单层柱面网壳在经满应力优化设计后，一般难以满足稳定性要求。沈世钊等在20世纪90年代末期，对许多大型复杂单层柱面网壳进行了大规模参数化分析，所得到的部分结论已编入相关设计规程。Kato等[10]利用线性特征值屈曲荷载，以广义长细比为基础，提出了杆件截面分配法的网壳结构稳定设计方法。其不足在于，以放大系数及经验拟合公式考虑非线性。单层柱面网壳非线性显著，该方法能否适用于单层柱面网壳的稳定设计有待商榷。

20世纪90年代，Wu等[11-14]提出基于节点构形度的易损性理论。该理论以节点构形度为基础，基于集簇过程建立结构拓扑层级模型，识别结构内部连接最薄弱的部分；通过解簇过程，识别结构具有易损性的各种破坏模式。Ye等[15-18]将构形易损性理论拓展到空间网壳结构。刘文政等[19-20]结合构形易损性分析和振动台试验结果，揭示了构形度与动力倒塌模式的密切联系，并提出了基于构形度的动力失效模式优化方法。刘文政等[21]基于节点构形度，提出了单层球面网壳刚度均匀性判定准则。但经典的构形易损性理论只针对结构自身拓扑构形，无法考虑荷载、约束等外在因素。而网壳结构的静力稳定性却与外在因素密切相关。因此，陆明飞等[22]在经典的节点构形度中引入几何刚度矩阵，充分考虑外在因素，从构形度变化特性上，揭示单层球面网壳的静力失稳机理，明确了基于稳定角度的最不利荷载模式。其不足在于：①通过引入几何刚度矩阵，笼统地考虑外在因素，对稳定问题的针对性有待进一步提高；②通过比较引入几何刚度矩阵前后节点构形度数值变化，仅仅衡量了外部因素对结构稳定的影响，而忽略了结构的内在因素。

因此，本文从节点构形度的角度，进一步考虑外在因素中与稳定问题直接相关的部分，从结构内部因素与外部因素，定义了能全面反映结构静力稳定特性的物理量，即节点构形度相对变化梯度gra_r，其最小值(gra_rmin)能准确代表结构稳定承载力。gra_rmin以简单标量的形式，从结构稳定的相反面，即失稳的角度，定量衡量结构丧失稳定的趋势，揭示单层柱面网壳结构失稳机理。在此基础上，继而提出了单层柱面网壳结构稳定优化设计方法。在给定用钢量的前提下，稳定优化模型以gra_rmin最大化为优化目标，离散的杆件截面为优化变量，考虑规范规定的各项设计约束条件，并发展了相应的优化算法。两个工程算例表明，在给定用钢量的前提下，经稳定优化设计后的单层柱面网壳，能最大程度地挖掘结构抗荷潜力，具有足够的稳定承载力，同时满足各项设计规范，其截面规格满足国家制造标准，具有实际工程运用价值。

1 柱面网壳失稳机理

本文以节点构形度的视角，考虑荷载、约束等与稳定问题密切相关的外界因素，引入几何刚度矩阵，从结构保持稳定的相反面，即从结构丧失稳定的角度，定义了能定量衡量结构失稳趋势的物理量——节点构形度相对变化梯度gra_r。所有节点中gra_r最小值表示为gra_rmin。gra_rmin与Pcr是结构稳定性两个不同角度的度量，都是结构稳定性的代表，具有明确的物理意义。与Pcr相比，gra_rmin不仅仅是结构稳定性的数值代表，更是全面考虑了结构内部(拓扑、刚度)和外部(荷载、支座)因素，并且能揭示网壳结构失稳机理。

1.1 节点构形度

对具有n个非约束节点的结构，其整体刚度矩阵K写成n×n阶分块矩阵的形式，即

(1)

式中：Kkk为与节点jk相关的刚度矩阵，其为对称正定矩阵，其维数C等于节点的自由度个数。Kkk以矩阵的形式描述了节点jk的刚度，为用一个简单标量全面衡量节点jk的刚度，即定义节点jk的构形度qk0

