高考“函数基本性质”专题分析

2019-08-01 12:02杨小兵胡丹
理科考试研究·高中 2019年5期
关键词:函数

杨小兵 胡丹

摘要:本文以2018年全国高考试题为载体,分析了函数基本性质考题分布情况,并对典型题型进行解析.

关键词:函数;基本性质;专题分析

克莱因曾说:“函数是数学的灵魂.”函数贯穿整个高中是学习的重点,同时也是高考的重点、热点和难点[l].高中的函数类型有常值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数(反三角函数)、抽象函数.高中范围内对函数的本质可理解为:取值集合为“非空集合”,对应时要求“单值对应”[2].大部分高中学生对函数的理解不够深刻,也不知道该从哪些方面去理解和学习函数,其实高考对函数的考查可以给我们一定的方向.本文以近年的高考函数基本性质的典型题型为例,表明应从函数的图象、单调性、奇偶性、周期性、对称性、有界性、凹凸性等方面來理解和学习函数.

1 函数在高中数学中的地位

1.1 函数在教材中的位置

函数编排在人教A版必修1的第一章,承接初中函数概念中的“变量说”定义域存在局限,进而在高中函数概念中通过集合语言建立“对应说”弥补这个局限性[2],为后面学习指数函数、对数函数、幂函数等奠定了基础.函数是描述客观世界变化的基本模型,贯穿整个高中学习,函数思想渗透到数学学习的方方面面.

1.2 新课程标准对函数的要求

在新课标中,强调通过丰富的实例,利用集合与对应的语言来刻画函数;强调从实际背景和定义两个方面对函数本质的理解;强调通过具体的函数理解函数的单调性,了解函数的奇偶性,学会运用函数图象理解和研究函数的性质[3].

1.3 函数在2018年高考试题中的地位

通过对2018年高考函数基本性质考题分布情况的统计,全国卷有3 -6道考题,分值比重占全卷的21.3%;天津卷有3-5道考题,分值比重占全卷18%;浙江卷有4道考题左右,分值比重占全卷18%;江苏卷有4道考题左右,分值比重占全卷18%.全国各个地方对函数的性质的考查大致相同,但是各有侧重,总的分值并无较大变化,且以简单题和中档题为主,考查学生对函数本质的理解和函数“基本性质”的综合运用,对函数的图象、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、考查较多.

1.4 考题分布情况

评注 例1属于直接对函数图象进行考查,给出函数的解析式,判断函数图象,第一步先判断函数为奇函数或者偶函数,若为奇函数,图象关于原点对称,若为偶函数,图象关于y轴对称;第二步带特殊点进行验证,若需要判断函数图象的单调性,则需要求导数判断.例2是对函数图象的间接考查,如求解分段函数参数范围、函数的零点、线性规划等问题往往也需要画出函数图象帮助分析,使问题更为直观,数离不开形,形离不开数,其中渗透着数形结合的思想.

评注 利用求导,判断函数在定义域上的单调性,进而求得答案,在利用换元法时一定要注意“换元必换限”.还有一类函数的表达式比较复杂,若直接进行计算,计算量非常大,不具有可行性,最主要观察函数是否具有奇偶性、周期性,并计算函数的导数,结合函数的单调性将比较函数转化为其自变量绝对值大小的比较,例:若已知函数的表达式,且f(x)为偶函数,求f(cx)≥f( ax+b)成立的x的取值范围,则可转化为|cx|>|ax+b|.

评注 利用三角函数的有界性(|sinx|≤1,|cosx|≤1)求函数值域、最值、证明不等式有着非常重要的作用.利用三角换元t= sinx(XER),则t∈[ -1,1],也是利用三角函数有界性的常用手法.

2.7 函数凹凸性型

参考文献:

[1]赵思林.初等代数[M].北京:科学出版社,2017.

[2]李袆,函数概念的本质与定义方式探究[J].数学教育学报,2013,22(6):5 -8.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.

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