第二十一届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

一、(满分20分)有一根长1米且弹性能充分满足要求的绳子，在绳子的一端有一个小虫(虫子本身的长度忽略不计)．现在小虫沿着绳子爬行1厘米，停下来．我们把绳子拉长1米(此时绳长为2米)，然后小虫再爬行1厘米．我们再把绳子拉长1米(此时绳长为3米)，小虫接着又爬行1厘米．依次下去，绳子每拉长1米，小虫就再爬行1厘米．请问：小虫能爬到绳子的另一端吗？请对你的答案说明理由．

当k大于等于200时，上式大于100．

二、(满分20分)利用人造地球卫星实时定位地面上物体(例如行驶的汽车)位置的全球定位系统(GPS)如今已经家喻户晓．这个系统由24颗高轨道卫星组成，它们相对于地面是静止的．汽车为了确定自己的位置，需要同时联系系统中的三颗卫星接受信号．当汽车与一颗卫星联系时，接收器从信号往返的时间精确地确定出汽车与这个卫星之间的距离r，例如r=22530km，它表明汽车位于以该卫星为中心，半径为22530km 的球面上．若汽车与另外两颗卫星的距离分别为27358km和 25794km，则汽车的位置应该是这三个球面的交点．而三个球面有两个交点，但其中一个交点与地球的距离很远，不难区别哪一个点是所要的答案．

假设汽车在地球上的位置由坐标 (x,y,z) 来描述，三颗卫星在该坐标系上的位置为(ai,bi,ci), (i=1,2,3 )，它们是已知的．则以这三颗卫星为心，三个距离为半径的球面就可以表示为

(x-a1)2+(y-b1)2+(z-c1)2=r12

(1)

(x-a2)2+(y-b2)2+(z-c2)2=r22

(2)

(x-a3)2+(y-b3)2+(z-c3)2=r32

(3)

对这三个关于(x,y,z) 的联立方程求解就可以确定汽车的位置．

直接求解这个三元二次方程组复杂且耗时，对实时定位的需求来说是不实际的．

请你给出一个简单求解这个方程组的步骤．

解步骤1针对这个方程组的特征，令(1)-(2)，(1)-(3)，得

2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+2(c2-c1)z

2(a3-a1)x+2(b3-b1)y+2(c3-c1)z

这是三元一次方程组，但只有两个独立的方程，有无穷多组解．

步骤2固定z，将其移到方程组的右端，得

2(a2-a1)x+2(b2-b1)y=A-2(c2-c1)z,

2(a3-a1)x+2(b3-b1)y=B-2(c3-c1)z,

步骤3这时的x和y是z的一次函数，记为x(z)和y(z)。将它们带回到原来的三元二次方程组中的(3)式中，就得到了关于变量z的一元二次方程．于是求得z．

步骤4将z带入x(z)和y(z)，这样问题就解决了．

三、(满分20分)在北京市第十一次党代会上，北京市委、市政府明确提出“聚焦通州战略，打造功能完备的城市副中心”，更加明确了通州作为城市副中心定位．现已知北京城市副中心占地(如图1-1)面积约155平方千米，若将一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的直径，求北京城市副中心的直径．

图1-1

解画出北京城市副中心的区域轮廓图(图1-2)，可见M、N两点的实际距离即为区域的直径．需确定比例尺，然后量出直径．利用割补的方法，把区域轮廓图近似分割为一个矩形ABCD和一个三角形BEF．

注：只要方法得当，答案靠近19～20千米，即为正确.

图1-2

四、(满分20分)古语说“早睡早起身体好”，“闻鸡起舞”．现在对这一传统习惯——清晨锻炼身体，有些非议．理由是早晨太阳未升起前，空气污染严重，还是晚上空气质量更好些，更适合户外运动．北京的M空气观测站每天24小时、每小时公布一次空气质量指数。我们将每天6点、7点和8点三个数据的平均值作为当天早晨的空气质量指标，将每天18点、19点和20点三个数据的平均值作为当天晚间的空气质量指标，表1是根据M空气观测站发布的2017年1月到6月空气质量指数计算出的早、晚空气质量指标数据(有少量数据缺失)，数值越大，空气的质量就越差．

表1　2017年上半年每天早、晚的空气质量指标数据

(1)请你计算每个月各天早晨的空气质量指标的平均值和标准差、晚上的空气质量指标的平均值和标准差．利用你计算的结果对“晚上空气质量更好些，更适合户外运动”的观点作出评判．