(2)

式中：λi(i=1,2,…,C)为Kkk的特征值。

由线性代数可得，Kkk的特征值λi表示在相应特征向量的方向上节点jk的刚度。由式(2)可得，节点构形度是节点各个主轴方向刚度的全面度量，其数值仅与结构自身在节点jk处的连接强弱有关。

1.2 构形度相对变化梯度

结构在支座约束及给定荷载下，其切线刚度矩阵为

KT=K+KG

(3)

式中：KT为切线刚度矩阵；K为整体刚度矩阵；KG为几何刚度矩阵。

KG反映了在支座及荷载下，考虑应变高阶项后，结构内力对整体刚度的影响，可写成

KG=KGC+KGT

(4)

式中：KGC为由压杆集成的几何刚度矩阵；KGT为由拉杆集成的几何刚度矩阵。

将式(4)代入式(3)中可得

KT=K+KGC+KGT

(5)

网壳作为一种形状抵抗型结构，其受力特性体现于薄膜效应，构件的应力状态以轴压力为主。网壳稳定性与压杆的分布及其压应力水平密切相关。由压杆集成的几何刚度矩阵能直接反映轴压力对结构刚度的削弱，体现结构的失稳趋势。因此，定义荷载作用下节点jk的构形度qk1

qk1=det(Kkk+KGCkk)

(6)

式中：KGCkk为KGC中与节点jk的相关刚度矩阵。

qk1是从非线性稳定的角度，考虑荷载、约束等外部因素，全面度量受荷下节点jk的刚度。一般，qk1

(7)

式中：gra_rk为节点jk构形度相对变化梯度；qk0及qk1分别见式(2)及式(6)。因qk1

gra_rk是以节点自身的构形度为参照，衡量外部因素对节点刚度的退化程度。因此，gra_rk从结构内部因素与外部因素全面衡量节点jk的稳定特性。其数值越低，节点刚度退化显著。根据gra_rk的数值及其分布，能判别失稳区域，揭示柱面网壳失稳机理。

1.3 失稳机理

(1)稳定加载过程中，部分杆件受压，导致相关节点刚度退化，其gra_rk远低于其它节点。继续加载直至上述甚至更多节点失去继续抵抗荷载的能力时，结构丧失稳定。其中具有最小构形度相对变化梯度(gra_rmin)的节点，刚度的削弱程度最为显著，加载过程中容易失稳，是决定网壳稳定性的关键节点。

(2)结构形式(跨度、矢高、拓扑、支座约束)相同、杆件截面不同的网壳结构，在同一荷载模式下，所对应的gra_rmin越低，稳定承载力越低；所对应的gra_rmin越大，稳定承载力越高。

2 稳定优化模型

2.1 优化目标

失稳机理表明，结构的gra_rmin越大，稳定承载力越高。因此，以gra_rmin最大化为优化目标

gra_rmin=

max{min(gra_r1,gra_r2,…gra_rk,…gra_rn)}

(8)

式中：n为结构中所有非约束节点的数量。

2.2 优化变量

以杆件截面尺寸为优化变量，按照我国制造标准《GB/T 17395—2008无缝钢管尺寸、外形、重量及允许偏差》[23]取值，即

Di×ti(i=1,2,…,nm)

Dmin≤Di≤Dmax,tmin≤ti≤tmax

(9)

式中：Di为第i根杆件的外径；ti为该杆件的壁厚；Dmin和Dmax分别为杆件外径的最小值和最大值；tmin和tmax分别为杆件壁厚的最小值和最大值；nm为杆件数量。实际结构杆件的Di与ti取值均为离散变量。

2.3 约束条件

用钢量约束条件如式(10)所示，根据设计规范《GB 50017—2003钢结构设计规范》[24]及《JGJ 7—2010空间网格结构技术规程》[25]，杆件设计约束条件如式(11)和式(12)所示。

(1)用钢量约束条件

Vi≤V0

(10)

