新升本科高校数学分层教学的应用与研究
——以亳州学院数学教学为例

冯依虎,杨星星

（1.亳州学院 电子与信息工程系，安徽 亳州 236800；2.上海大学 数学系，上海 200436）

当前，我国新升本科院校数量和招生规模不断扩大，但学生的整体水平差异性却很大，因材施教的难度也在逐步提高。

以基础学科数学为例，传统的黑板加粉笔的填压式教学模式已不能适应现代教育的发展，且无法兼顾到全体学生，一旦学生出现厌学情绪，很快就会出现“优生更优、差生更差”的两极分化现象，逐渐会让更多学生失去学习数学的兴趣。 因此，分层教学模式应时而生。分层教学模式主要根据学生的差异、教材的不同、教师教学方法的不同制定人才培养方案、教学设计、教学进度计划及教学考核方式，能够让数学教师有针对性的开展分层次因材施教，充分体现了教师为主导、学生为主体的教学要求，能够调动学生的学习积极性、激发学生的学习兴趣， 在教学过程中尽可能满足学生的需求，促进全体学生共同进步， 全面提升数学课堂教学质量。

1 分层教学的概念及理论研究基础

1.1 分层教学的概念

分层教学，又名分层递进教学法、层次推进教学法。当前国内学者主要从两个角度来定义分层教学：一是心理学，二是教育学。

1.1.1 从心理学角度

人的认知过程一般是由浅入深， 由表及里，由具体到抽象，由简单到复杂。 通过教师的教学与学习指导，学生会不断接受新知识与新技能。那么，分层教学就要求教师在进行课堂教学设计时必须遵循人的认识规律和尊重学生认识水平的差异，把学生的认识活动划分为不同的阶段，在不同阶段完成适应认识水平的教学任务，循序渐进，使学生掌握较高层次的知识与技能水平。

1.1.2 从教育学角度

教育学家们对分层教学持有不同的理论态度。它主要分为以下几种类别：

（1）选择性的分层教学模式。指一种教学方法，文献［1］中提到：针对学生基础知识偏科的现状，根据学生的兴趣，教师在进行前期课堂教学设计中采用分层教学模式。 具体来说，它是按照文理科取向对班级学生进行分类，然后根据分类情况实施分层教学，使学生的知识和学习能力提高的一种教育教学方法。 陈述逸在《层次教学法在数学教学中的尝试》中也认为，分层教学是教师根据学生知识结构的差异，采用小班模块化分层教学，选择适合学生学习和发展的教学方式。

（2）指一种教学组织形式。 文献［2］中提到：分层教学是教师在实施教学之前充分考虑学生在知识基础与学习能力方面客观存在的差异性，采用不同的教学方法， 有针对性地对学生进行指导学习，使得每个学生都能得到最大程度的提高与发展的教学组织形式。

（3）“因材施教”分层教学是因材施教在现代教学中的具体体现，分层教学就是针对不同学生的学习能力，有区别地制订学习目标，设计教学内容，根据不同学生对数学知识的不同需求进行差异授课［3］。 根据学生现有的知识基础和能力水平把学生合理地分成几个平行的、水平有差异的群体，对各个群体实施有区别的、不同层次的教学和辅导，从而达到不同层次的教学目标［4］。

（4）大学数学课程分层教学是提高教学效果的有效途径， 也是促进学生充分发展的科学选择［5］。 分层教学法也是大众教育与精英教育的互相转化，实施分层教学有助于实现两种教育的有效融合［6］。

目前，还有很多学者对分层教学持有综合的看法，他们认为分层教学，不但是教学方式的转变，而且是教学模式和思想的一种显现［7-8］。 学生和市场需求都对大学数学教师开展分层教学提出了要求。要求大学数学教师要在教学中具备分层教学的意识,掌握分层教学的方法,引导学生自主学习,分层拓展知识［9］。

尽管很多学者对分层教学有着自己的看法与界定，但他们一致认为只有充分兼顾学生的差异进行区别教学，才能使得每个学生都能在各自的起点上获得最大程度的提高与发展。 具体来说，分层教学模式是根据教材大纲及教材要求，针对不同层次的学生对基础知识和基本技能的掌握程度，以及接受能力存在的差异， 设计不同层次的教学目标，提出不同层次的学习要求，采用不同层次的教学方法与技术，进行不同层次的评估，使每位学生在各自的起点上选择不同的教学计划， 获取不同数量、层次的知识与技能信息的教学模式。

