涉及三角形边长与半径不等式的简证及加强

2018-07-13 09:37安振平
数学通报 2018年1期
关键词:正三角形外接圆三边

安振平

(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 712000)

在文[1]中,笔者提出并证明了如下不等式:

命题1△ABC中,三边长为a,b,c,求证:

当且仅当△ABC为正三角形时,等号成立.

通过探究,调整不等式①左面根式内分子字母的次序,获得了如下不等式:

命题2设△ABC的三边长为a,b,c,外接圆和内接圆的半径分别为R,r,求证:

当且仅当△ABC为正三角形时,等号成立.

本文先给出不等式②的两个直接证法.事实上

证明1(三角函数方法)记△ABC的面积为S,有

于是,有如下关系式

于是,不等式②等价于

等价于

等价于

注意到常见不等式

故③成立,即不等式②获证.

证明2(代数换元方法)由a,b,c为△ABC三边长,可设a=y+z,b=z+x,c=x+y,其中x,y,z为正数.则易知

则不等式②等价于

两边平方,整理知其等价于

因为

所以,只需证

这等价于

故④成立,即不等式②获证.

显然不等式④是一个优美的代数不等式,它显然是如下常见不等式的一种有趣组合.

更进一步,通过深入探究,笔者获得了不等式②的一种如下加强.

命题3设△ABC的三边长为a、b、c,外接圆和内接圆的半径分别为R、r,求证:

证明应用上文的三角函数变形,易知不等式④等价于

等价于

于是,只要证明

等价于较不等式⑤更强的不等式:

命题4在△ABC中,求证:

有xy+yz+zx=1,其中x,y,z>0.

于是,不等式⑥等价于

等价于

应用二元均值不等式,得

故(*)成立,即不等式⑥获证.

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