式中：Vi为优化过程中第i优化步结构的用钢量；V0为给定的结构用钢量。

(2)强度约束条件

(11)

式中：Ni为第i根杆件的轴力设计值；Mxi和Myi分别为绕两个主轴方向的弯矩设计值；γx和γy为截面塑性发展系数；Ani为净截面积；Wnxi和Wnyi分别为两个主轴方向的净截面抵抗矩；f为强度设计值。

(3)压杆稳定约束条件

(12)

3 优化算法

遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应全局优化概率搜索算法，可用于复杂系统优化计算[26]。为提高优化效率，本文对传统遗传算法中的随机变异进行改进，即将随机变异改进为定向变异，提出了改进遗传算法。具体步骤如下：

步骤1编码。本文采用适用于离散变量优化问题的二进制编码方案。对截面尺寸取值范围内的杆件进行编号，根据二进制编码规则，将十进制的杆件编号转化成二进制编码。

步骤2评价个体适应度。适应度函数用于评价个体的优良程度。根据本文优化目标，构造如下适应度函数

(13)

式中：x为当前种群中的一条染色体；f(x)为尚未考虑约束条件的适应度。优化模型中存在约束条件，对于用钢量约束条件，采用排除法，直接将不符合用钢量的个体排除；对于其它两项结构设计约束条件，采用罚函数方法转化为无约束优化问题。本文采用Gen等[27]的罚函数计算方法，构造为

Δbi(x)=max{0,gi(x)-bi(x)}

(14)

考虑约束条件后，最终个体的适应度函数为

F(x)=p(x)f(x)

(15)

步骤3选择与交叉。按个体适应度进行排序，最优的1/4个体复制两次，中间1/2个体复制一次，劣等个体淘汰，进行截断选择操作。交叉操作是以一定的交叉概率，交换父代染色体的部分基因构成新个体。

步骤4定向变异。由本文第一节构形度分析，识别失稳区，定位染色体中相应的基因段，对该基因段进行变异。

整个程序的优化流程如图1所示。

图1 改进遗传算法优化流程

4 优化设计算例与分析

4.1 纵边支撑柱面网壳

选取工程中常用的三向型单层柱面网壳，结构形式如图2所示。跨度15 m，矢高5 m，长度20 m。固定支座，沿两个纵边支撑。等效节点荷载设计值为22.5

(a)

(b)

kN，等效节点荷载标准值17.6 kN。钢材选用Q345，用钢量14 kg/m2。杆件截面取值范围为外径89～406 mm，壁厚不大于20 mm的所有截面，共196种。

随机生成5个满足用钢量的个体，组成初始种群。用改进的遗传算法，在保持结构用钢量一定的前提下，对结构进行稳定优化。对优化过程中得到的结构进行弹性稳定跟踪，得到其稳定临界荷载Pcr。gra_rmin及Pcr的优化历程见图3。优化后结构杆件分布见图4。

图3 对边支撑柱面网壳gra_rmin及Pcr优化历程

Fig.3 Histories ofgra_rminandPcrof cylindrical dome with opposite-sides fixed supports

图4 优化后结构杆件分布

由图3可得，结构经20代进化，gra_rmin迅速提高，后经小幅波动，至60代时，收敛至最优解并保持稳定。与此同时，结构Pcr也逐渐提高，其进化历程与gra_rmin的进化历程几乎相同，至60代时，Pcr也收敛至最优解并保持稳定。优化算法在配置为Inter(R) Core(TM) i7-4790K CPU@ 4.00 GHz，32 GB内存的计算机上运行，运算时间仅为2 min 50 s，快速高效。

优化后的结构，gra_rmin=-1.772×10-6，Pcr=104.98 kN，其用钢量为13.8 kg/m2<14 kg/m2。优化后结构各项力学指标见表1，满足各项设计约束条件。按《JGJ 7—2010空间网格结构技术规程》，考虑1/300的初始缺陷及安全系数后，其稳定承载力为20.32 kN，大于等效节点荷载标准值17.6 kN，满足稳定性要求。