1.2 分层教学的理论基础

分层教学的理论基础主要分为三大类： 因材施教，“最近发展区”［10］理论，布卢姆“掌握学习理论”。

1.2.1 因材施教

因材施教是指教师要从学生的实际情况、个别差异出发，对症下药地进行有差别的教学，使每个学生都能从兴趣出发，取长补短，获得最大限度地发展。 分层教学则是实现因材施教的有效方式。 具体地说，教师根据学生的学习能力，学习态度，性格特点，智力水平等基础情况，认真分析学生间各方面的差异，在教学过程中充分兼顾其差异性，选择合适的教学模式，使得每个学生在各自的起点上都能获得最大程度的提高与发展。

1.2.2 “最近发展区”理论

文献［10］指出，“最近发展区”理论首次被前苏联教育家维果斯基提出，他认为学生具有两种发展水平，即现有水平、潜在水平，二者之间的发展区域被称为“最近发展区”。 在进行分层教学时，教师可根据学生“最近发展区”的差异，通过问卷调查、模拟考试或召开座谈会形式， 在充分了解学生的情况下， 根据人才培养方案制定出不同层次的教学计划， 在知识体系与能力体系中不断提高和创造出学生新的“最近发展区”，以有效地提高学生的学习水平。

1.2.3 掌握学习理论

布鲁姆的掌握学习理论认为，“只要任课教师在提供恰当的学习材料和进行有的放矢且有针对性辅导教学的同时，给每位学生提供适度的帮助和充分的自我学习的时间，应该所有的学生都能完成学习任务， 并且肯定都能达到预期规定的学习目标”。 奥苏伯尔是美国著名的教育心理学家, 他深入研究了认知因素对学习过程的影响, 对学习理论和教学论的有机结合进行了创造性尝试和探索,并系统探索了情感因素对学习过程的作用, 提出了 “有意义接受学习理论”, 为理论教学和实践教学提供了较为系统和全面的心理学基础［11］。这是一种积极乐观的教育理论，即学习能力、学生智力和接受能力等差异不能决定学生学习的好差，只要教师选择适当的教学方法， 给予学生充足的时间，所有的知识都是可以学习的，所有的知识和技能都可以通过学习完全掌握的。

2 新升地方本科院校数学教学的现状

自高校扩招以来，新升本科院校成为我国高等学校的重要组成部分，它们大多是由一所或多所条件较好的专科学校或职业院校合并而成，升格时间短，缺乏老本科院校的师资力量和文化沉积，在硬件、软件上严重不足。总体来说，新升地方本科院校具有三大特点：“新升性”“地方性”“扩招性”。 由于这三个特点，新升本科院校面临“专升本”后教学质量的严峻考验。 亳州学院，作为亳州当地唯一一所新升本科院校，更是如此。

2.1 “地方性”

亳州学院坐落在皖北“国家历史名城”、全国“四大药都”之首——安徽亳州。学院坚持“地方性”“应用型”的办学定位，以中药学类、旅游管理类、食品工程类与电子信息工程类为特色，构建了基础理论学科与应用学科交叉融合，教育学、工学、经济学、管理学等多学科协调发展的学科发展体系。 目前亳州学院的发展带有浓郁的地方色彩， 旨在为亳州培养一批服务地方产业发展、 为亳州社会经济发展做出贡献的高素质应用型专门人才。 在整个学院的办学定位下， 数学这一基础理论学科的地位就得不到应有的重视与发展， 教师也没有思考如何将数学更好地服务在“应用型”专业上，只是满足于教学计划的安排，长期下来，数学教学质量效果不明显。

2.2 “新升性”

亳州学院由原亳州师专升格发展而来，由全统的师范教育类专科院校升格为本科。升本后学院受原来办学理念、师资结构、培养模式的影响，在学科设置、人才培养方案的制定、课程安排等方面带有深深的师范烙印。 因而，不少教师在制定教学设计和实施教学过程中仍采用“一刀切”的教学目标和教学方法。 此外，新升本科院校硬件、软件都不足，必须要在短时间内得到更新与补充。 首先，需引进大量高水平师资，在教学与科研上弥补原来基础上的不足，以教学促科研，以科研反哺教学。但是大批量引进的教师多数刚走出学校大门，缺乏必要的教学技能和课堂教学经验，科研上也还刚起步，他们在短期内很难达到新升本科院校要求的教师素质，自然不能保证较高教学质量。

