数学优秀生教育教学的实践探索

朱胜强



数学优秀生教育教学的实践探索

朱胜强

（南京外国语学校，江苏 南京 210008）

英才的培养关系到国家未来的核心竞争力．高中阶段是英才培养的关键时期，中国高中阶段数学英才教育现状令人担忧．名校理科试验班汇聚了同龄人中的数学优秀生，对这些学生的培养试验班的数学任课教师责无旁贷．在教育、教学实践中，可通过拓展深化教学内容，开展探究性教学，设计有针对性的作业，组建课外研究小组及发挥校内外资源的作用等措施来提高培养效果．

数学英才；数学优秀生；培养；教育教学；实践

目前中国高等教育已发展到大众教育的历史阶段，每年高校都为社会各行各业输送大量人才．但钱学森之问“为什么我们的学校总是培养不出杰出的人才？”却总是萦绕在教育工作者的心头．在追求教育大众化、普及化的同时，世界各国都重视英才教育．很多发达国家将英才教育提升到关系国家发展、民族安危和提高国家核心竞争力的高度[1]．《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》明确指出：“推进培养模式多样化，满足不同潜质学生的发展需要．探索发现和培养创新人才的途径．”拔尖人才的培养，如果从大学开始已经太晚了．一个人对某个专业领域的兴趣与创新意识，应该从青少年时代开始培养，高中阶段是人生观、世界观、价值观形成的重要时期，因而也是英才培养的关键期[2]．

1 数学英才教育的现状

英才教育中数学是不可忽视的一门学科．数学英才生的教育是一种特殊教育，对他们的培养需要特殊的课程和培养环境[3]．虽然中国有重视英才教育的传统，但当前高中阶段实施数学英才教育却有着令人担忧的现状．第一，激烈的高考竞争导致了英才教育的“异化”．老师们都知道自己的学生基础知识的底子没打牢，却不得不在高二早早结束课程，用整整一年的时间反复给学生操练解题，学生甚至可以在几秒钟内给选择题画勾，否则大量的高考题目根本就不可能在短短的两小时内做完．第二，数学竞赛越来越多的功利性使英才教育偏离了初衷．在国际奥数中，中国的金牌数、奖牌数总是领先，可是得金牌的孩子大部分不选择数学作为他们的职业，即便选择了数学，也没有成为优秀的数学家．第三，过度统一的标准和教材使英才教育难以实现．中国的课程标准是法律，各个学校必须执行．这就使得标准的制定非常困难，是就高，就低，还是取中？在精英教育阶段这事好办，而大众教育阶段真可谓众口难调了[4]．反观世界数学强国，无论是美国、法国还是俄罗斯，针对英才教育的数学课程，在范围与难度上都远超中国课程标准的要求[5]．

尽管如此，数学英才教育方面的探索并未停止．许多教育研究单位与学校都在寻找数学英才教育的可行办法．比如，设立特殊班级．一种不缩短学制，组建在课程实施进度、深度和广度方面都区别于其他班级的特殊班级，这是英才教育的常见形式．还有就是实施培养项目．21世纪以来，北京、上海等地创办并实施了一些培养人才的项目计划，打破中学内部独立培养英才的局限，充分利用高校及科研院所的资源培养数学英才；开设丰富多彩的选修课，实施有助于英才教育的校本课程．为了让不同的学生学习不同的数学，一些中学已经开始探索建构新的数学课程体系[6]．有的甚至还尝试打通小学高年级、初中、高中，组建中学超常儿童教育实验班[7]．

依据国外对英才界定的经验，英才在同龄人中约占3%~5%[4-5]．在中国，对于一些拥有优质生源的高中学校，这一比例还应大幅度提高．从网上获取的数据可以发现，某省辖市2017年参加中考的考生约四万七千人，该市排在前两位的中学中考录取分数线均不低于640分，对应的这部分学生占中考总人数的3.05%．所以，名校理科试验班的学生几乎都可作为英才培养对象．由于试验班的选拔未必严格按数学英才标准进行，但他们中绝大部分人的数学表现会十分突出，所以将这些学生称为数学优秀生．

发现和保护一个天才很难，扼杀他们却很容易[8]．对于这些数学优秀生的培养，依靠仅有的英才培养项目计划与少数英才教育试验是无法实现的．理科试验班的数学教师自然责无旁贷．