表1 优化后结构各项力学指标

4.2 四边支撑单层柱面网壳

如图5所示的三向型单层柱面网壳，跨度20 m，矢高10 m，长度30 m，固定支座，四边支撑。该柱面网壳由474根杆件，175个节点组成。等效节点荷载设计值为16.48 kN，等效节点荷载标准值12.93 kN。钢材选用Q345，用钢量16 kg/m2。杆件截面取值范围与4.1节相同，共196种。

(a)

(b)

不同于标准遗传算法，改进的遗传算法具有问题独立性。尽管本节优化算例在变量数目及约束条件上，均比4.1节的算例要复杂得多，但保持种群规模不变，改进的遗传算法依旧可以优化出最优解。因此，仍然随机生成5个满足用钢量的个体，组成初始种群。用改进的遗传算法，在保持结构用钢量一定的前提下，对结构进行稳定优化。对优化过程中得到的结构进行弹性稳定跟踪，得到其稳定临界荷载Pcr。gra_rmin及Pcr的优化历程见图6。取各节点在水平面的投影位置作为X、Y坐标，gra_r为Z坐标，绘制gra_r分布云图。gra_r分布的优化历程见图7。

由图6可得，结构经60代进化，gra_rmin迅速提高，之后收敛至最优解并保持稳定。结合图7，在gra_rmin逐步提高的同时，gra_r的分布也趋于均匀，说明在该荷载模式下，结构中既没有非常薄弱的节点，也没有过于强健的节点，整个结构的刚度分布趋于最优。因此，结构Pcr也逐渐提高，其进化历程与gra_rmin的进化历程相近，至60代时，Pcr也收敛至最优解并保持稳定。优化算法在配置为Inter(R) Core(TM) i7-4790K CPU@ 4.00 GHz，32 GB内存的计算机上运行，运算时间为15 min 18 s。因此，该优化方法不仅能优化结构稳定性能，而且快速高效，稳健鲁棒。

图6 四边支撑柱面网壳gra_rmin及Pcr优化历程Fig.6 Historiesofgra_rminandPcrofcylindricaldomewithfour-sidesfixedsupports(a)初始结构(b)5优化步(c)200优化步图7 gra_r分布优化历程Fig.7 Distributionofgra_rthroughouttheprocessofoptimization

优化后的结构，gra_rmin=-3.177×10-6，Pcr=106.06 kN，其用钢量为15.8 kg/m2<16 kg/m2。优化后结构各项力学指标见表2，满足各项设计约束条件。按《JGJ 7—2010空间网格结构技术规程》，考虑1/300的初始缺陷及安全系数后，其稳定承载力为25.93 kN，大于等效节点荷载标准值12.93 kN，满足稳定性要求。

表2 优化后结构各项力学指标

5 结 论

(1)本文从节点构形度的角度，进一步考虑外部因素中与稳定直接相关的部分，结合内部因素与外部因素，定义了能全面反映结构稳定特性的物理指标节点构形度相对变化梯度gra_r，其最小值gra_rmin与结构稳定承载力密切相关。通过gra_r的分布及gra_rmin的数值，揭示了单层柱面网壳结构的失稳机理。并以gra_rmin最大化为优化目标，离散的杆件截面为优化变量，建立了单层柱面网壳稳定优化模型。该稳定优化模型以设计为导向，将规范中各项设计要求作为约束条件，在给定用钢量的前提下，通过改进遗传算法，完成柱面网壳的稳定优化设计。

(2)对两个单层柱面网壳，分别在纵边支撑及四边支撑的约束条件下，进行了稳定优化设计。两个优化设计算例表明，通过对壳体结构设计起控制作用的稳定进行优化设计，可以得到经济合理的结构方案(两个算例在实际荷载下，用钢量不超过16 kg/m2)。优化后的单层柱面网壳，用钢量经济，杆件满足各项力学设计要求，整体稳定性能不仅满足规范要求，而且得到充分挖掘，使得结构具有更高的安全储备。

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