平行折线绳槽两圈间过渡区布局对提升钢丝绳振动的影响研究

彭 霞， 龚宪生， 巫显照， 邹声勇

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400044；2.重庆大学 机械工程学院，重庆 400044；3.石河子大学 机电工程学院，新疆 石河子 832003；4.中信重工机械股份有限公司，河南 洛阳 471039)

在我国，随着国民经济的发展，浅层矿产资源的日益减少，资源的深部开采(井深>1 500 m)已经成为国家战略正在逐步展开。我国传统的矿井提升装备及其设计制造理论技术已经不能满足深部开采对提升高度、有效荷载率、提升效率和安全性的基本要求[1]。矿井提升装备是深部资源开发的关键瓶颈装备。采用双折线过渡平行绳槽的多层缠绕、多点提升组合拓扑结构有望成为超深井提升装备的有效型式,其结构如图1所示。卷筒表面的平行折线绳槽及其布置形式如图2和图3所示。卷筒绳槽的一周有两个折线过渡区，两个过渡区间的圆心角为180°，称为对称双折线绳槽，其它的称为非对称双折线绳槽。钢丝绳在对称绳槽缠绕时，卷筒每转一周钢丝绳有两次圈间过渡，即钢丝绳对提升系统产生周期性激励，由于提升系统在提升过程中钢丝绳长度会变化，因此系统的质量、刚度和阻尼都会随之变化，从而引起系统振动固有频率变化，由此可能会因周期性激励引发系统共振。钢丝绳在非对称绳槽缠绕时，钢丝绳在非对称的圈间过渡激励下会产生不同的提升系统振动响应。对称双折线过渡绳槽和非对称双折线过渡绳槽到底哪一种引起的振动更小或在什么情况下更有利于超深矿井提升，这已成为超深井提升设备研究过程中必须深入研究和解决的重要问题。

图1 超深井提升装备图

图2 平行折线绳槽卷筒展开图

图3 绳槽折线过渡区布置示意图

国内对此问题研究未见报道。国外对此的研究也鲜有报道。但是对钢丝绳提升系统的振动，国内外学者已做了许多研究。Zhu等[2-5]先后研究了变长度变张力的垂直移动物体(梁和弦线)在一般初始条件和外部激励下的横向振动响应，建立了高速电梯的时变长度钢丝绳的横向动力学方程，并对电梯原形和数学模型的动态响应的数值仿真做了比较；分析了钢丝绳的等幅横向振动、衰减振动、发散振动及其相互转化的原因，最后通过数字仿真和实验对理论分析结果进行了验证。Sandilo等[6]建立了变长度绳索系统的动态模型，分析了可变长度、速度、张力等这些初始条件对系统横向振动响应的影响。Arrasate等[7]分析了电梯动力系统的转矩波动对提升系统纵向振动的影响，并将数值仿真结果和实验结果做了对比。Kaczmarczyk[8]建立了仅考虑悬、垂绳纵向振动的提升系统的动态模型，并用多尺度法分析了动态响应。张鹏等[9-11]先后以任意变长度柔性提升系统的纵向-横向耦合振动为研究对象，用Hamilton原理建立了系统在无阻尼状态外界激励下的横、纵振耦合的振动方程，并用Galerkin方法离散化求解。Kaczmarczyk等[12]以矿井提升钢丝绳为研究对象,不考虑钢丝绳振动的非线性因素,基于能量法,运用Hamilton原理建立了矿井提升系统有激励、有阻尼的振动方程，并用Rayleigh-Ritz方法求解其振动特征,分析了周期性外部激励作用下钢丝绳系统的共振情况。但其研究是基于对称绳槽，而且重点研究的是不同速度下悬、垂绳的横、纵向振动变化情况。

钢丝绳缠绕提升系统，本质是一个具有慢变频率和振型非稳态振动系统，钢绳长度随时间变化，其系统质量、刚度和阻尼随之变化，所以其固有频率也是慢变的。当外部激励在某个特定的时间其频率和慢变固有频率接近时会发生共振。

综上所述，本文拟研究超深矿井提升时，双折线平行绳槽过渡区在不同非对称参数下对提升钢丝绳振动的影响，以悬绳横向振动幅值大小作为多层缠绕绳槽型式优劣的评价指标，最终确定适合超深井多层缠绕的最优绳槽形式。本文的研究学术思路是，首先建立提升系统的力学和数学模型，其次研究确立不同非对称系数下的激励函数，然后对提升系统控制方程离散求解，研究不同非对称系数对提升系统振动幅值的影响。

