基于S变换的简支梁结构损伤检测方法研究

刘 宁， 刘四新， 奚佳欣， 张雪冰， 姜立鑫

(1.吉林大学 地球探测科学与技术学院，长春 130026；2.吉林建筑大学 土木工程学院，长春 130118；3.吉林建筑大学 测绘与勘查工程学院，长春 130118)

土木工程结构的功能实现在很大程度上取决于其在服役期间的表现，然而土木工程结构在长达数十年的服役期间不可避免的会受到人为或自然因素的影响，导致结构损伤累积以及抗力衰减。结构损伤会导致结构物理性能的变化，主要体现在损伤位置刚度和阻尼的改变[1-2]。同时结构特性的改变影响其初始条件下的结构动态响应。因此，结构状态评估中常见的做法是检测结构的物理动态特征，以便在最初阶段识别损伤。通过这种结构状态评估方法不仅可以及时做出维修、恢复以及更换的决策，而且还可以提高重要基础设施的运行效率并延长使用寿命，避免因未发现结构损伤而导致的人身财产损失[3-4]。

在结构损伤检测研究领域，结构可以被模拟为具有输入激励信号和可测量输出信号的系统。在这种情况下，损伤的出现被认为是导致结构内部能量流动和转移的附加激励，并改变了输出信号[5-6]。近几十年来，国内外学者已经提出了许多不同的结构损伤检测方法，其中基于振动的损伤检测方法是重要的分类之一[7-8]。利用结构振动信号进行损伤检测可以获取结构的整体损伤信息，并具有检测费用低，无需中断结构使用等特点，相对于传统以静力测试为主的结构损伤检测方法具有较大优势[9-11]。

近年来，许多时频分析方法被应用在基于振动信号的结构损伤检测方法研究中，包括短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform，STFT)、小波变换(Wavelet Transform，WT)、希尔伯特黄变换(Hilbert-Huang Transform，HHT)等，这些时频分析方法在处理非稳态信号时可以提供更多傅里叶变换无法提供的细节信息[12-14]。S变换是在地球物理学领域发展起来的一种时频分析方法，S变换结合了短时傅里叶变换和小波变换的优点，同时又具有更高的时频分辨率[15-16]。在已有的基于S变换的结构损伤检测方法研究中，Pakrashi等[17]利用S变换检测一个线性单自由度系统在谐波激励下刚度的突然退化以及用于检测一个简支损伤钢筋梁中的局部开裂现象，结果表明了S变换的有效性并具有较好的抗噪性能。周奎等[18]利用S变换分析了一个单跨两层钢结构试验模型节点损伤信号的时频特性，并对不同节点损伤程度的信号进行了对比分析，发现当节点损伤程度加剧时，损伤信号能量最大值的极值先减小后增大。尽管S变换在结构损伤检测领域的研究已有一定基础，但目前仍未应用到钢筋混凝土梁的结构损伤检测中，因此，如何将S变换应用到实际的钢筋混凝土梁结构损伤检测工程当中，并获得较好的损伤识别结果是一项既有挑战又具有实际意义的工作。

1 理论基础

1.1 S变换理论基础

尽管整个时间序列的傅里叶变换包含了关于时间序列中的频谱分量的信息，但通过傅里叶变换无法检测到不同频率的时间分布，所以对于非平稳信号处理的实际应用，选择傅里叶变换并不合适。为了同时研究信号在时间域和频率域里的局部性质，Gabor在傅里叶变换的基础上提出了加窗傅里叶变换，也称为短时傅里叶变换(STFT)。短时傅里叶变换应用最为广泛，但由于固定窗口宽度的限制，短时傅里叶变换的时间分辨率和频率分辨率相互制约，不具有自适应性。小波变换继承和发展了短时傅里叶变换局部化思想，同时克服了窗口大小无法随频率变化等缺点，可以提供一个随频率改变的时频窗口。但小波变换对噪声敏感，并且传统的小波变换不具有小波级数与频率的对应关系。

1996年地球物理学家Stockwell在前人研究的基础上提出S变换。S变换结合了短时傅里叶变换和小波变换的优点，S变换中频率的倒数决定着高斯窗尺度的大小，具备小波变换多分辨的优点，并且S变换中存在相位因子，保留了每个频率的绝对相位特征，这是小波变换所不具备的特性，同时S变换和傅里叶变换一样具备无损可逆的特性。

一维连续S变换表达式为

(1)