2.3 “扩招性”

随着社会对人才的需求不断提高，高校在教育质量和办学规模上都要不断发展，在规模上必然会逐步扩大招生。亳州学院近几年来一直在不断扩大招生规模，迎来了一批来自西部地区的学生，为了方便统一管理，学院专门编班。相对来言，西部学生知识面较为狭窄、基础知识较为薄弱、接受能力不强。 而数学，是一门需要扎实基础与较强思维能力的学科，这正是西部学生所欠缺的。 而学生与教师语言沟通的障碍，也导致教师在教学过程中遇到很多困难，如教材的选取、教学目标的制定、教学方案的设计等。

上述这些因素导致亳州学院的数学教学存在以下突出问题：数学学科地位低下，教师教学水平不高；数学教学目标统一，教学方法“一刀切”；教材缺乏多样性，学生学习积极性不高，学习效率低下，考核方式落后等。

3 分层教学的必要性

作为新升本科院校，基于亳州学院所处的地理位置及其“地方性”“应用性”“扩招性”特性，结合亳州学院各类本科专业开设的数学课程，进行以下定性分析：

（1）理科类

中药学、药学、电子商务、应用统计学专业，开设 《高等数学》《线性代数》（应用统计学专业开设《数学分析》《高等代数》）等。 理科类专业对数学知识点的掌握要求相对较高，在人才培养上要求学生掌握与中药学相关的自然科学、生命科学、人文社会科学基本知识和科学方法，并能用于指导未来的学习和实践，具有一定的理论推导、知识点运用和逻辑思维能力。

（2）工科类

电子信息工程、数据科学与大数据技术、生物工程、酿酒工程、食品工程技术、制药工程等专业开设有 “高等数学”“线性代数”“概率论与数理统计”等数学类相关课程。 以电子信息工程专业为例，电子信息工程专业对数学知识的要求是：能够综合运用数学、自然科学、工程基础和专业知识，用于电子信息工程领域复杂工程问题的建模和求解及解决方案的评价，需要运用数学知识，对数学的要求相对较高。

（3）管理学类

物流管理专业，开设有“高等数学”“线性代数”“概率论与数理统计”等数学类相关课程。在知识要求上是：以数学知识为基础，具备较全面的人文社会科学、自然科学、外语及计算机等方面的基本理论及知识，熟练运用物流业务操作软件。 在能力要求上是：具备一定的专业科学研究能力，主要包括中外文献检索、实地调研、数据分析与处理、论文写作等，对数学具体知识点要求相对较弱，但对数学的逻辑思维能力要求相对较强。

（4）教育学类

小学教育专业，开设有“高等数学”“线性代数”“概率论与数理统计”“数学文化”“解析几何” 等数学类相关课程。在人才培养上要求学生具有广博的人文、科学、艺术、信息等素养，掌握学科的基础知识、基本理论，了解学科整合在小学教育中的价值，能够进行跨学科融合教育。对具体知识点掌握程度要求相对不高，但要求具有较广博的知识面。

各本科专业均开设了“高等数学”类相关课程，以《高等数学》为例，该门课程的教学重点主要讲述微积分，但后期还有空间解析几何、概率论与数理统计、常微分方程等重要知识模块，根据专业人才培养方案，各个专业对高等数学教学内容的要求不一致，在教学内容上，在教学进度安排上，在知识点的掌握程度上，各不相同，同时学生的层次也不尽相同。

如果我们采用统一的教学模式与方法，当部分学生连基本的微分都没有掌握时，不定积分与定积分的教学可能导致一部分学生失去学习兴趣。没有学习的积极性，在后续学习《高等数学》中的其他内容时会导致学生有更大差异。一门课开设下来会明显出现两极分化，这将会影响学生在整个本科阶段后期的其他课程的学习。