1 建立提升系统的数学模型

1.1 矿井提升系统无激励时的数学模型

将实际矿井提升系统(如图1所示)，根据研究需要进行简化并建立其力学模型，将矿井提升系统钢丝绳分为悬绳和垂绳两部分。为研究方便，将卷筒和悬绳顺时针旋转至垂绳同一条直线，如图4所示，并作如下假设：① 暂且忽略空气阻力；② 钢丝绳材料均匀；③ 卷筒、井架、天轮、罐道是刚性的；④ 钢丝绳在卷筒和天轮上无滑动；⑤ 忽略钢丝绳的扭转耦合振动；⑥ 悬绳中有预张力。

在悬绳与卷筒的接触点处建立坐标系oxyz，悬绳中任意一点P的长度为l，悬绳长度为ls，提升容器与钢丝绳接触点到坐标原点的距离为L(t)。考虑悬绳中任意一点P的振动为纵向振动和横向振动。其中横向振动分为沿卷筒径向振动和沿卷筒轴向振动，P′是P的动态变形位置，即在l位置的径向振动、沿绳向振动和轴向振动分别为u(l,t)，vc(l,t)，w(l,t)，则提升容器和钢丝绳的整体纵向速度

(1)

图4 矿井提升系统力学模型

由于垂绳中有罐道的限位作用，所以垂绳的横向振动可以忽略,所以垂绳中任意一点只考虑其纵向振动,设为vv(l,t)。在无激励状态下，在l=0处的边界条件为

u(0,t)=vc(0,t)=w(0,t)=0

(2)

在天轮处l=ls处的边界条件

u(ls,t)=w(ls,t)=0

u,t(ls,t)=w,t(ls,t)=0

(3)

应用Hamilton原理，得到

(4)

式中：T,Ek,Ep,W分别为系统的动能、钢丝绳的弹性应变能、系统的重力势能和虚功。该提升系统的总动能可表示为

(5)

式中：ρ为钢丝绳的每米绳的质量；Ms为天轮的惯性质量；Mc为载荷的质量。钢丝绳的弹性应变能可表示为

(6)

式中：Ek0为钢丝绳在预张力下的初始应变能；εc和εv分别为悬绳部分和垂绳部分钢丝绳的应变量；Tc和Tv分别为在参考坐标系下在静平衡状态下悬绳和垂绳的静态张力。εc和εv由式(1)确定

εv=vv,l

(7)

式中：(),l为对l求偏导数；(),t为对时间求偏导数。Tc和Tv由下式确定

Tc=[Mc+ρ(L(t)-ls)]g, 0≤l≤ls

(8)

Tv=[Mc+ρ(L(t)-l)]g,ls≤l≤L(t)

(9)

所以有

Tc,l=0

Tv,l+ρg=0

(10)

系统的重力势能可表示为

Mcgvv(lv(t),t)

(11)

式中：Ep0为系统在钢丝绳未变形的重力势能。系统的虚功为

δW=δWvc+δWu+δWw+δWvv+δWs=

(12)

式中：δWvc，δWu，δWw，δWvv分别为悬垂绳的横纵向阻尼力所做虚功；δWs为天轮摩擦力所做虚功；cv,cw,cs分别为钢丝绳纵振、横振阻尼系数和天轮的阻尼系数[13]。

运用变分原理，结合边界条件，再根据独立变分不为零的原则，由此可得系统的振动方程为

ρ(a+vc,tt)-EA(vc,ll+u,lu,ll+w,lw,ll)+

cvvc,t=0

(13)

EAu,l(vc,ll+u,lu,ll+w,lw,ll)+cwu,t=0

(14)

EAw,l(vc,ll+u,lu,ll+w,lw,ll)+cww,t=0

(15)

ρ(a+vv,tt)-EAvv,ll+cvvv,t=0

(16)

Ms(a+vc,tt)+EA(εc-εv)-cs(a+vc,t)=0

(17)

Mc(a+vv,tt)+EAvv,l=0

(18)

其中，式(13)～式(16)为钢丝绳在无激励状态下的横、纵耦合的振动方程；式(17)～式(18)钢丝绳在l=ls和l=Lv(t)时的边界条件。

由于垂绳的纵向振动远小于悬绳的横向振动[14]，且本文主要研究不同的过渡区布置对提升系统振动的影响，故暂且忽略悬绳的沿绳向振动和垂绳的纵向振动，只考虑悬绳的横向振动，即

EAu,l(u,lu,ll+w,lw,ll)+cwu,t=0

(19)

EAw,l(u,lu,ll+w,lw,ll)+cww,t=0

(20)