式中：S为f(t)的S变换；t为时间；f为频率；τ为控制时间轴上的高斯窗位置，相当于小波变换中的平移因子。S变换的原理结合了小波变换和短时傅里叶变换这两种数学变换的元素同时又具有自己的特点。与小波变换相似的是，S变换的时窗宽度与频率相关，而不同于小波变换与短时傅里叶变换相同的是，S变换通过使用一个时窗来局部化复杂的傅里叶正弦曲线。

一维连续S变换逆变换表达式为

(2)

S变换可以通过短时傅里叶变换或由连续小波变换推导得到。

1.2 定义时频谱的能量

在不同荷载状态下对获取的振动数据进行S变换可以得到不同荷载状态下相应数据的时频谱。为了能够量化时频谱中能量的变化，我们引入弗罗贝尼乌斯范数(Frobenius Norm，F-范数)的概念，此范数可用不同的方式定义

(3)

式中：A*为A的共轭转置；σi为A的奇异值，并使用了迹函数。F-范数与欧几里得范数非常类似，可以表示为来自所有矩阵的空间上一个内积。

对于基于S变换得到的时频谱S(t,f)，可以通过E来定义时频谱的能量，表示为

(4)

式中：m、n分别为时频谱中时间方向和频率方向的时频谱像素点数，可以由m=T·Pt，n=F·Pf来定义，T、F为时频谱中时间方向和频率方向的范围，Pt、Pf为时间分辨率和频率分辨率。

2 数值算例

为了综合分析S变换应用在不同类型信号处理中的优势，以双chirp合成信号和交叉chirp合成信号为例，分别用S变换和短时傅里叶变换对这两种合成信号进行处理和分析。

图1(a)是由两个调频信号组成的双chirp合成信号，图1(b)和图1(c)分别是经过短时傅里叶变换和S变换后的时频谱。从图中可以看出，相比于短时傅里叶变换，经S变换后的时频谱在低频处展现出更高的频率分辨率，而在高频处分辨率较低。从时间分辨率的角度来观察，经S变换后可以看到能量随时间存在较好的连续变化关系。相反，短时傅里叶变换则无法同时兼顾时间和频率分辨率，当短时傅里叶变换为了提高时间分辨率，降低窗口宽度时，其频率分辨率随之降低，反之亦然。

(a)

(b)

(c)

相比于双chirp合成信号，交叉chirp合成信号是一种更为复杂的合成调频信号，如图2(a)所示。从该信号短时傅里叶变换后得到的时频谱中(图2(b))可以看出，短时傅里叶变换仅能识别出交叉chirp信号，但时间和频率分辨率都较低，尤其在时间80 s、110 s和190 s等处能量随时间变化存在明显的不连续现象，不利于在时频域内对信号做进一步分析。同样，经S变换后的时频谱(图2(c))在高频部分频率分辨率较低，这是由于在特定频率下，S变换时频窗相对细长，导致了时间分辨率提高的同时降低了频率分辨率。然而相比于短时傅里叶变换，S变换后低频处的频率分辨率较高，并且时频谱中能量随时间连续变化，展现出更好的时频分辨效果。

(a)

(b)

(c)

图2 交叉chirp合成信号及其时频谱

Fig.2 Cross-chirp synthetic signal and its time-frequency spectrum

3 试验及数据处理

3.1 试验材料参数及仪器装置

实验采用的钢筋混凝土试验梁长1 000 mm，净跨900 mm，截面尺寸100 mm×150 mm。采用C20混凝土，受拉区纵筋2φ10，受压区纵筋2φ6，箍筋率φ6@100，如图3所示。

图3 试验梁配筋示意图

图4为试验梁加载示意图，简支梁两侧支座距离梁端为50 mm。激励源为人工力锤激励，敲击点分别位于简支梁左侧支座上方、左侧1/4跨受压纵筋上方以及左侧上方距跨中50 mm处，为了尽可能保证激励源的一致性，所选用的有效激励大小都在140 N±10 N范围内，典型力锤激励信号如图5所示。简支梁上方右侧布设2枚加速度传感器，分别位于右侧上方距跨中50 mm处和右侧支座上方。

对简支梁施加集中荷载的仪器为500 kN微机控制电液伺服结构试验系统(图6(a))，最大试验力500 kN，试验力精度≤±0.5%；振动信号采集系统采用的是动态信号测试分析系统(图6(b))；激励力锤为结构振动采集分析系统力锤(图6(c))；2枚加速度传感器采用压电加速度传感器，灵敏度约为100 mV/ms2，频响范围0.1 Hz～1 kHz。

图4 试验梁加载示意图

图5 典型力锤激励信号

(a)(b)(c)