鉴于此，研究分层教学模式在数学教学中的应用十分有必要。

4 数学分层教学方法

4.1 分层情形

针对亳州学院各类本科专业开设的数学类课程，我们归纳出以下分层情形：

（1）同一课程，专业不同。 如《高等数学》，作为一门最基础的数学学科， 它开设的专业范围很广。我们可以大致将其分为四大类：

理科类：中药学、药学、电子商务、应用统计学专业；

工科类：电子信息工程、数据科学与大数据技术、生物工程、酿酒工程、食品工程技术、制药工程专业；

管理学类：经济管理类专业；

教育学类：小学教育专业。

教师根据教学大纲和教材的要求，针对四类专业学生对基础知识和基本技能的掌握程度及接受能力，设计不同层次的教学目标，提出不同层次的学习要求，制定出不同层次的教学方案［12］。

（2）同一专业，学生就读层次不同。例如小学教育专业，既有本科班，又有三年制专科班。学生就读层次不同，已有的基础知识和水平层次不同，未来的发展目标也不相同。 那么，教师要制定不同的教学目标和学习要求。

（3）同一就读层次，班级不同。如亳州学院开设的西部班，学生均来自遥远的西部地区，区域文化差异，数学教材差异，语言交流障碍，加之学生的数学基础较为薄弱。 针对这些差异，教师在进行教学时，采用分层教学是最合适的。

（4）同一班级，学生个体差异。这是最为具体细化的使用分层教学模式的情形。

4.2 学生分层

4.2.1 一种新的学生分层方法

教师首先了解学生的详细信息， 包括入校成绩、课堂反应、作业情况、测验成绩、学习态度、学习方法等，在此基础上对学生进行分层［13］。学者基本上将学生分为A,B,C 三个层次且比例为1:2:1。其中：

A 层次学生：基础能力好，接受能力强，学习态度积极；

B 层次学生：基础中等，接受能力较强，学习积极性较高；

C 层次学生：基础薄弱，反应较慢，接受能力差，学习不积极。

但当面对的学生很多时，此分层方法就比较费时费力，而且分层的结果也不理想。

在这里， 我们提出一种新的学生分层方法，即使用模糊集的相关知识来定量基础能力的好坏、接受能力的强弱、学习积极性的高低等划分层次指标的高低。

假设学生有 m 个，分别记为 S1，S2，…，Sm；分层指标有n 个，每个指标均是百分制。

论域 U={S1，S2，…，Sm}；Si=[S1，S2，…，Sm]，i=1，2，…，m，其中 sij（j=1，…，n）表示第 i 个学生的第 j 个分层指标的成绩。

通过定义隶属函数的 λ-截集 Aλ={Si|A（Si）＞λ}来进行分层。

具体步骤如下：

①计算出 A（Si），i=1，…，m，并对 A（Si），i=1，…，m 从大到小进行排序，重新记为 B=[B1，B2，…，Bm]；

②若学生划分成q 层，水平从高到低分别记为G1，G2，…，Gq且比例为 a1：a2：…：aq。

则 Aλ为 G1层次的学生，Aλ/Aλq-为 G1（i=2，

111…，q-1）层次的学生，剩余的则为Gq层次的学生。值得注意的是，采用此方法，我们可以得到任意层次数和层次比例的学生分层［14］。

4.2.2 方法分析

通过MATLAB 工具， 我们可以将该方法转化为程序语句。 以后，我们可以直接通过计算机进行学生分层。 它的优点有：

①适合大规模的教学群体，大大减少分层时间和成本。

②可以细化分层依据的指标，使得分层结果更加具有实用性和说服力。

③可以满足教师所需要的任意层次数和分层比例，具有一定实际应用价值。

④分层结果不是一成不变的，我们采用的是流动分层模式。 那么采用该方法，可以大大减少分层时间，提高分层的效率。随着时间推移，分层依据的标准更加丰富，划分的结果也更加精确［15］。

值得注意的是，为了方便起见，在下面的分层描述中我们默认将学生分为3 个层次。

4.3 教师分层

针对分层情形（1）（2），对教师也要实行分层。下面我们将从两个方面对教师实施分层：

4.3.1 按教师的职称和教学水平分层

以分层情形（1）为例，我们可以让高职称、教学技能高的教师担任A 类层次的专业课程， 刚入职的年轻教师担任C 类层次的专业课程。 这种教师分层方法不仅可以减轻教师课堂压力，避免在不同的课堂变换不同的授课方式，大大提高课堂效率，还能够让年轻教师更快地适应教学环境， 提高自身的教学水平， 有利于年轻教师的长远发展。 另外，年轻教师可以根据所授课程的需要，定期去听有丰富教学经验的高职称教师的课。 通过这种分层教学的开展， 可以达到老中青传帮带的目的和效果，更好地适合于学生的学习，更快地促进年轻教师的发展。