2 基本情况介绍

自2004年起，研究者一直任教理科试验班数学，其中有6年还兼任试验班班主任．学校为N市直属学校，全省名校，中考录取分数线处于全市上游水平．学生在高一被录取后，便可自主报名，参加理科试验班的选拔考试．考试内容涵盖数学、物理、化学，其中数学分数所占比例远超另外两门．试验班共招50人左右，约占年级总人数的12.5%．所招学生大部分在初中即对数学有浓厚的兴趣，或参加过初中数学竞赛．

试验班数学第一课堂的课时数与年级其他班一样，所用教材也与其他班相同，均由上级教学管理部门指定．期中或期末考试，也用同样的试卷（便于全市或学校统一检测）．在教学进度上，试验班快于其他班，在教学内容上，并不要求与其他班一致，每天的课外作业也与其他班不同．单元测验试验班均单独命题，难度更大，范围更广．

为了让学生在数学上有更好的发展，还专门面向试验班开设了选修课“高中数学提优”，在每学期初由学生自主报名参加．每周上课两次，每次课两个小时．教学内容为第一课堂的自然延伸，更多的是教材之外的内容．正常情况下，在高一年级第一学期，几乎所有试验班学生都会选数学作为选修课．此后每学期初，都需重新报名，学生可根据自己的情况，或征求任课教师意见后决定是否继续选修．

3 教育教学的实践探索

如何针对试验班的数学优秀生开展数学教育、教学工作，使他们在数学方面的潜能在高中阶段能有更好的提升呢？

3.1 教学内容的拓展深化

高中数学教材的编写，需考虑到普通学生的接受理解能力，在难度上会有所控制．这就未必适合数学优秀生的需求了．Diaz等人认为：课程如果缺少挑战，数学英才生易感到枯燥无聊，提不起学习兴趣，课业成就很有可能不易表现[3]．大量研究表明，导致优秀学生低成就的原因之一就是缺乏有挑战性的课程[6]．与现行课程标准配套的教材，对于数学优秀生来说，基本不具挑战性．考虑到教学管理方面的要求及将来可能面对的高考等，教学中另选教材是不切实际的．所以，采取的做法是在使用指定教材过程中，在内容上进行适度拓展深化．

拓展深化的内容有这几方面参考．其一是中国各个时期不同版本的数学教材．这些教材中的内容都曾是经过专家反复推敲，精心挑选的．有些内容虽然没有出现在当前课本中，但它们的教学价值不容忽视．其二是《高中数学竞赛大纲》．该大纲旨在“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生”“为他们设置一些选学内容，提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能”[9]．许多数学优秀生都将取得高中数学联赛好成绩作为奋斗目标，高中数学竞赛的二试内容虽然有许多超出课程标准，但仍以课程标准为基础．结合课本内容，由课内向课外自然拓展，逐步深化．其三是中学与高等数学相衔接的内容．数学优秀生数学学习并不局限于高中数学内容，或仅在高考中取得好的数学成绩．许多学生会自学一些高等数学．但现行教材与高等数学有许多脱节的地方．比如，数列的极限，函数的极限，复数的三角形式，复数的指数形式，等等．这些内容拓展后，有利于学生自主学习，自我发展提高．除此之外，还可增加一些从长远角度看，有利于认识数学本质，有利于构建数学内在联系的内容．经过拓展深化，增强数学知识的完整性和系统性，使学生形成深厚、完整的数学基础．

此外，还着重介绍4类常见函数：

上述内容的补充，有利于学生在学习函数时尽早建立起一个较完整的框架，有利于在后续学习过程中更系统地看问题．比如，有了一一映射与逆映射，学生可以更好地了解“对应”“映射”“函数”之间的关系．在研究函数与方程时，可以更清楚地理解函数与方程间的区别与联系．同样，有了一一映射，有助于建立反函数的概念，进而更深入地了解函数的本质及不同函数之间的联系．

不同的章节内容在拓展补充时各有不同的侧重点，在教学安排时需整体考虑，统筹规划，以减少随意性．

3.2 开展探究性教学

苏霍姆林斯基在《给教师的建议》中指出：“在人的心理深处有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，在儿童的精神世界里，这种需要特别强烈．”国内外许多研究也表明，英才学生的学习方式与普通学生明显不同，主要表现为学习的主动性、探究性、合作性和持久性[1]．

针对数学优秀生开展的教学活动常会隐藏着许多不确定性．有时教师认为学生会有疑惑的地方，他们早已清楚了；有时认真准备好的范例，却遭学生瞬间“秒杀”；有些问题本想一带而过，学生却非要打破沙锅问到底．要让学生真正投入课堂思考，教师就要理性应对课堂可能出现的各种意外，而这背后是学生主动性的显现．实践表明，探究式教学可使学生学习的主动性得以充分发挥．在以教材为主要线索展开教学时，由于学生对所学内容很快能实现基本了解，因而会提出这样或那样的问题．沿着学生提出的想法探索下去，便会发现，原本许多教师想教给学生的东西，他们自己得到了．

