基于数学素养理解的初中教学思考

■钱德春

《普通高中数学课程标准》（2017年版）（以下简称《高中课标2017年版》）将数学核心素养具体化为“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析”六个方面。核心素养下的高中数学课程标准实施，必将对初中数学教学产生深远的影响。那么，如何理解数学素养？初中学生的数学素养如何培养和提升？本文谈谈基于数学素养理解的初中教学的思考。

一、对初中数学素养的理解

数学素养的六大板块不是独立存在的，而是相互联系的有机整体；数学素养的培养应以知识教学为基础与载体；数学显性的素养是六个方面，隐性的素养是数学情感、态度和精神。

1.数学素养是相互联系的有机整体。

《高中课标2017年版》指出：“数学学科核心素养既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体”，它们之间的关系可用图1表示。

（1）“直观想象”的前提是认知与经验，指向“数学建模”与“逻辑推理”。

史宁中先生说，“数学根本上是看出来的”。“看出来”是基于数学知识、方法的经验积累。如，“某游戏规定：赢一次得4分，输一次扣2分。小明连续玩了30次这种游戏，能否得到100分？”有人一看就知道“不能”，这是为什么呢？因为无论输赢次数如何，玩30次的得分是3的倍数，但100不能被3整除。我们还可以建立方程模型通过计算推理进行判断。设赢x次，则输(30-x)次，有4x-2（30-x）=100，解得不是整数，故连续玩30次这种游戏不可能得到100分。显然，能“看出来”是掌握简单数论知识前提下逻辑推理的结果。“看”的过程是在大脑中迅速进行“经验调取”“经验选择”“经验（或问题）化归”和“逻辑推理（包括运算）”的过程。

（2）“数学运算”与“逻辑推理”“数学建模”唇齿相依。

“演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。”《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出“数学运算”是根据数学公式、运算法则、运算律进行的数与式的变形，所以“数学运算”就是一种逻辑推理；数学运算所依赖的公式、法则具有独特性、简约性和普遍性，本质上就属于数学模型；许多问题的解决要经历“建立、选择模型→验证、调整模型→运算、推理解决”的过程。以炮弹射程最远问题为例。飞行瞬时高度y和水平距离x的函数为为发射初始速度，θ为发射角，x为飞行时间），这里的函数就是数学模型。而模型的建立与最大射程都需要数学运算：令y=0，则x=0舍去）即为射程，显然当sin2θ=1，即θ=45°时射程最远。由这个模型得到“θ=45°时射程最远”需要数学运算与逻辑推理。

（3）“数学建模”源于“数学抽象”，指向问题解决或结论判断。

“数学模型是把某种事物的主要特征、主要关系系统地抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构，是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。”《义务教育数学课程标准》（2011年版）把建立和求解模型的过程归纳为：“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义。”可见，“数学建模”的目的是解决问题、作出判断，建立模型的过程就是“数学抽象”。

（4）“数据分析”的载体是“数学建模”，方法是“逻辑推理”。

“数据分析”就是收集与整理数据，建立模型分析数据，从而对问题作出判断。如运用数据的平均数、众数和中位数了解数据的集中情况，通过数据的极差、方差、标准差等了解数据的离散情况，通过数据的频数、频率分布表及频率分布直方图了解数据的分布情况，等等。这些量的设计、图表的形式都是人为设计的相对合理的数学模型。处理与分析数据，根据分析结果作出推断就是逻辑推理。

2.数学素养的培养应以知识教学为载体。

笔者认为：数学素养的培养不是空中楼阁，而是以数学知识和技能、方法与经验为基础与载体，在数学知识的学习、数学思想方法的掌握过程中逐步形成的。什么是数学知识？狭义地说，数学知识包括数学的概念、公式、法则、定理及相互间的关系；广义地说，数学知识还包括数学的方法、策略和思想，数学的结构、逻辑和模式。数学知识与技能、数学的方法与经验、数学的素养之间层次的关系如图2所示。比如，一元二次方程概念是由一元一次方程概念类比得到的，必须了解一元一次方程的定义；研究“三角形中位线”模型，必须用到“三角形全等”“平行四边形”等相关性质和判定。

3.数学素养包括情感、态度和精神。

如果说《高中课标2017年版》所明确的六个方面内容是数学核心素养的显性目标，那么，在数学学习、方法积累和能力发展过程中形成的数学情感、态度和精神则是隐性目标。数学教学不仅要关注显性目标，更要关注隐性目标。

