用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法归纳

摘 要：一元二次方程在初中数学中占有很重要的地位，然而对于很多初中生来说，一遇到应用题就会选择放棄，左右为难，不知从何下手。文章旨在总结解决应用题的方法，如何正确高效的解决问题，希望通过文章可以帮助那些曾经害怕应用题的学生梳理归纳，得出自己的一套解题思路，正确的解答与一元二次方程有关的大题，从而提高学生的数学水平。

关键词：一元二次方程;梳理归纳;应用题型

一、 背景

一元二次方程是学习初中数学的重点也是难点，近年来都有考查，常以应用题或者综合题的形式出现，不管是在平时的期末测试还是最后的中考都占有一定的比例，如果是期末考试一般与一元二次方程有关的分数占总分数的20%～30%左右，如果是中考，占得分值5～10分左右。所以说，掌握好一元二次方程的解法并能正确的运用到应用题里面是一件必须做好的事情，尤其是在考试当中，不允许学生抱有侥幸心理，只有平时学习认真，知识点加题型高效掌握才能确保万无一失，由此利用知识点来解决应用题中的问题是一项值得研究的事情。

二、 解法分析

（一）一元二次方程的概念

方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程式。必须同时满足这两个条件的方程式才是一元二次方程。

（二）内容

1. 特点：（1）有且只有一个未知数;（2）该未知数最高次为2;（3）整式方程。

课堂上教师给出几个方程形式，让同学们判断是否为一元二次方程，就根据上面的条件进行判断。

2. 一般形式：ax2+bx+c=0

其中a，b，c均为常数，且a不可以等于0。

3. 一般解法：分为四种，分别为直接开方法、配方法、公式法、分解因式法。

4. 判断一元二次方程根的方法

根据判断式b2-4ac来判断，当b2-4ac>0时，说明该方程有两个不相同的实根，当b2-4ac=0时方程的两个实根相等，这种情况下一般舍去其中一个，也就是说只有一个实数根。b2-4ac<0不存在实数根。

（三）一元二次方程的几种基本解法

1. 直接开方法

给定一个标准的一元二次方程，题目要求使用直接开方的解法解出方程的根，这种解法的一般步骤：如果左边是一个数的平方的形式，右边为一个常数，那么直接对等式两边进行开方，然后通过移项得出方程的解，如果左边只含有与未知数有关的项，右边只含有常数项，那么需要先对左边的项进行配方，其实比较麻烦的是配方的过程，因为题目要求使用开方的办法所以也只能这样做，配方是左右两边同时加上或者减少一个常数，使得左边的等式可以配成一个平方的形式，后面的步骤同上。

2. 公式法

使用公式法解一元二次方程的第一步试求b2-4ac的值，如果该值小于0，那说明该方程没有实数根，不用求;如果该值等于0，说明方程有两个相同的根，即求其中一个根即可;如果该值大于0，说明该方程的根有两个而且两个的数值不相同，所以两个都需要求出。将方程化为一元二次方程的一般形式，将右边的常数项移到左边然后对应一元二次方程的一般形式分别找出a，b，

c。然后根据x=-b±b2-4ac2a，分别将a，b，c的值带入并解得x的值。

3. 因式分解法

因式分解是解数学方程的一个重要方法，不仅适用于一元二次方程，还适用于比如二次函数，特殊的反比例函数等，分解因式中包含了很多数学思想，比如说整体转化思想，对比思想，数形结合思想还有分类思想，其中转化思想所表达的是将较为复杂的问题转化为简单学生易于理解的方法。一般如果题目要求使用因式分解法解题会给出等式左边两个一元一次方程的形式，右边为一个常数，比如（x+3）（x-6）=-8这种形式，第一步将方程转化为左边为一个一元二次三项式，右边为0，然后将左边分解因式，右边不变为0，然后令左边的两个式子分别为0，得到的两个x的值即为方程的两个根。