比如，在学习双曲线时，有学生提出问题：初中学习了反比例函数，为什么反比例函数的图象也叫做双曲线呢？[11]

问题给出后，教师没有直接回答，而是引导学生思考、讨论，给学生足够的时间．甚至让学生按照不同的思路组成一些小组进行研究．最后，学生想出了如下一些解决问题的思路．

（1）用双曲线的定义说明；

（2）用双曲线的第二定义说明；

（3）用双曲线的性质说明；

（4）对反比例函数图象作旋转变换说明．

这些仅仅是解决问题的思路，有限的课堂时间是不够用的．所以，留给学生课外进一步研究．当学生从不同的角度获得结果后，再选择适当的时间进行交流．通过这样的探究活动，既深化了对双曲线相关知识的认识，又建立了新、旧知识间的联系，完善了认知结构．同时也促进了学生主动探究、自主获取知识能力的提升．

进行探究性教学一般需要耗费较多的时间，教师可能会有顾虑．不断发展的信息技术，为探究活动增添了得力的助手．学生可以用电脑验证猜想，实施计算，进行数学实验．一些原本需要花上大量时间的环节，一旦有了信息技术的支持，瞬间即可完成．数学优秀生掌握信息技术的速度也超乎想象，只要他们想用，很快就能达到熟练水准．

虽然数学优秀的学生在数学基础与理解能力方面会超出普通学生，但认识事物的过程还是一样的．所以，并不是说在试验班进行数学教学时，什么东西都得让学生探究．还应根据教学需要进行选择，一些有难度的问题，让学生采用接受式的学习方式，其效果可能更好．也有一些内容，可以选择好材料，让学生自学．关键在于教师的合理把握．

3.3 设计有针对性的作业

数学作业是数学教学的重要组成部分，是课堂教学的延伸．作业有巩固、发展、反馈、沟通等功能．布鲁姆曾经说过，在影响学业成绩的各种变量中，家庭作业是“易变的变量”，即家庭作业对学生成绩的影响差异很大[12]．如果作业布置失当，会产生诸多负面的影响．如影响学生的身心健康，导致学生创造力的缺失，助长学生的不良品行，等等[13]．

试验班数学作业的重要性很容易被忽视．有时，教师选择一些面向数学优秀学生的成品作业册作为家庭作业让学生同步完成．但这些作业册中一般会有许多机械重复训练的习题，过度的练习容易挫伤学生学习的积极性，占用学生自主思考问题的时间．试验班教学中经常会有一些补充拓展的内容，这样的作业是无法体现的．也有教师让学生自我选择家庭作业，看似培养了学生自我学习管理能力，但容易造成学生过早的分化，不易发挥好作业的教育教学功能．

多年来，研究者采用自编作业纸的形式布置每天的作业．从高一开学的第一天起，每天只要有数学课，便会配备一份数学作业．作业于次日收齐，批改后返还给学生．对于作业中出现的典型问题，安排适当时间做必要的讲评．

作业的设计考虑到以下几方面的因素．

首先，内容与课堂教学相匹配．针对课堂教学的重点、难点设计作业题．比如，在学习指数函数时，涉及到函数图象的平移变换问题．教材并没有将它作为重点，但对试验班学生来说，图象变换是沟通不同函数关系的重要途径．所以，设计时需有所侧重．再比如，教材中没有数列的极限，教学时补充了相关内容，则在作业设计时，需专门考虑，并且要有足够量的基础知识与技能的训练，以巩固教学效果．

其次，严格控制作业量．课内学习仅是数学优秀生数学学习的一部分，他们需要有自己独立学习思考的时间．虽然作业量稍大一些，学生也能完成．但无形之中侵占了学生自由支配的时间．一般情况下，绝大部分学生完成作业的时间控制在40分钟左右，尽可能不超过一小时．对量的控制，主要从这几方面把握．（1）尽量减少重复性的训练题；（2）限定题量．题的总量一般在10道左右，其中填空题6~8道，解答题2~3道；（3）多选侧重于思维的问题，少选需要大量繁琐运算的问题．

此外，问题的形式尽可能新颖，让学生感到有趣味．作业题的来源是多方面的．既有从课本的配套习题中选取或改编的，也有一些带有竞赛味道的，有一定挑战性的，甚至还有一些是趣味数学题．许多问题都在原来的基础上做了适当改编．一些典型的问题，尽可能避免在网上搜到现成的答案，以保护许多学生已养成的独立思考习惯．