图6 试验现场仪器设备装置

Fig.6 The equipment and devices of the test field

3.2 试验数据处理

试验过程中在跨中位置施加集中荷载，每级荷载增加5 kN，加至每级荷载后持荷2 min，卸荷后分别敲击简支梁左侧的三个点并通过右侧的两个加速度传感器接收振动信号，以此加载方式至简支梁完全破坏后试验结束。随后利用S变换对获取到的加速度振动信号进行处理及后续分析。由于试验整体数据量较大，本文以敲击点3和加速度传感器1接收到的数据为例进行处理及分析。

图7展示了简支梁承受0 kN～40 kN集中荷载力，卸荷后加速度传感器接收到的振动响应信号，集中荷载力逐级增加5 kN，图中每段信号时长为1 s，采样率为500 Hz。从图7(a)～图7(h)可以发现振动响应信号的最大幅值逐渐减小，并且信号的振动时间长度整体上呈现逐渐缩短趋势。接下来对这9组数据进行傅里叶变换，观察振动响应信号在频率域的特征，如图8所示。从图8(a)～图8(e)可以看出随着荷载力的逐渐增加，主频约100 Hz处的振幅值逐级递减。但当荷载力超过20 kN后，主频对应的振幅值逐渐增强。特别值得注意的是当荷载力加到40 kN时，简支梁完全破坏，对应频谱中(见图8(i))高频处振幅值显著升高。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

为了进一步的观察和研究在不同荷载力状态下，振动响应信号在时间-频率域中的变化特征。对9组时间域的振动响应信号进行S变换，得到从0 kN～40 kN荷载力状态下，振动响应信号S变换后的时频谱，如图9所示。

从图9(a)～图9(h)能够发现时频谱中能量集中区域的频带范围在60 Hz～250 Hz，随着荷载力的逐渐增加，时频谱中能量集中区域呈现逐渐缩小的趋势。在图9(g)和图9(h)中可以看出200 Hz～250 Hz高频处能量值明显降低，这是由于随着荷载力的增加简支梁中出现裂缝，弹性波穿过时高频成分快速衰减所导致。另外，图9(i)与图8(i)有较好的对应关系，图9(i)中0.1 s～0.2 s内200 Hz～250 Hz高频处的能量有所增强，这主要是由于集中荷载加到40 kN时简支梁受拉区完全开裂，弹性波传播的载体由以混凝土为主变为以钢筋为主。并且随着简支梁中裂缝的发育，弹性波传播时会产生多次反射和折射现象，因此加速度传感器会接收到更为复杂的信号成分，具体体现在图9(i)中0.2 s～0.4 s内的能量集中区域。

接下来，将经过S变换后得到的9组时频谱叠加，以三维数据体的形式进行显示，如图10所示。图10(a)和图10(b)中，上剖面分别是三维数据体在100 Hz和240 Hz处切片的二维显示；右侧剖面分别是三维数据体在0.142 s和0.15 s时切片的二维显示。从两张图的上剖面可以看出，随着荷载力的加大，数据体中低频和高频在0.2 s～0.4 s内的能量都有所加强。在两张右侧剖面中，除40 kN荷载力时获取的数据之外，整体上呈现时频谱能量随着荷载力的增大而逐渐减弱的趋势。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(a)

(b)

为了量化时频谱中的能量变化，通过F-范数计算出每一组时频谱的能量E，如图11所示。可以发现简支梁承受的荷载力为0 kN～35 kN时，计算得到的时频谱能量E呈逐渐减小趋势，当简支梁完全破坏时，时频谱能量E显著增大，与前文在时频谱中观察到的变化规律相符。

4 结 论

本文以简支梁在跨中位置施加集中荷载以及通过力锤激励获取振动数据为基础，将简支梁结构损伤检测问题与信号处理方法相结合进行研究。对简支梁承受0 kN～40 kN集中荷载力，卸荷后接收到的9组振动信号分别在时间域、频率域和经S变换后的时频域进行分析，并通过F-范数量化了时频谱中的能量变化，可以得出以下结论：

图11 时频谱能量E的变化

(1) 相比于传统的时频分析方法，S变换具有较高的时频分辨能力，可以快速、有效的将时域振动信号变换到时频域中进行分析。

(2) 随着简支梁承受的荷载力的逐渐加大，简支梁跨中位置裂缝发育，0 kN～35 kN荷载力状态下时频谱中的能量集中区域逐渐减小，尤其高频位置对应的能量衰减尤为明显。同时，由于弹性波在含有裂缝的简支梁中传播时会产生多次反射和折射，导致时频谱中0.2 s～0.4 s的能量增强。

(3) 当荷载力增加到40 kN时简支梁完全破坏，弹性波传播的主要载体发生变化，其对应的时频谱在整个频带范围内能量显著增强。

参 考 文 献

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