美国著名心理学家斯金纳说：“当所学的东西都忘掉之后，剩下的就是教育。”那么，学生忘掉数学所学的东西之后剩下什么呢？是对数学炽热的情感与浓厚的兴趣，是研究问题的坚韧意志与求真品质，是思考问题的方式与习惯，是精确、严谨、简洁、概括、统一的理性精神。这些应该成为数学素养的重要组成部分。数学中的想象、抽象、建模、推理、运算和数据分析需要数学知识、经验、情感、兴趣、品质做支撑，经历数学活动过程又会反过来掌握知识，积累经验，激发情感，锤炼品质。

《高中课标2017年版》明确指出：“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现。”可以说，数学素养是数学学习目标、数学知识与技能、数学思想与方法、数学的情感、态度与品质的总和。

二、基于数学素养的教学与评价的思考

章建跃博士说，“教好数学就是落实数学核心素养”，而落实数学素养的主要途径是课堂教学，促进数学素养提升的重要手段是教学评价。

1.利用课堂教学主阵地提升学生数学素养。

学生数学素养需要教师在数学教学中作为有机整体渐进式培养，学生在探究学习活动中慢慢感悟。教师教学中要注意数学素养的显性目标与隐性目标双关注。

（1）数学素养要作为有机整体渐进式发展。

如前所述，数学素养既是教学目标，也是教学内容，它们是相互联系的有机整体；数学素养的发展是循序渐进的。有时“一个内容往往同时隐含多个素养。因此，教师应充分领悟教材各个知识中隐含的素养、能力，并基于数学教学规律与学生认知规律，在教学设计过程中深入思考各个知识点中蕴含的数学素养的本质”，在数学课堂教学中落实。

案例1“方差”教学构思

如何考察数据的离散（或稳定）程度？教材直接指出：常采用一组数据x1，x2，…，xn与它们的平均数的差的平方的平均数表示。这是什么量？为什么用这个量？还可以用其他量吗？可见“方差”教学的关键是如何进行模型建构。笔者设计了“活动体验式”教学思路。

①问题情境：甲、乙两射击运动员射击成绩如下。

次数甲乙1 8 8 2 4 3 6 8 10 5 5 8 10 7 6 9 8 7 9 8 8 10 8 10 9 9 5 8平均8 8数8 8

两名选手的平均数均为8，如何说明甲、乙两名选手的稳定程度？

②直观想象：从表中数据感觉乙的数据离散程度较小。

③问题提出：这种“感觉”可靠吗？如何用确定的量表示？

④模型建构：

序号模型设计各数据的和最大值与最小值的差各数据与平均数差的和各数据与平均数差的绝对值的和各数据与平均数差的绝对值的平均数1 2 3 4 5 6 7各数据与平均数差的平方的和统计量甲80乙80 5 0 1 6 2 0 2 1.6 0.2 36 2各数据与平均数差的平方的平均数3.6 0.2存在问题无法反映只能反映个别极端数据情况无法反映若样本容量不同，则不可比数据相对较小，差异不明显差异明显，但与样本容量多少有关基本反映稳定性大小

⑤模型内化：归纳整理、语言表达、符号表示。

⑥模型运用：如果从中挑选一名选手参加比赛，你认为挑选谁合适？

乙的方差比甲的方差小，说明乙的稳定性好。如果比赛选拔成绩稳定的选手参加决赛，则选乙。但乙环数最多只有9环，如果选乙参赛，得冠军的可能性小，而甲中10环的有3次，如果比赛是以获得满环（10环）的次数来确定冠军，则选甲参赛更合理。

【构思说明】“方差”是人为设计的、用来反映数据离散情况（或稳定性）的数学模型。衡量数据离散情况不一定用方差，还可以是其他的量，显然方差比较合理，于是方差就成了人们为考察数据离散情况而合理约定的量。

