基于多元表征的完全平方公式的教学探究

◎邹丹

一、缘起

表征指用一物作为另一物的代表，或用一种信号代表一种事物。在心理学中对表征有两方面的理解：一方面，表征是独立于学习者的外部信息结构形式；另一方面，表征是指反映外部信息的学习者的认知结构。

从表征的视觉来说，数学中的“数”主要是指数学对象的语言表征，包括数学中的文字、数字、公式、数学定理等；相应的，数学中的“形”主要是指数学对象的视觉表征，包括数学中模型、图像、图形等。

从以往的教学中看，在学生平时的作业中经常出现以下4种错误：（1）漏掉中间项，如（a＋4）2＝a2＋16；（2）中间项漏乘2，如（2a－1）2＝4a2－2a＋1；（3）与平方差公式混淆，如（a－2）2＝a2－4；（4）系数不平方，如（2a＋1）2＝2a2＋4a＋1。分析学生发生错误的原因是他们只看到了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2的表面形式，并没有真正掌握完全平方公式的本质。因此，在教学中，应当加强对学生的引导，充分分析公式的结构特征，并通过合理的设置变式训练，让学生进一步领会完全平方公式的实质，达到教学的预期目标。而基于多元表征的完全平方公式的教学就是要优化教学内容的信息结构和教学设计，促进学习者对数学对象的理解。

二、教学策略分析

1.问题引入

从学生熟悉的代数运算角度，引导学生归纳出完全平方公式的代数解释。

问题1：根据乘方的定义，我们知道：a2＝a·a，那么（a＋b）2应该写成什么样的形式呢？计算下列各式，你能发现什么规律？

（p＋2）2＝（p＋2）（p＋2）＝

（3＋y）2＝（3＋y）（3＋y）＝

（a＋x）2＝（a＋x）（a＋x）＝

学生讨论，教师归纳，得出结果：

（p＋2）2＝（p＋2）（p＋2）＝p2＋4p＋4

（3＋y）2＝（3＋y）（3＋y）＝9＋6y＋y2

（a＋x）2＝（a＋x）（a＋x）＝a2＋2ax＋x2

分析推广：结果中有两个数的平方和，而4p＝2·p·2，2ax＝2·a·x，6y＝2·3·y恰好是两个数乘积的两倍.

问题2：根据分析推广计算（a＋b）2＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析结果，得到结论：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。

问题1问题2从多项式的乘法角度出发，让学生从中发现完全平方和公式，并用符号表征阐述完全平方公式，在此，为了加深学生对公式的理解，教师继续提出问题。

问题3：你能用自己的文字语言来表述这个公式吗？（学生先行讨论，教师总结断后。）

两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.

即从语言表征的角度加深学生对公式的认识，同时给出以下相应的练习。

练习1：填空：

（m＋2）2＝（ ）2＋2（ ）（ ）＋（ ）2

（2m＋1）2＝（ ）2＋2（ ）（ ）＋（ ）2

让学生从形式上再次明确完全平方和公式的内容。

问题4：计算：（p－2）2＝（p－2）（p－2）＝

（a－x）2＝（a－x）（a－x）＝

学生讨论，归纳得出结果写出结论，并用文字语言阐述公式的内容，即用符号表征和语言表征认识完全平方差公式。

（a－b）2＝a2－2ab＋b2。

两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.

学生自己书写，教师适时指导，再一次从模型表征的角度阐述完全平方公式，加深学生对公式代数结构的理解。

2.几何分析

你能根据图（1）和图（2）的面积说明完全平方公式吗？

图（1）大正方形的边长为（a＋b），面积就是（a＋b）2，同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们分别的面积为a2，ab，ab，b2，通过整体面积和部分面积比较可以得出（a＋b）2＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2。

图（2）一方面可直接根据边长a－b表示（a－b）2（即图①的面积）；另一方面可根据边长为a的大正方形面积减去两个长、宽分别为a、b的两个长方形的面积，同时补回一个边长为b的小正方形的面积（即④的面积），可以得出（a－b）2＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2。

这样可以借助图形的直观性，激发了学生的探究欲望，同时从代数式的几何意义出发，让学生领略了数形结合的美妙，即从图形表征的角度，阐述完全平方公式。通过以上问题的设计，让学生从不同的角度认识完全平方公式，从不同的表征阐述完全平方公式，从心理学的角度讲就是从不同的角度去刺激学生的大脑来思考完全平方公式，从而加深学生对公式的认识，理解公式的代数结构，从而避免学生只会死记硬背公式。