1.2 矿井提升系统激励分析和数学表达

钢丝绳在平行绳槽内缠绕时对提升系统没有激励，而钢丝绳在绳槽折线过渡区时进行轴向排绳运动，即钢丝绳进行圈间(槽间)过渡，如图5所示。

图5 圈间过渡平面图

图6 卷筒缠绕点处激励与悬绳上任一点位移关系图

Fig.6 The relational graph on stimulation in original point of the drum and displacement of a certain point in catenary cable

推导出悬绳一点P处u向、w向的绝对位移表达式

(21)

(22)

设在P产生的沿卷筒的径向和轴向激励力为Fu(l,t),Fw(l,t)则

(23)

(24)

将其代入得边界激励条件下u向，w向运动方程

(25)

(26)

卷筒在l=0处钢丝绳圈间过渡产生周期性激励，因不同的过渡区布置形式会产生不同的激励函数，圈间过渡区的布置位置如图3所示，定义图中κ为非对称系数，采用非对称系数来描述两个圈间过渡的间隔距离或时间，κ=1时为对称绳槽布置，κ≠1时为非对称绳槽布置。结合工程实际取0.5<κ≤1，激励函数如式(27)～式(30)所示

(27)

(28)

(29)

(30)

式中：n为缠绕层数(暂定缠三层)；γ为过渡区对应圆心角，过渡冲击的持续时间tγ=γ/ωd，且ωd=Vc/Rd，如图3所示钢丝绳在κπ对应劣弧的运行时间为τe1=2π/Ω1，钢丝绳在2π-κπ对应优弧的运行时间为τe2=2π/Ω2，其中Ω1=2ωd/κ，Ω2=2ωd/(2-κ)。激励的圆频率ωj=π/tγ。当过渡区取不同非对称系数κ时，卷筒旋转一周，u向、w向的激励函数图像如图7所示。

2 矿井提升系统振动响应求解

矿井提升系统的振动微分方程式(25)、式(26)是无限维偏微分方程，在此应用 Galerkin 方法，将其转化为有限维的常微分方程以便求解。悬绳横振的形函数为

(31)

则

(32)

图7 不同非对称系数的u向、w向激励函数图

Fig.7 Theu-direction、w-direction excitation function figure in different symmetry coefficient

将其代入到微分方程，等式两边同乘Φj，并将其在l∈[0,ls]内积分，将偏微分方程离散成常微分方程。

(33)

3 数值仿真结果与讨论

本文选取某超深矿井提升系统参数并用Matlab软件对前面得到的提升系统微分方程和激励函数进行编程，对悬绳的振动响应进行数值仿真，研究在特定的速度18 m/s下，非对称系数k取不同值时对悬绳横向振动的影响，探讨不同圈间过渡区布置形式下悬绳的横向振动的变化规律，提出适合超深井的合理的圈间过渡区布置形式。

数值计算方法采用的是时间步长为0.001 s的四阶龙格-库塔法，数值计算时采取三阶截断。在Matlab中，使用ODE45命令完成常微分方程的计算，相对精度设置为10-3,绝对精度设置为10-6，并且计算结果没有发散(是收敛的)。提升系统参数如表1所示。

图8～图12分别是在不同的非对称系数下悬绳在l=ls/4处的横向振动位移响应的数值仿真结果，其中纵轴表示u向，w向的振动位移，横轴表示垂绳的长度。图中从右往左的第一条虚线是第一层与第二层的分界线，第二条虚线是第二层与第三层的分界线。

表1 提升系统仿真参数表

图8～图12中，悬绳的u向振动位移在当Lv=1 246～2 000 m时都为0,因为这时钢丝绳在第1层缠绕，径向位移没有改变。随着提升高度的增加，Lv值不断减少，振动位移逐渐变大，钢丝绳逐渐缠到第2层、第3层。为清晰地比较不同非对称系数下悬绳的的横向振动位移，现列出在不同非对称系数下的u向、w向振动位移的最大值，如表2所示。

对比过渡区对称布置(κ=1)与非对称布置(κ≠1)发现,过渡区非对称布置的悬绳的振动位移的最大值均比对称布置小κ的不同取值，悬绳的振动幅值的变化，振动的平稳性是不同。当κ=0.9时，两个方向的振动位移的最大值比对称布置小，但振幅总体波动比对称布置大。当κ=0.8时，相邻点振幅变化很小，振幅最大值较小且相邻点振幅无突变，振动较平稳，且振动位移整体波动幅度更平缓。当κ=0.7时，在Lv=305 m时w向振动位移接近0，之后又逐渐增大，这种现象对排绳不利。当κ=0.6时，悬绳的横向振动位移均为最小，但是相邻点振幅变化很大，且有类似“拍振”现象产生。

