蜡烛复燃现象的物理模型

梁晋峰,刘丽飒

(南开大学 物理科学学院，天津 300071)

点燃的蜡烛熄灭后的复燃，是由于蜡烟和空气的混合符合燃烧条件并通过燃烧放热的形式逐步引燃空间下方的蜡烟[1]. 蜡烛相关的实验在化学教学中有许多相关研究[2-4]，在物理中其主要作为热源研究[5-6]，但其温度分布和白烟扩散等基于蜡烛自身物理性质的现象未见报道. 本文就这一现象构建无限大蜡体和毛细管组成的模型来进行理论分析，尝试证明了两者的相似性，给出了合理的对应关系，推算了蜡烟浓度分布与时间、空间的关系，并通过实验进行了模型验证.

1 构建模型

1.1 蜡烛模型

建立无限大的、有一定厚度的蜡体中心放置定长毛细管的模型进行蜡烛的理想化. 其中：1)蜡体是均一的，燃烧产物化学成分相同且稳定；2)忽略燃烧中产生的表面凹陷，认为毛细管的有效作用长度保持不变；3)热源均匀地分布在蜡平面的下部，认为蜡体整体受热形式与程度相同.

如图1所示，以毛细管的下端点为中心建立坐标系. 研究过程中发现由于在径向上各个方向的情况相同，故而简化为二维坐标系.

1.2 蜡烛熄灭

为了便于研究，认为吹熄过程足够短，忽略流体场的变化，并且规定：1)燃烧中心处在熄灭后的一段时间内保持熔融态，其比热容、密度等物理参量不发生变化，忽略其温度变化，并认为温度场重新分布的时间尺度远小于这段时间；2)在不燃烧状态下，认为毛细管搬运过程中没有热损失.

图1 简化的二维蜡烛模型

1.3 蜡烛稳态燃烧与蜡烟产生

蜡烛在燃烧的过程中，蜡芯将液态蜡沿蜡芯的方向搬运. 在此过程中，接近蜡烛上表面的部分保持部分熔融态，蜡芯内蜡成分主要为液态，并不断蒸发成蒸汽. 由于熔融态、液态、气态的分子与空气的混合程度不同，导致火焰分为温度最高的外焰(气态燃烧)、温度居中的内焰(液态燃烧)和核心处温度最低的焰心(熔融态甚至固态直接燃烧).

蜡烛火焰达到相对稳定时，可以认为存在3种主要的平衡关系：1)蜡芯燃烧速率与蜡融化速率的平衡；2)蜡芯吸收的的蜡液与产生的蜡液量相同；3)液态蜡脱离蜡芯汽化的速率与蜡蒸汽的燃烧速率相同.

平衡关系的核心是融化蜡、蒸发蜡和燃烧蜡的平衡. 燃烧状态下的蜡放出的热量是维持平衡的主要能量来源. 当吹熄蜡烛时，外层温度迅速降低，且作为可燃物的蜡蒸汽被吹开，导致可燃烧蜡迅速减少，放出的热量减少；同时核心处受到的影响较小，保持较高的温度，毛细作用的搬运仍在继续. 此时，新产生的液态蜡由于不能达到着火点，也没有足够的能量使其燃烧，以蜡蒸汽的形式溢出，这是蜡烟的形成机制. 这也是复燃的蜡烛能比较快地恢复稳态下的火焰的原因[9].

实际上，当蜡体受到持续的强热(大于熔点)又不能燃烧时，与蜡烛吹熄后产生蜡烟的形式相同. 但由于蜡芯的毛细作用，蜡烛产生的烟雾有一定的趋向性. 为此可以将足够大的蜡体安置在封闭的小空间中，用足够细的毛细管来实现理想化的“无限大”条件，达到将块体产生的蜡烟整流的目的，使模型与蜡烛的结构更为契合.

2 理论分析

2.1 等效毛细管长度的计算

毛细管现象是由三相间表面张力系数不同而产生的，其符合：

σs-g-σs-l=σ1-gcosθ,

(1)

(2)

式中ρ0表示液体密度. 这是蜡液滴能达到的最大高度，也是蜡芯有效长度，即等效毛细管长度.

2.2 空间温度场分布

参考文献[8],设θ表示空间中某个点的温度变化量，由傅里叶公式得到：

(3)

进行傅里叶变换和逆变换后得到：

(4)

其中A是待定参量.

吸收的热量可以表示为

(5)

根据能量守恒定律得

Qab=Qre,

式中c是热传导系数,ρ是空气密度. 于是得

(6)

参考黑体辐射，对点热源有：

由于已经规定了熄灭过程极短，比热容保持不变，由ΔQ=CmMΔT和CmMdT=σT4dt得到温度和时间的关系为

即点热源温度关于时间的函数符合：

(7)

由此也可得到冷却时间，即温度降至熔点之下的总时间.

2.3 蜡烟的扩散

由于点热源温度是关于时间的函数，任意短时间下放出的热量等效于一个恒温热源，因此：

(8)

根据菲克定律[7]，扩散系数与温度符合:

(9)

代入得到蜡烟浓度关于时间、距离的函数为

所以

(10)

3 实 验

3.1 蜡芯有效长度的验证

采用直径为1.5,1.8,2.0,2.5,3.0 cm的单芯(6股)蜡烛，利用压灭的方式进行实验，探究蜡芯的毛细作用.

毛细作用的高度取决于毛细管的半径. 事实上蜡芯长度不仅取决于毛细作用强度，也受到蜡烛粗细的影响. 这是由于确定的蜡芯有有限度的影响区间. 实验中发现，同用6股的单根蜡芯，蜡芯有效长度随蜡烛直径的增大而增大，这是由于蜡烛直径增大导致蜡芯能运输的蜡液变多导致. 但当蜡烛直径足够大时，蜡芯本身毛细作用成为制约运输作用的主要原因.

反过来说，由于蜡烛半径的制约作用，每个蜡芯半径都会有合理的对应半径，这也是模型与实际蜡烛相互调节的最重要形式.

图2 蜡芯有效长度L与蜡烛直径d的关系

3.2 点热源温度场的分布

本文模拟了温度场的变化，如图3所示. 可以看到一定程度上整体的温度略有升高，核心区温度几乎不变. 在铁架台上固定装有足量蜡粉、以被毛细管贯穿的橡胶塞封口的短颈烧瓶. 均质加热烧瓶底部，骤冷，蜡烟自由释放. 图4为实验上获得的红外热像图.

(a)t=1/12 s

(b)t=1s图3 点热源的温度模拟图

(b)侧视图图4 蜡烛火焰的红外热像图

3.3 蜡烟分布

再利用铁架台固定架固定装有足量蜡粉、口径较大的长颈烧瓶. 均质加热烧瓶底部，控制热源的温度保持在蜡的熔点和燃点之间，产生稳定的蜡烟. 可以通过外加冷却的方式近似实现定时冷却使蜡烟凝结在颈壁上，图5为实验照片. 将图5灰度化后以管颈中心垂直部分灰度值变化表示蜡烟浓度，如图6所示. 蜡烟浓度随高度变化呈现先减小后增大的性质.

图5 长颈瓶实验图

图6 长颈瓶管颈中心竖直方向的灰度变化

4 结束语

本文构解了以无限大蜡体上方安置毛细管的蜡烛模型，证实了与实际的相似性和在实验方面的可重复性；另一方面，确切地解释了蜡烛燃烧、复燃过程. 蜡芯的作用是搬运液体蜡，作用等同于毛细管；蜡烛产生的蜡烟浓度在竖直方向上中先减小后增大.