(2)尝试对数据进一步分析，给出相应的结论．

解(1)平均值和标准差的计算结果如下

表2　2017年上半年每天的空气质量指标早、晚月平均值和标准差

标准差描述的是随机变量距离期望值随机波动幅度的大小．这里得到的十二个标准差的最小值是42，这表明空气质量指数随机波动的大小至少在±42的范围之内，再计算早、晚各自月平均值的差，6个月的数据分别是：-4，21，14，23，28，8．这些数都在28以内，远没有超过随机误差的水平．因而很难断言在一天中早晨与晚上的空气质量是否有明显的差别，也就无从断言晚上更适合户外运动．

表3　2017年上半年每天空气质量早晚差

(2)如果注意到，我们要比较的早晨与晚上是指同一天的两个时段，就应当对每一天的“早晚差”(表3)进行统计分析，再计算“早晚差”的月平均值(这个早晚差的月平均值与早、晚月平均值的差是相等的)和“早晚差”的月标准差(表4)．这里的标准差表明对一个零期望值的总体随机波动的大小．注意到这里算出的每个月“早晚差”的月平均值都远小于当月的波动幅度，因此很难判断这些“早晚差”与零有明显的区别．观察每个月内每天的“早晚差”，发现有正有负，是随机变化的．很难断言早晨、晚上的空气质量谁优于谁．

表4　每天空气质量早晚差的月平均值和月标准差

五、(满分20分)据2017年11月20日 北京日报消息：昨天清晨，密云水库蓄水量自2000年以来首次达到20亿立方米，水位为144.74米．

另据北京市南水北调办公室工程处介绍，2014年12月27日南水进京后，一方面，自来水厂使用南水替代密云水库向城区供水，使密云水库每年减少出库水量超过5亿立方米；另一方面，通过京密引水渠，累计反向输送3.64亿立方米南水至密云水库存蓄．“出库量巨减，入库量增加，再加上近两年的汛期降雨、上游来水，共同保证了密云水库蓄水量稳步增加．”

密云水库的蓄水量在2014年11月是8.8亿立方米，2015年11月达到了10亿立方米，2016年11月达到了16亿立方米，2017年11月19日突破了20亿立方米．三年来，随着入库水量的明显增加，密云水库水面逐渐扩大，碧波荡漾、水质清澈，犹如一颗明珠镶嵌在华北大地．

资料显示：密云水库的洪水位是158.5米，相应水面面积183.6平方千米，库容41.9亿立方米；正常蓄水位157.5米，相应水面面积179.33平方千米，库容40.08亿立方米；汛限水位147.0米，相应水面面积137.54平方千米，库容为23.38亿立方米；死水位126.0米，水面面积46.154平方千米，库容4.37亿立方米．

请根据上述信息和下表数据，估计今年11月19日密云水库的水面面积．

日期蓄水量(亿立方米)水位(米)水面面积(平方千米)2017年 5 月 4 日17.02142.332017年 6 月12日17.3142.51142017年 7 月17日18.019143.18117.122017年 9 月10日19.006143.99120.732017年11月19日20144.74

解方法一利用体积公式计算．

将两个水面间的蓄水形状近似的看作是台，台的体积计算公式是

由于水库是在山中建坝围成的，地形非常复杂，两个水位之间并不是标准的台体，也就是说，体积V台前面的系数不一定是3，当蓄水量为Ai时，它对应的水位为hi、水面面积为Si，若蓄水量由Ai变到了Aj，设定一个调节参数kij，近似地满足

水库的两个水位差越大，两个水位所在平面的形状差异就越大，所以，为了求蓄水量20亿立方米时的水面面积，我们选取与之较近的水位数据参与计算．

由已知表中数据可知，

当A1=1.8019十亿立方米时，h1=0.14318千米，S1=117.12平方千米；

当A2=1.9006十亿立方米时，h2=0.14399千米，S2=120.73平方千米；

在大于20亿立方米时，题目给出的最近水位数据是汛限水位，即

当A3=2.338十亿立方米时，h3=0.147千米，S3=137.54平方千米．

于是有

即S2-620.37+62410=0，

解得S=126.325．

即今年11月19日密云水库的水面面积约为126.325平方千米．

方法二量纲分析的方法．

相关系数是r=0.9993，结论可靠．

注：只要方法合理，且答案数值在120.73(9月10日143.99水位时的面积)与137.54(汛限水位147.0时的面积)之间，又因为这时水位是144.74-143.99=0.75，147.0-144.74=2.56，故答案数值应靠近120.73．