笔者做了关于不同的提升系统参数与系统振动响应结果的讨论，经计算发现振动响应结果与非对称系数、钢丝绳线密度、弹性模量、阻尼系数、提升速度这五个参数关系较大。同一个振动模型(即本文建立模型)代入南非kloof金矿数据(即文献[12]和文献[14]所用数据)，如表3所示。

(a)

(b)

图8 当κ=1时，在l=ls/4处悬绳的横向振动位移响应

Fig.8 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=1

(a)

(b)

图9 当κ=0.9时，在l=ls/4处悬绳的横向振动位移响应

Fig.9 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=0.9

(a)

(b)

图10 当κ=0.8时，在l=ls/4处悬绳的横向振动位移响应

Fig.10 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=0.8

(a)

(b)

图11 当κ=0.7时，在l=ls/4处悬绳的横向振动位移响应

Fig.11 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=0.7

(a)

(b)

Tab.2Correlationtableofthemaximumvibrationdisplacementofthecatenaryunderdifferentsymmetrycoefficient

κ1.00.90.80.70.6umax/m0.640.500.480.510.38wmax/m0.720.560.510.560.51

当非对称系数取κ=1时，悬绳的四分之一处平面内和平面外(即沿卷筒直径方向和卷筒轴线方向)振动位移响应，如图13所示。

表3 Kloof仿真参数表

(a)(b)

图13κ=1时，在l=ls/4处悬绳的横向振动位移响应

Fig.13 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=1

当非对称系数取κ=0.8时，悬绳的四分之一处平面内和平面外(即沿卷筒直径方向和卷筒轴线方向)振动位移响应见图14所示。

(a)(b)

图14κ=0.8时，在l=ls/4处悬绳的横向振动位移响应

Fig.14 The response of the lateral vibration displacement at the position ofl=ls/4 whenκ=0.8

对比非对称系数分别取κ=1和κ=0.8时，按南非文献参数下仿真结果，则对称绳槽效果好，因为在此参数下非对称绳槽振动位移的最大值比对称绳槽大，且相邻点振幅变化大，这样容易导致多层缠绕时乱绳，跳绳。Kaczmarczyk等也显示该矿卷筒安装的是两过渡区对称布置的Lebus绳槽(即κ=1)，与本文模型按此参数仿真结果相同，因此本文所建立的振动模型是有效的。

综上所述，绳槽形式的确定，究竟选择对称布置还是非对称布置，需根据需根据提升系统参数决定。在本课题提出的超深、高速、重载要求确定的提升系统参数下，多层缠绕卷筒采用非对称布置且非对称系数为κ=0.8悬绳横向振动位移小，相邻点振幅变化小，有利于多层缠绕有序排绳和提升。

4 结 论

(1) 建立了变长度钢丝绳提升系统的力学模型和钢丝绳横、纵振的数学模型，提出用非对称系数k来描述两折线绳槽过渡区间的相对位置布置关系并引入到激励函数中。以某超深矿井提升系统的参数为算例，数值仿真得到在不同非对称系数k下悬绳横振的振动位移响应，以此研究在特定的速度18 m/s下，两折线过渡区非对称系数k对悬绳的横向振动的影响，探讨得到不同圈间过渡区布置形式下悬绳的横向振动的变化规律。

(2) 在本文提出的提升系统参数下的仿真结果表明：提升容器在提升上升过程中，悬绳的u向振动位移在第一层缠绕时为0，之后不断增大。悬绳的u向、w向振动位移达到最大值后，幅值会因非对称系数k的不同产生不同形式的波动变化。

(3) 绳槽形式的确定，究竟选择对称布置还是非对称布置，需根据提升系统参数决定。在本文提出的提升系统参数下，两折线绳槽过渡区非对称布置时悬绳的横向振动位移响应的最大值均比对称布置小。当非对称系数κ=0.8时，悬绳的u向和w向振动位移的最大值相对较小，相邻点振幅变化小，振幅总体波动不大，按这种系数布置卷筒绳槽的两折线绳槽过渡区有利于降低超深井提升多层缠绕钢丝绳的振动幅值和有序排绳。

参 考 文 献

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附录1

将模函数代入控制方程，等式两边同乘Φj，并将其在l∈[0,ls]内积分，将偏微分方程离散成常微分方程。则控制方程变为

当j为奇数时

当j为偶数时

当j为奇数时

当j为偶数时