4. 配方法

将式子的一部分通过变化化为完全平方式的方法，其重要思想是寻找隐含条件，这个思想也是解题的重要手段。配方法把题目给出的多项式化为a，b，c为系数的一般形式，就像一元二次方程的一般形式。与上面的方法的不同之处在于该方法需要将等式左边的常数项移到右边，然后根据左边的系数的大小，同时在左右两边要么加一个数要么减一个数，使得左边能配成一个完全平方公式的形式。然后变化为用分解因式解决问题。

学生在做题的过程中要注意题目要求，有些题目规定一定要使用某种特定方法解题，虽然用另外的方法会更简单一些，但是如果遇到比较严格的教师的时候可能只能得到一个正确答案的分数，所以，首先要做的是认真审题。

5. 解应用题的一般步骤

第一步：找到题目的已知量，一般先把它写在题目的旁边，这叫做把重要信息提取出来，还要找到未知量，用字母表示未知量，一般情况下我们都设未知量为x。

第二步：找到能概述该题已知与未知量的含义的相等关系。

第三步：根据第二步找到的那个对等关系列举方程，然后简化方程即化简，使得等式右边为0。

第四步：解方程，求x的值。

第五步：检查。检查所求是否符合题目要求，如果不符合则需要舍弃，因为有的时候一元二次方程有两个不同的实数根。最后进行题目的答过程。

三、 经典的题型与方法归纳

（一）数字问题

一般数目关系问题：一般数目关系问题不太复杂，就是需要学生掌握简单基本的运算，比如加、减、乘、除、和、差、积、商、大小、倍数等，也就是数学中所说的运算律以及运算顺序，然后根据题意列举方程，题目会给出相应的参数，根据参数列举方程。

（二）利润问题

例题如下：

某批發商以每件50元的价格购进800件T恤。第一个月以单价80元销售，售出了200件;第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，商场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性清仓，清仓时单价为40元。设第二个月单价降低x元。如果商场希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？

解析：根据题意可以得出几个参数之间的关系，第一个月的单价为80元，销售量为200件，开始清仓时的单价为40，根据描述可以确定第二个月的单价为（80-x）元，销售量为（200+10x）件，而清仓时销售量为（800-200-（200+10x））件。

解：根据以上的分析，可以得到方程80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）]-50×800=9000

通过整理，解得x2-20x+100=0，解方程的x1=x2=10，当x=10时，80-x=70>50

答：所以第二个月的单价应是70元。

四、 总结

该类问题也可以用二元一次方程求得，转化为求x与y之间的关系，求最值，方法有很多，但是题目给出了未知数x，表明要求使用一元二次方程求解，求解过程中需要根据第一个月题目所给出的参数和题目的变更途径找到x与已知的各参数之间的关系，即得到第二个月的单价与销售量，得到第二个月的参数后还需要找到题目的问题，然后联系起各参数建立一个等式即上面的等式，最后化简求得第二个月的单价。

（一）增长率问题

例题如下：

市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养。初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率。

解：183=48+48（1+x）+48（1+x）2解得x=-13/4（舍）或1/4，平均年增长率=25%。

（二）几何面积问题（化零为整）

举例如下：

如图1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144m2，则道路的宽是多少米？

分析：

将图1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图2的位置，若设宽为xm，则草坪的总面积为（40-2x）（26-x）m2所列方程为（40-2x）（26-x）=144×6;

解法：设道路的宽为xm，则根据题意，得（40-2x）（26-x）=144×6解得x1=44（舍去），x2=2。

参考文献：

[1]赵慧敏.一元二次方程的重要题型和解题办法[C]∥北京中外软信息技术研究院.第四届世纪之星创新教育论坛论文集.北京中外软信息技术研究院：北京中外软信息技术研究院，2016：459.

[2]陈德前.一元二次方程应用题常见题型分析[J].初中数学教与学，2013（5）：6-7.

[3]刘国毅.关于一元二次方程根与系数的关系的题型研究[C]∥新世界中国教育发展论坛第二卷.：中国教育教学丛书编委会，2007：607-608.

作者简介：虎永泊，甘肃省临夏回族自治州，甘肃省和政县第五中学。