关于分块三角矩阵的几个行列式不等式

刘俊同

（阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

AT,,A*分别表示矩阵A的转置，共轭以及共轭转置。对于两个n级厄尔米特矩阵A和B，若A-B是半正定矩阵（正定矩阵），则记作A≥B(A＞B)，因此，A≥0(A＞0)表示A是半正定矩阵（正定矩阵）。用In表示n级单位矩阵，在不需要界定矩阵的级数时常用I来表示单位矩阵。对于两个相同级数的矩阵A和B，用A°B表示矩阵A和B的Hadamard积，用来表示多个矩阵Ak(k=1,…,m)的Hadamard积。n级方阵A若满足A*A=AA*，则称A为正规矩阵[1]。

国内外有许多专家学者致力于研究半正定矩阵行列式不等式[3-12]。

任一半正定矩阵A都可分解成A=T*T，其中是一分块三角矩阵，且和A具有相同的分块方式，利用（1），很容易证明

利用Fischer型反向不等式（3），Lin在文献[13]中还证明了

其中，Xk和Zk是正规矩阵。

Liu等在文献[14]中对Fischer型反向不等式（3）给出了如下模拟，即涉及 Hadamard积的Fischer型反向不等式

利用Fischer型反向行列式不等式（6），再结合Hadamard积和复合矩阵的若干性质[15]，本文旨对不等式（4）和（5）给出关于Hadamard积的模拟，即涉及Hadamard积的行列式不等式。

1 辅助引理

为证明主要结果，先给出几个引理。其中引理1是Hadamard积的简单性质，引理2和引理3是矩阵论的基本结果，引理4是复合矩阵的一个简单性质[2,15]。

引理1设A是n阶级正定矩阵，B是n级半正定矩阵，则有

且（7）式中的等式成立当且仅当Y=0。

证明设矩阵A和B的对角元分别为ai,bi,i=1,…,n即

因为A正定，B半正定，于是有ai＞0,bi≥0,i=1,…,n且有

于是（7）式成立，并且由上述不等式知（7）式中的的等式成立当且仅当bi=0,i=1,…,n，再结合矩阵B的半正定性，因此有（7）式中的的等式成立当且仅当Y=0。

引理2设A是n级矩阵，则有A*A=0当且仅当A=0。

引理3设A和B是两个n级矩阵，若A≥0且B≥0，则有A°B≥0[15]。

引理4设A，B，C，D均为n级方阵，若二分块矩阵，则有

2 主要结果及证明

定理1设是一n级分块三角矩阵，X和Z分别是r级和n-r级方阵，则有

进一步地，若X和Z是非奇异的，则在（8）式中的等式成立当且仅当Y=0。

证明显然，不等式（8）是不等式（6）的特例，只需证明等式情形即可。若Y=0，显然有不等式（8）是一个恒等式。反之，由于

因此，有

因为X是非奇异的，于是 det(Ir°X*X)＞0 ，因此，有

再由Z是非奇异的，于是Z*Z是正定的，Y*Y是半正定的，利用引理1和引理2易证（8）中的等式成立当且仅当Y=0。

注不等式（8）是不等式（4）关于Hadamard积的模拟。

定理2设是一组具有相同分块方式的n级分块三角矩阵，若Xk和Zk是正规矩阵，则有

证明考虑到Fischer型反向行列式不等式（6），要证明不等式（9），只需证明下述不等式

因为

这里k=1,…,m，对指标k从1到m求Hadamard积，有

进一步地，有

等价地，有

因为Xk,k=1,…,m是正规矩阵，所以

结合不等式（11）和等式（12），不等式（10）得证。

注不等式（9）是不等式（5）关于Hadamard积的模拟。

3 小结

Lin研究了分块上三角矩阵，得到了几个有趣的行列式不等式。对于Lin的部分结果，本文利用Hadamard积和复合矩阵的若干性质，证明了这些不等式关于Hadamard积的模拟不等式，即涉及Hadamard积的行列式不等式。