解题教学重在解题策略和思路的引导与探究

明知白

著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出：数学教学的目的在于培养学生的思维能力和思维品质.他又指出：解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒.

高考命题专家指出：解题研究要重在解题方向和策略的研究.问题是数学的心脏，学习数学的过程与数学解题紧密相关，而数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，因此要重在研究解题的方向和策略.解题过程中不断进行这样的思考和操作，将使数学能力得到有效的提高.

数学知识的深入理解与灵活运用，往往是通过典型例题的分析与解答而获得的，而数学能力的培养与学生智力的发展，也常常是伴随着由浅入深的解题过程而达到的，因此在数学教学中，解题是极其重要的一环，这是人所共知的道理，但是如何运用数学中的这一重要环节，却存在着一个“教学艺术”的问题.如果一个教师在课堂上讲解例题时，不对题目进行深入的分析，并在分析中寻求解题思路，而总是按照“因为……，所以……”的格调进行，这只能让学生“知其然而不知其所以然”，对方法与技巧只能是一知半解，很难达到融汇贯通、举一反三、触类旁通的功效，因此学生就很难真正领会各种解法的精神实质，从而未能达到由“必然王国”走向“自由王国”的境界.

下面综合三个例子予以说明.

例1求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积(清华大学自主招生考题).

分析：设S={x1,x2,…,xn}，其中xn∈N*,n≥2,不妨设1≤x1

(以下可以启发学生探究)

(1)n=2时，有x1+x2=x1x2.

由1≤x1

(2)n=3时，有x1+x2+x3=x1x2x3.

由1≤x1

由x1,x2∈N*得x1=1,x2=2,此时 1+2+x3=1·2·x3，所以x3=3，故S={1,2,3}.

(3)n=4时，有x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4<4x4，所以x1x2x3<4. 由x1,x2,x3∈N*，知n=4时不成立，S不存在.

(4)类似地，n≥5时，猜想S也不存在.

以上内容多数学生可以做出，此时再进一步提出：n≥5时S一定不存在吗？如何证明？让学生进一步探究.

解设S={x1,x2,…,xn}，其中xn∈N*,n≥2,不妨设1≤x1

则x1x2…xn=x1+x2+…+xn

当n≥2时，x1x2…xn-1

①

又n≥2时x1x2…xn-1≥(n-1)!.

②

由①和②，n>(n-1)!≥(n-1)(n-2) (n≥2).

所以n>(n-1)(n-2)，即n2-4n+2<0.

当n=2时，由①知x1<2，

于是x1=1,此时1+x2=1·x2不成立.故S不存在.

当n=3时，由①知x1x2<3，

于是x1=1,x2=2，此时1+2+x3=1·2·x3.

所以x3=3，故S={1,2,3}.

综上所述，所求S有唯一解S={1,2,3}.

点评：通过由特殊(具体)到一般(抽象)的逐步深入，使问题得到圆满解决，培养了学生的探究精神与能力.

不少同学是这样做的：

点评：上述证明虽然没有错误，但是没有得到题目的结论.问题出在哪儿？如果教师追求“效率”，便直接给出了下面的证法.

故1≥4ab,于是

=4(a2+1)(b2+1)

=4(a2b2+a2+b2+1).

由a+b=1得a2+b2=1-2ab，于是

≥4(a2b2+1-2ab+1)

=4[(ab-1)2+1].

点评：上面的证明听懂不难，难在“思路”，特别是几个关键点是如何想到的，这样的教学收获不大，为此，可调整我们的教学设计.

思维受阻怎么办？

上面的种种分析十分重要，由此引出了下面的多种解法.

证法三(接上)：设t=ab>0，

可分解为(4t-1)(t-4)≥0，

则

证法五由于

此外，还有更简捷的证法.

说明：当年这道全国高考题出台时，多数省市并未学习导数，因此只会用初等方法解答.

解法一任取x1,x2∈[0,+∞)，且x1

(1)当a≥1时，

又x1-x2<0，所以f(x1)-f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2).

因此当a≥1时，f(x)在区间[0,+∞)上是减函数.

(说明：以上部分学生完成并不困难，难点在下面.下面是当年高考题的解答.)

由于f(x1)=1,f(x2)=1，即f(x1)=f(x2).

因此当0

反思: 当0

为此我们引导学生深入的探究，去突破这个疑点.让学生考虑函数单调性的几何意义.

其图象为开口向上的双曲线的上支，

又y=ax(a>0)的图像是过原点的直线.

设直线x=m(m≥0)与双曲线及直线y=ax(a>0)分别交于点M,N(如图1).在区间[0,+∞)上，f(x)的单调性的几何意义是：

当x从0开始，逐渐变大时，纵差yM-yN是变大？还是变小？还是有时变大有时变小？

图1

(1)当a=1时，由图1显然有：纵差yM-yN越来越小，故f(x)在[0,+∞)上单调减；

(2)当a>1时，设双曲线与直线y=ax交于A.在A点左侧，当x从0开始逐渐变大时，观察图1可得：纵差为正，且越来越小；在A点右侧，纵差为负，绝对值越来越大，其值越来越小，故f(x)在[0,+∞)上单调递减；

(3)当0

即f(x1)=f(x2)=1.

因此，当0

说明：对于(3)中0

图2

解法三学过导数之后，我们可以有下面的简捷解法，并可获得更多的收获.

因此当a≥1时，f(x)在[0,+∞)上单调递减.

因此，f(x)在[0,+∞)上不是单调函数.