拨开云雾见日出
———一道橡皮筋问题的进阶学习

■安徽省滁州中学 王 云 牛 丽 周有顺

遵从胡克定律的弹簧、弹性绳、橡皮筋是力学中常见的提供弹力的模型,求解涉及此类模型问题的过程体现了化静态思维为动态思维、化单向思维为多向思维的思维进阶过程。下面以一道涉及橡皮筋的动态平衡问题为切入点进行分层学习,逐步提升同学们的思维体系。

图1

例题如图1所示,一根遵从胡克定律的橡皮筋的一端系于O点,另一端系一物块,橡皮绳的原长为OA,橡皮绳垂直时物块对地面有压力,物块在水平拉力作用下缓慢地向右做直线运动,则在运动过程中( )。

A.地面对物块的支持力保持不变

B.地面对物块的支持力减小

C.地面对物块的摩擦力增大

D.地面对物块的摩擦力减小

图2

解析:物块在水平拉力作用下缓慢地向右做直线运动时处于动态平衡状态,所受合外力等于零。如图2所示,以O点为圆心,以橡皮绳原长OA为半径作圆弧与OD相交于C点,则CD段的长度为橡皮绳的伸长量。如图3所示,对物块进行受力分析,构建共点力平衡方程得F-f-Tsinθ=0,N+Tcosθ-G=0。橡皮绳的拉力T=kxCD,物块与地面间的弹力N=G-kxCDcosθ=G-kxCE,物块与地面间的滑动摩擦力f=μN=μ(G-kxCE),水平外力F=μ(G-kxCE)+kxDE=因此,物块在向右滑动的过程中,物块与地面间的弹力逐渐减小,摩擦力逐渐减小,水平外力逐渐增大。

图3

答案:BD

反思:动态平衡问题的核心思想是“以不变应万变”,分析过程中务必明确哪些物理量不变,哪些物理量变化且动态源怎样变化。本题的难点是橡皮筋绕O点转动,通过几何方法确定伸长量为CD段的长度,并通过共点力平衡条件进行定量推导。同时由于随物块向右滑动,物块与地面间的弹力逐渐减小,物块可能离开地面,因此为了严谨,本题需要补充条件“物块缓慢地向右运动一小段距离”。

图4

变式1:如图4所示,若在靠近A点右侧固定一枚光滑钉子,则在水平拉力作用下物块缓慢地向右做直线运动的过程中( )。

A.地面对物块的支持力保持不变

B.地面对物块的支持力减小

C.地面对物块的摩擦力增大

D.水平拉力保持不变

解析:物块的受力情况与图3类似,利用共点力平衡可以进行推导。物块与地面间的弹力N=G-kxACcosθ=G-kxAB,物块与地面间的滑动摩擦力f=μN=μ(G-kxAB),水平外力F=μ(G-kxAB)+kxBC。因此,物块在向右滑动的过程中,物块与地面间的弹力不变,摩擦力不变,水平外力逐渐增大。

答案:A

反思:本题的特点是“靠近A点右侧固?定一枚光滑钉子”,AC段的长度为橡皮筋的伸长量,所以弹力在竖直方向上的分力保持不变,弹力不变,滑动摩擦力保持不变。橡皮筋伸长量在水平方向上的分量逐渐增大,弹力在水平方向上的分力逐渐增大,水平外力逐渐增大。

图5

变式2:如图5所示,若在A点上方靠近M点右侧固定一枚光滑钉子,则在水平拉力作用下物块缓慢地向右做直线运动的过程中( )。

A.地面对物块的支持力保持不变

B.地面对物块的支持力减小

C.地面对物块的摩擦力增大

D.水平拉力保持不变

解析:物块的受力情况与图3类似,利用共点力平衡可以进行推导。物块与地面间的弹力N=G-k(xMC-xMA)cosθ=G-kxMB+kxMAcosθ,物块与地面间的滑动摩擦力f=μN=μ(G-kxMB+kxMAcosθ),水平外力因此,物块在向右滑动的过程中,物块与地面间的弹力逐渐减小,摩擦力逐渐减小,水平外力逐渐增大。

答案:B

反思:本题的特点是“在A点上方靠近M点右侧固定一枚光滑钉子”,xMC并非为橡皮筋的伸长量,所以在计算过程中需要利用(xMC-xMA)代表伸长量。其他分析过程可以类比例题。

图6

变式3:如图6所示,一根弹性细绳的劲度系数为k,将其一端固定在P点,另一端穿过一光滑小孔A系住一质量为m的滑块(可视为质点),滑块位于水平地面上的O处。当细绳竖直时,小孔A到悬点P的距离恰为弹性细绳的原长。小孔A到水平地面的距离为与水平地面间的动摩擦因数为μ。若滑块与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则滑块处在什么区域内均可保持静止?

图7

解析:假设滑块在C点受到的摩擦力恰好为最大静摩擦力,如图7所示,根据共点力平衡条件得N+Tcosθ=G,Tsinθ=fmax,又有T=kx,G=mg,fmax=解得因此滑块处在以O点为圆心,以r为半径的圆内都可以保持静止。

反思:本题的物理情境从二维平面进化到三维立体,滑块的运动区域从直线进化到二维平面,利用降维思想即可顺利求解。

1.如图8所示,用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上,系统处于平衡状态。现使小车从静止开始向左加速,加速度从零开始逐渐增大到某一值,然后保持此值,小球稳定地偏离竖直方向某一角度(橡皮筋在弹性限度内)。与稳定在竖直位置时相比,小球的高度( )。

A.一定升高

B.一定降低

C.保持不变

D.升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定

图8

图9

2.如图9所示,AB为一固定在小车上的竖直杆,BC为一光滑弯曲管道,橡皮筋一端固定在支架上的B点,穿过管道另一端悬挂一个小球。系统平衡时,BC管道的弧长恰好为橡皮筋的原长。现使小车向左做匀加速运动,小球稳定地偏离竖直方向某一角度(橡皮筋在弹性限度内)。与稳定在竖直位置时相比,小球的高度( )。

A.一定升高

B.一定降低

C.保持不变

D.升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定

图10

参考答案:1.A 提示:如图10所示,以悬点O点为圆心,以橡皮筋原长OA为半径作圆弧与倾斜后的橡皮筋相交于C点,小球在竖直方向上保持平衡,所以橡皮筋的伸长量在竖直方向上的投影和AB段的长度相等,显然稳定后小球的高度会升高。

2.C 提示:本题的特点是“BC为一光滑弯曲管道,且BC管道的弧长恰好为橡皮筋的原长”,所以C点以下部分恰好为橡皮筋的伸长量,小车向左做匀加速运动,小球在竖直方向上保持平衡,橡皮筋的伸长量在竖直方向上的投影保持不变,所以小球的高度保持不变。