每份作业都有编号，便于学生收集整理．说到某一编号作业中的某一题，可迅速找到该题，这可为讲评与交流讨论提供便利．由于作业的设计充分考虑了教学现状，考虑了学生的心理特征及感受，所以，作业受到绝大部分学生的欢迎．经常出现这样的情况，下课后教师忘了发当天的作业，学生会主动找老师索取．

除了平时的作业外，对于寒、暑假作业，也有类似的安排．多年的实践，使研究者认识到，在作业上的坚持，有利于学生养成良好的学习习惯，这一点对数学优秀的学生来说，同样十分重要[14]．许多已经毕业的学生再回母校，回忆高中数学学习时，均认为“小白卷”（指编制的作业纸）使他们受益匪浅．

3.4 组建课外研究小组

美国英才教育专家兰祖利（Joseph Renzulli）曾提出英才教育的三维教学模式．除识别学生的学习兴趣、风格和能力水平，组织以学生为中心的多元化课程外，还包括通过多样化的活动，比如个人和小组解决实际问题的研究，帮助学生实现能力的发展和提高[15]．

俄国数学英才教育，课外活动占有很大的比重，面向中小学生的Kruzhok（数学小组）是主要形式之一[16]．英国数学英才学生更多地偏好小组讨论、动手操作、自主学习和辅助学习等学习方式[1]．唐盛昌和冯志刚根据二十多年对上海中学数学英才生的教学经验，提出了培养数学英才生的两种教学模式，其一便是建立学生团队，集数学学习能力相仿、志同道合、各有特点的学生组成学习团队，开展学习风暴式的合作交流[17]．

在对数学优生的教学中，教师不应是学生数学知识的惟一来源．成功的教学，最终应使学生超越教师．虽然都对数学有兴趣，学生具体关注的内容也可能有别．有的酷爱平面几何；有的喜欢数论；有的对组合数学情有独钟；有的可能痴迷于数独．教师也不可能精通学生感兴趣的每个方面．这时，为有共同兴趣的学生搭建研究平台，让学生聚在一起，进行思维的碰撞，共同研究，相互促进，可取得良好的效果．

十多年前带的试验班中，有多人对平面几何非常感兴趣．为便于他们相互交流，提议学生办一份研究平几问题的班级小报，取名为“尺规探秘”．委托学生公认的平几“大神”担任主编，另外又聘数名学生为顾问．选择了80道有代表性的平几问题为素材，以小报的形式交流研究进展情况，教师也参与其中．报纸中有“破阵排行榜”，公布攻克难题题数较多的几位学生排名，还有“解法讨论与交流”“平几定理介绍”等栏目．由于当时的信息技术装备不如现在普及，报纸采用手写，人工绘图，再剪贴复印．份数有限，仅供传阅．这一活动极大促进了学生对平面几何的学习．

研究小组的形式可以各式各样，目的在于通过研究问题将有共同兴趣的学生汇聚在一起．近年，研究小组又有了新的形式．依托学校的社团活动，学生成立了数学研究社团，成员不只局限于同班学生，可以是校内有共同爱好者．目前，研究者正受聘担任“万物皆数”社团的指导教师．

现在，成立研究小组更为方便．用通讯工具，可以很快建立起“朋友圈”．研究的问题可用图片的方式发送，交流更加便捷．而缺少的恰恰是教师的组织引导与学生的自由支配时间．

3.5 充分发挥校内外教育教学资源的作用

英才的培养并不是在封闭环境中就能完成的，需要多方面因素共同作用．美国、法国、俄罗斯等国英才培养的成功经验及国内相关的研究均表明[1，3-6，18]，让学生与大师对话，更多地参与包括数学竞赛在内的数学活动，接受有针对性的专项训练，对英才的培养都会起到很好的促进作用．在这方面，作为试验班的数学教师需要积极做好规划、协调、组织与配合工作．

学校的大师进校园活动，常会邀请国内外的数学专家、院士，学生可近距离接触大师，感受数学的最新发展；针对热衷于数学竞赛的学生，学校聘有主教练与各年级教练，对学生进行有针对性的指导．除高中数学联赛外，学生还可参加东南数学竞赛、女子数学奥林匹克竞赛，以及多项国际数学竞赛；在高三年级会邀请老师对学有余力的学生开设“高等数学选讲”选修课，让学生提前熟悉大学数学课程；每年一度的科技节，会有相应的数学主题活动．最近的一期便是由数学优秀生负责的数学文化展；假期学校会选派数学优秀生参加大学举办的数学夏令营或冬令营．近年，学校开设的“STEM+”课程，则为学生创造了将数学与其它学科的融合机会．