那么教学过程中如何发展学生数据分析的素养呢？一是直观猜想。让学生根据甲、乙两位选手的射击数据，对他们射击成绩的稳定性作出直观判断。二是数学建模。直观判断的结论正确吗？用什么方法判断？需要建立一种数学模型。哪种模型最合理？这需要选择、调整和优化。三是数学抽象。将情境中具体数据的运算过程一般化为公式，这个过程是数学抽象。四是逻辑推理。对数据的处理过程是一种推理，对具体数据用方差公式运算并进行判断，这是“从一般到特殊”的演绎推理。五是数学运算。无论是建立和选择模型，还是利用方差公式进行判断，都离不开数学运算。这个过程体现了数学素养相互联系、相互交融的特点。模型的建立、选择与优化能让学生感受数学的理性精神，也能培养学生良好的意志品质。同时，对结果的判断离不开生活现实。如挑选谁参赛，事实上不能将稳定性作为唯一标准，这也体现了数学与现实的联系。

（2）数学素养力求显性与隐性目标双关注。

教学中，我们不仅要关注数学素养六个方面的显性目标，更要关注数学情感、态度、品质和精神等隐性目标。

案例2“勾股定理”教学构思

勾股定理源于生活现实，应用广泛，文化内涵丰富。学生的认知具有多样性，有的学生早已熟悉，能证明并运用结论；有的学生阅读了相关课外书籍，了解了定理背后的文化；也有的学生可能一无所知。教学中要因材施教、顺势而为。为此，笔者设计了基于学生差异性的“问题链导学式”教学构思。

①提出问题，直观猜想。

对于基础中等的学生——

问题1（基于小学认知）：看到直角三角形（如图3），你想到了什么？（生1：勾三股四弦五；生2：两直角边的平方和等于斜边的平方。）

问题2：你怎么知道的？（听说的、书上看到的、自学过……）

问题3（对生1）：勾、股、弦是什么意思？

问题4：对于直角三角形，一定是勾3股4吗？在纸上用刻度尺画图，△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，量一量，c=？你得到了什么？

问题5：a、b换成其他值，上述结论还成立吗？（回应生2）能不能用语言再叙述一遍？

问题6：用数学符号如何表示？

对于基础较好的学生——

问题1（从一般化角度提出数学问题）：已知△ABC中，AC=3，BC=4，能求出AB吗？

问题2：能确定第三边的范围吗？

问题3：为何只能确定范围而不能确定第三边长度？（因为两边的夹角不确定。）

问题4：如果这个角确定了，第三边长确定吗？

问题5：你想研究什么角？为何要研究夹角90°？（如一正一负两个有理数相加，这么多结果，为何要研究正好等于零？两直线相交，这么多情况，为什么研究两直线垂直呢？从特殊情况入手。）

问题6：最特殊的角有0°、90°、180°，哪个有研究的价值？

②操作推理，验证猜想。

问题7：如图4①，在网格中用面积法验证当∠C=90°，a=3，b=4的情形。如何表示a2、b2？同样，c2为多少？你有何想法？

问题8：将a、b换成其他数，在网格中画图并用面积法验证试试。

问题9：对于任意直角三角形，结论是否存在？去掉网格（如图4②），结论是否存在？

③定理表征，深化理解。

指导学生用图形语言、文字语言和符号语言来表达定理内容，有时还需要对变式的图形进行表征，以强化定理的理解。

④简单应用，内化定理。（略）

⑤知识拓展，渗透文化。

问题10：你知道勾股定理的来源吗？

问题11（出示“赵爽弦图”）：你见过图5吗？这个图表示了什么？你还了解与“勾股定理”有关的名人和故事吗？与大家分享。（分享故事和证明方法）

问题12：课后阅读课本、相关书籍，上网查阅，并继续与大家分享。

【构思说明】“勾股定理”是反映直角三角形三边关系的数学模型，学生需要去探索、发现和运用。教材安排了两个课时，这里用一个课时解决探索发现和一种证明，并进行简单应用。这个教学构思中，有通过问题串呈现发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，有从一般到特殊、再从特殊到一般的探索方法引导，有数形结合、变中不变等数学思想的渗透，有数学建模、数学抽象、数学推理、数学运算等数学素养显性目标的达成。

更为重要的是“再创造”式教学构思关注了数学精神、品质和情感等隐性目标。一是数学精神的熏陶（如勾股定理的探索发现、图形构造过程培养创造精神；对猜想的结论质疑和一般化证明，数学语言的精确、严谨、简洁、概括性表征体现了数学的理性精神）；二是从一般三角形问题再特殊化（直角三角形）研究，并进行多样化证明，锤炼了学生思维的发散性、有序性、深刻性、严谨性和批判性等品质；三是通过对勾股定理相关文化的渗透，学生在增长知识的同时也激发了数学情感和兴趣；四是与“方差”学习过程比较知道，“方差”是人为设计的量，是一种数学发明，“勾股定理”是人们对客观规律的发现，由此说明，数学发展过程中既有发明创造，也有探索发现，渗透了数学的哲学思想。

