求解概率问题的五大法宝

唐绍友

摘要：：概率是近几年高考与自主招生考试中的重点内容，其求解方法比较难，特别是与排列组合、数列有关的概率问题及几何概型显得更有难度.本文总结了五个方面的思考策略：认真识别、发掘隐含、正难则反、精心构造、递推转化.

关键词：认真识别;发掘隐舍;正难则反;精心构造;递推转化

概率是近几年高考与自主招生考试中的重点内容，其求解方法比较难，特别是与排列组合、数列有关的概率问题及几何概型显得更有难度，所以对概率问题的常用求解方法有必要作一些总结.

1 认真识别

考试中的概率题型主要包括古典概型、几何概型、互斥事件有一个发生的概率、独立事件同时发生的概率（特别情形：π次独立重复实验中，事件A恰好

例2 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立，根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4;经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列.

分析由于甲、乙、丙三件工艺品经两次烧制后合格的概率都是0.3，且两次烧制过程相互独立，所以烧制三件工艺品可以视为三次独立重复试验，从而可以轻松获解.

评析 解决本题的关键在于识别独立重复试验，否则，将会增大运算量.

2 发掘隐含

众所周知，隐含条件在求解数学问题中非常重要，隐含条件是引人步入解答误区的诱饵，在概率问题的解决过程中也是如此，特别是在分析事件的过程中，要密切关注事件的隐蔽性，注意当前事件的背后是否具有隐含的其他事件，这样才能确保成功求解.

例3在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功.每次射击命中的概率都是2/3，每次命中与否互相独立.

（1）求恰好射击5次引爆油罐的概率;

（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望.

分析第（1）问中“恰好射击5次引爆油罐”隐含了事件“前四次射击中恰好命中一次”与事件“第五次命中”同时发生;第二问中ξ=5时，隐含条件较深层，必须认真发掘：

①“前四次都没命中”与“第五次命中或没命中”同时发生;②“前四次恰好命中一次”与“第五次命中或没命中”同时发生.当隐含事件分析清楚之后，解答

3 正难则反

在求解概率问题中，如果问题的正面所对应的事件比较复杂时，就可以考虑先求其对立事件的概率，即可以用计算公式：P（A）=1一P（A）.

例4 从平行六面体的8个顶点中任取三个组成三角形，又从这些三角形中任取两个，求这两个三角形不共面的概率.

分析 若直接求两个三角形不共面的概率，显得较复杂，然而从反面角度先求其对立事件的概率，再利用P（A） =1 -P（A）求原事件的概率，显得较简单.

例5-位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法1：在10箱中各任意抽查一枚;方法2：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法1、2能发现至少一枚劣币的概率分别为p1和p2，试比较p1，p2的大小.

分析若直接求p1，p2，分类较复杂，而其反面特别简单，“至少一枚劣币”的反面是“全抽好币”.

4 精心构造

在求解幾何概型中，构造技巧要求较高，常涉及到一维线段、二维区域、三维空间的构造，在构造时必须准确无误，才能正确地求出概率.

例6 向面积为6的△ABC内任投一点P，求APBC的面积小于2的概率，

错解 由于试验的全部结果构成的区域是AABC，记APBC的面积小于2为事件A.

由此可见，构造区域时，一定要精心思考，是否与题设条件形成充要条件，否则将会出现错误.

例7在间隔时间T（T>2）内的任何瞬间，两个信号等可能地进入收音机，若这两个信号的间隔时间小于2，则收音机将受到干扰，求收音机受到干扰的概率.

分析 由于两个信号等可能地进入收音机的时间都在（0，T）内变化，所以是二维变量问题，因此需构造二维区域求概率.

在求解几何概型中，准确构造几何图形是关键，在构造几何图形之前，必须弄清变量维数，然后确定构造图形的维数.

5 递推转化

当概率问题与数列有关时，可以思考建立数列模型求解，特别是事件A_n与A_n-1（n≥2，n∈N）各自发生的概率之间可以建立递推公式时，一般可利用数列知识求其概率.从而将概率问题转化为数列问题

例8甲、乙等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人.

（1）经过2次传球后，球在甲、乙两人手中的概率各是多少？

（2）经过n次传球后，求球在甲手中的概率.

分析由于传球1次、2次、…n次后，球在甲手中的概率依次构成了数列，所以求经过n次传球后球在甲手中的概率，就转化为求数列的通项公式，于是可通过数列的递推公式求其通项.

例9 一种掷硬币（质地均匀）走跳棋的游戏，棋盘上有第0，1，2，…，100，共101站.一枚棋子开始在0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳一次，若硬币出现正面，则跳棋向前跳一站，若硬币出现反面，则跳棋向前跳两站，直至0棋子跳到第99站（获胜）或者100站（失败）时游戏结束.求玩该游戏获胜的概率？

分析要求玩该游戏获胜的概率，需求棋子跳到第99站的概率.因棋子跳到每一站的概率依次构成数列P1，P2，…，P_n，所以需求P99.可以先求通项P_n，再求P99.

解设棋子跳到n站的概率为P_n，棋子跳到n站，包括两个互斥事件构成：（1）由第n-l站跳到n站;（2）由第n-2站跳到n站，