3.巩固提升

例1.应用完全平方公式计算：

（1）（4m＋n）2（2）（x－2y）2（3）（－a－b）2

解：（1）（4m＋n）2＝16m2＋8mn＋n2

（2）（x－2y）2＝x2－4xy＋4y2

（3）（－a－b）2＝（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

教师先行板书第（1）题，给学生做好相应的示范，学生独立完成，教师及时反馈。

变式训练1：应用完全平方公式计算：

（1）（x－1）2（2）（2x＋3y）2（3）（－a＋b）2

评析：让学生熟练完全平方公式的结构和特点，能正确的运用公式计算，让学生进一步理解完全平方公式，体会完全平方公式的直接性。同时可以让学生理清完全平方公式中符号、位置、系数的变化，能灵活运用公式。

例2.下列各式的计算是否正确？如果不正确，应怎样改正。

（1）（x＋y）2＝x2＋y2→x2＋2xy＋y2

（2）（a－b）2＝a2－b2→a2＋2ab＋b2

（3）（x－1）2＝x2－2x＋1

（4）（a＋2b）2＝a2＋2ab＋b2→a2＋4ab＋b2

（5）（3x－2）2＝9x2＋6x＋4→9x2－12x＋4

评析：再一次让学生，从纠错的角度阐述完全平方公式，进一步加深完全平方公式的理解，让学生理清完全平方公式中符号、位置、系数的变化。分析典型错误，这样学生在练习中能尽量避免这些错误。

通过实例的设置，让学生从正向和逆向的角度理解完全平方公式，体会完全平方公式的代数结构。

例3.公式的拓展运用：

（1）（a＋b＋c）2（2）（x－2y）2（x＋2y）2

解答：

（1）（a＋b＋c）2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc

（2）(x－2y)2(x＋2y)2＝ [(x－2y)(x＋2y)]2＝（x2－4y2）2＝x4－8x2y2＋16y4

评析：灵活运用完全平方公式来解题，首先要牢记公式的结构，再针对具体题目进行仔细分析，设法通过调整项的位置或添括号等变形技巧，把题目融于公式之中。第（1）题其含意可归纳为“几个数和的平方，等于这几个数的平方和再加上两两乘积的2倍”。第（2）题中如果先算平方，再相乘，显然比较复杂，我们可以通过添加中括号，变成积的平方，然后先相乘，再平方。

通过实例的设置，让学生更深刻的理解公式中a、b的涵义。随着例题的层层推进，引导学生从本质上理解a、b，这里的a、b可以是单独的一个数字，一个字母，也可以是一个单项式，甚至是一个多项式，从而深刻认识到a、b的内涵和公式的本质，促进学生熟练、灵活地运用公式。

4.学以致用

（1）一块方巾铺在正方形的茶几上，四周刚好都垂下15cm，如果设方巾的边长为a，怎样求茶几的面积？结果怎样用关于a的多项式表示？如果a＝100cm，茶几的面积是多少cm2？

（2）用简便的方法计算

①1022②1.23452＋0.76552＋2.469×0.7655

（3）已知（a＋b）2＝11，ab＝1，求（a－b）2的值.

评析：让学生进一步体会生活中蕴含的数学规律和数学思想、实际问题数学化。数学来源于生活，数学与生活的联系是普遍存在的。另外，进一步提升学生观察、分析、解决问题的能力，能灵活运用完全平方公式。

5.归纳小结

你能用几种形式表述完全平方公式？再次让学生从不同的表征阐述完全平方公式，理解其代数的结构。

三、感悟与反思

公式的教学在数学中占有相当重要的地位，学生由于对公式的理解不透彻，经常记错公式，直接影响学生的数学学习。基于多元表征的完全平方公式的教学探究，就是要利用不同的表征形式让学生理解完全平方公式。但并不是把完全平方公式的所有表征全部呈现给学生就能达到目的，而应该根据学生的认知水平，从简单到复杂，循序渐进呈现完全平方公式的各种表征形式，让学生从不同的角度理解完全平方公式，知道其代数结构。本节课我遵循以上原则，从多项式乘法出发，引出完全平方公式，然后通过语言表征、符号表征、图形表征、模型表征来阐述完全平方公式。在教学策略中，将公式的证明推导过程变成解决问题的过程，设计一系列有层次、前后衔接的梯度问题，使学生思维活动层层展开。在强化公式的过程中，从不同的角度，不同层次解释知识之间的联系，促进学习者对数学公式本质和结构的理解。

为此，在后续的教学过程中，教师应该注重从不同的角度阐述数学公式和数学定理，数学思想和方法，引导学生从不同的视角认识和看待数学公式和定理，数学思想和方法，从而强化对数学的理解，促进学生的数学学习。