2.教学评价是促进数学素养提升的助推剂。

教学评价导向决定了教师的教学行为，合理的评价能够有效地引导教师从课堂教学、课外活动、数学命题等方面重视学生的数学素养发展，进而成为促进学生数学素养提升的助推剂。基于学生数学素养的评价主要有课堂评价、活动评价和考试评价。

（1）课堂评价。

着眼于数学素养的教学评价应该体现在教师备课、上课、听课、评课等各个环节。可以设计基于数学素养的《课堂教学量化评分表》，除教学常规、教学技术外，着重关注以下方面：①教学目标是否多元化；②教学活动是否具有主体性、过程性、探究性、开放性、生成性；③教学是否注意揭示数学内涵，渗透思想方法，引导学生感悟数学本质和理性精神；④课堂数学问题是否具有层次性、思辨性，并引导学生主动质疑；⑤是否关注学生思维的深刻性、批判性、反思性、条理性，提高学生思维品质；⑥是否关注学生个体差异，挖掘学生潜能，发挥学生特长；⑦是否鼓励学生独立思考，并用多种方式和语言交流、表达；⑧是否善于激发学生的数学情感与兴趣，树立学生自信心，引导学生逐步形成积极的价值观。

（2）活动评价。

这里的活动特指学生课外数学活动，如数学综合与实践活动、数学课外阅读沙龙、数学写作与交流会、数学文化节、数学兴趣小组（或社团）等。要把开展丰富多彩的数学课外活动作为对学生数学素养评价的重要内容。

（3）考试评价。

检测与考试是重要的评价手段，我们要发挥考试对数学素养发展的促进作用。泰州市2019年12月就组织了一次针对七年级学生的数学素养测试活动，对随机抽取的600名学生进行了数学素养测试。测试内容以教材和课堂教学内容为主，适当向课外延伸。

按照《高中课标2017年版》对数学素养的分类，试题涉及了除“数据统计”外的五方面素养。素养类型、题号及分值见下表：

素养类型数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算题 号4、6、7、9、12（1）、12（2）、13、14 2、3、5、10、12（2）、14（3）、15 1、2、3、4、5、7、8、9、12（2）、13、14（3）、15 3、5、10、12（1）、14（2）1、6、8、9、11、12、13、14、15分值52分42分70分20分76分

从统计表发现，试题重点考查了数学运算（9题，76分）、数学建模（12题，70分）和数学抽象（8题，52分），充分体现了测试数学素养的命题意图。

试卷在数学思想方法和数学观念上也重点考查（见下表），如数形结合、集合、整体、分类、变中不变、方程、建模、特殊到一般等基本数学思想，而数形结合、整体思想成为高频考点。

题号3、10、12、14 4 5思想方法数形结合空间观念符号观念变与不变集合思想5、12 6、12

思想方法整体思想特殊到一般方程思想分类思想建模思想题号8、11、12、15 9、15 12、14 13、14 13、15

以试卷第14题为例。对于有理数x、y，定义一种新运算“*”，规定x*y＝|x+y|+|x-y|。

①若x*y＝2，x＝0，求y值；

②若x、y在数轴上对应的点的位置如图6所示，化简x*y；

③问x*2的值能否为3？若能，求出x的值；若不能，请说明理由。

本题是新定义运算，其符号和运算方式是学生陌生的，但绝对值是学生熟悉的，因此解决策略就是利用数轴将陌生抽象的“x*y=|x+y|+|xy|”转化为熟悉具体的绝对值运算。解决数学问题的基本策略是“化归”，即化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。

这种考查体现了明显的导向，即教学要摒弃功利意识，处理好“知识”与“素养”的关系。一是引导学生学好常规内容，要依标据本，立足基础，夯实数学基础知识基本技能；二是注意对学生的阅读理解能力、数学建模能力、知识迁移能力、数学推理能力、反思调控能力、数学思维能力的培养；三是指导学生认真研究教材中的数学活动、数学阅读、数学实验等内容，并将这些资源同课外资源链接，拓展他们的思维；四是引导学生阅读课外书籍，了解数学史、数学名人、数学故事、经典问题，激发数学兴趣，播下数学思维的种子。