浅谈圆锥曲线的第三定义及运用

◎杨丽

新课程数学教学，实现的是学生对所学知识的螺旋式上升。在新授课过程中，对选修2－1第41页例3“设点A，B的坐标分别为(－5，)0，( 5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.”，仅仅是对用直接法求轨迹方程的应用。但在高三一轮复习中，学生的认知能力全面提升，在复习到椭圆时，应重温此例，并对其拓展到椭圆的第三定义，适时扩充到双曲线的第三定义，并加以应用。

一、椭圆的第三定义

证明：以焦点在轴上的椭圆为例，构造△PAB的PA边所对的中位线MO，kPA＝kMO

二、双曲线的第三定义

证明：只需将椭圆中的b2全部换成－b2就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。

三、简单运用例题

（1）若直线l1：y＝k1x＋1与直线l2：y＝k2x－1的交点在椭圆2x2＋y2＝1上，则k1k2的值为_________.

化简得：k1k2＝－2

法二：直接利用椭圆的第三定义，交点视为点P

则k1k2＝－2

点评：从以上两种解法可以看到：法一完全体现解析几何的“本色”——运算，平铺直叙，一气呵成，但计算量较大，易计算容易出错；法二直接利用椭圆的第三定义解题，省去繁琐的计算，提高效率。

点评：两顶点一动点的模型联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。而题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点。

点评：在此法中，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用基本不等式“三相等”即可用a、b表示出最值1。

四、能力提升练习

（1）已知双曲线C：x2－y2＝2019的左、右顶点分别为A、B，P为双曲线右支上一点，且∠PAB＝4∠APB，则∠PAB＝______.

可见，在解题中，要落实到定义，它是一切后继知识应用的牢固根基。要想准确运用好椭圆、双曲线的第三定义解题，在审题中，抓住曲线上关于原点对称的两点，斜率等关键词是快速入手的关键。