4 结语

数学英才教育不是阶段性的教育，不可能单独在高中阶段完成，需要以初中教育为基础，同时也在为将来的高等教育做准备．因此，不同阶段需要相互衔接，才能取得最终的效果．当前，高中阶段数学英才教育所面临的困境，有些可以通过教育、教学实践探索逐步化解，有些则需要大环境的改善．任课教师应努力做到，只要学生有相应的潜质，就不遗余力地为他们创造条件．勿使未来的杰出人才湮没于数学教师手中．

[1] 李孝诚，綦春霞，王中雷．英国数学英才教育的实证研究及对我国的启示[J]．教育学报，2012（1）：54–60．

[2] 蒋建华．数学英才教育的责任担当[J]．数学通报，2011，50（3）：19–26．

[3] 张倜，曾静，熊斌．数学英才教育研究述评[J]．数学教育学报，2017，26（3）：39–43．

[4] 张英伯，李建华．英才教育之忧——英才教育的国际比较与数学课程[J]．数学教育学报，2008，17（6）：1–4．

[5] 倪明．从战略上重视数学英才教育[J]．数学教学，2006（12）：1–2．

[6] 王光明，宋金锦，佘文娟，等．建立中学数学英才教育的数学课程系统——2014年中学英才教育数学课程研讨会议综述[J]．课程·教材·教法，2014，34（5）：122–125．

[7] 王春辉，王乙琛．探索适合超常儿童发展的数学教育[J]．数学通报，2011，50（3）：26–28．

[8] 张英伯．发达国家英才教育的启示[J]．中学数学月刊，2010（2）：1–2，13．

[9] 中国数学会普及工作委员会．高中数学竞赛大纲[J]．中等数学，2006（12）：3–5．

[10] 朱胜强．函数教学中宜尽早向学生介绍的几类函数图象[J]．数学通讯，2009（11）：11–12．

[11] 朱胜强．为什么反比例函数图象是双曲线[J]．数学通报，2008，47（11）：46–48，50．

[12] 朱胜强．借助网络平台处理学生假期数学作业的实践研究[J]．数学教育学报，2015，24（1）：100–102．

[13] 宋广文，康红芹．教师布置作业的形式与学生学习关系的反思[J]．课程·教材·教法，2009，29（12）：35–40．

[14] 朱胜强．通过课外作业培养学生良好的学习习惯[J]．数学教育学报，2012，21（6）：59–60，87．

[15] 戴耘，蔡金法．英才教育在美国[M]．杭州：浙江教育出版社，2013：67–68．

[16] 午饭．俄国的数学普及和英才教育[J]．数学通报，2011，50（6）：1–3．

[17] 唐盛昌，冯志刚．数学英才的早期识别与培育初探[J]．数学通报，2011，50（3）：11–15，18．

[18] 倪明，熊斌，夏海涵．俄罗斯高中课程改革的特色[J]．数学教育学报，2010，19（5）：12–16．

Practical Exploration on Education and Teaching of the Students Excellent in Mathematics

ZHU Sheng-qiang

(Nanjing Foreign Language School, Jiangsu Nanjing 210008, China)

The cultivation of talents was bound up with the core competitiveness of the country in the future, and the senior high school was the critical period to cultivate the talents. However, current educational situation in China for mathematical talents at the senior high school was alarming. In the science experimental class of some famous schools, where the students excellent in mathematics among the people of the same age were gathered, cultivation of the students became the maths teachers’ inescapable duty. In teaching practice, we could expand the teaching content, carry out inquiry teaching, design targeted assignments, set up extracurricular research teams and give full play to the function of internal and external resources of the school so as to improve the cultivation effect.

mathematical talents; students excellent in mathematics; cultivation; education and teaching; practice

2019–01–25

江苏省教育科学“十二五”规划课题——高中数学课堂实现教学目标的问题驱动策略研究（B-b/2015/02/261）；南京市教研室第十期教学研究课题——通过学生数学作业进行认知诊断的实践研究；江苏省教育科学“十三五”规划2018年度课题——通过微型探究培养学生数学核心素养的实践研究（B-b/2018/02/78）

朱胜强（1963—），男，江苏仪征人，特级教师，正高级教师，主要从事课堂教学研究．

G420

A

1004–9894（2019）02–0052–04

朱胜强．数学优秀生教育教学的实践探索[J]．数学教育学报，2019，28（2）：52-55．

[责任编校：周学智、陈汉君]