4.3.2 按专业分层

教师担任某一固定专业的课程，比如担任经济管理类专业的数学教师，每年都担任此专业数学课程的老师可以进行交流与研讨，同时，也可以与本专业的其他非数学专业的老师进行探讨，以积累和拓展其他专业的知识，并在本课程课堂教学中将其与数学知识衔接起来，激发学生的学习兴趣。此外，教师长期授课积累下来的经验，如专业的教学重难点， 教学方式， 本课程在其它专业哪里能用到，等等，这些可谓是宝贵的财富。

4.4 教学设计分层

教学设计依据人才培养方案，根据课程标准要求和教学对象的特点， 将教学诸要素有序安排，制定出适合专业与学生层次的教学方案和教学进度计划。 如教学重难点、课时安排、教学方法、教学内容、教学评价、课后作业等。 下面主要从教学目标、教学方法、教学内容与教学评价这四个方面讨论分层教学。

4.4.1 教学目标分层

由于不同层次学生的基础知识、学习能力及接受能力存在差异性，教学目标不能“一刀切”。 教师要制定适合各层次学生实际情况的教学目标。具体来说：

A 层次：基础知识是关键，教师首先要求学生熟练掌握数学的基本概念、公式、性质定理的基本推导过程；其次是培养学生的抽象思维、逻辑思维和创新能力；最后，要求学生会用数学知识解决较复杂的实际问题。

B 层次： 教师要求学生掌握数学的基本概念、公式，了解推导过程，培养学生的抽象思维和逻辑思维，并会用所学知识进行一些简单的实际应用。

C 层次：教师要求学生掌握数学的基本概念，基本定理与公式，直接运用知识解决一些基础题目。

4.4.2 教学方法分层

教学方法包括：教师教的方法（教授法）和学生学的方法（学习法）两个方面，是教授法与学习法的统一，两者缺一不可。 教学方法的选择要符合专业人才培养方案、教学目标和学习要求，所以，对不同层次的学生，教师应选择不同的教学方法。

A 层次：讲授法与讨论法相结合。在上课前，学生通过自主学习掌握基本概念、公式等；在授课中，教师只需对基本知识进行总结，着重讲解其数学思想和公式推导过程，学生可以围绕教师提出的问题发表自己的意见和想法，与老师共同探讨。 这样可以充分调动学生的学习主动性，调动学生的学习兴趣，培养和提高学生的思维能力、独立分析和解决问题的能力。

B 层次：讲授法和谈话法相结合。 在课堂教学中，教师通过口头讲解向学生传授基本知识，课后学生自主完成基础练习题。教师运用谈话法引导学生运用已学的知识解答拓展性习题，借以培养学生的数学发散思维和应用能力。

C 层次：讲授法与练习法相结合。 在课堂教学中，教师详细讲解数学基本概念、公式，确保每位学生掌握基础理论知识。 在教师的辅导下，学生通过反复练习教材上的课后习题，以更好地掌握所学理论知识，加深印象，做到理解透彻。

4.4.3 教学内容分层

教师根据人才培养方案，依据教学大纲和教学目标，明确指出哪些是所有学生必须熟练掌握的内容，哪些是高层次学生可以自己探索的，哪些是低层次学生不作硬性要求的。

4.4.4 教学评价分层

教师进行教学评价主要依据考试成绩。为保证考试的公平性，我们准备三种层次的试题。 具体要求为：

C 类学生：做C 层次的习题，打分为分数（百分制）；

B 类学生：做C 层次习题+B 层次的20 分加试题，C 层次题目分数×0.8+B 层次加试题分数；

A 类学生：做 C 层次习题+B 层次的 20 分加试题+A 层次的20 分加试题，C 层次题目分数×0.7+B层次的加试题分数×0.5+A 层次加试题分数。

针对考试成绩，我们进行分层评价。 首先注重出发点是使每个层次的学生都有进步，再在同一层次进行比较，这样可以避免差生的自卑和优生的不思进取，加大同一层次学生间的竞争。其次，对于A层次学生我们采用竞争性评价方式，这样能够使优秀的学生互相竞争从而提高数学能力；B 层次学生为中等生，通过激励性评价方式，提高学生的学习积极性，激发学生的学习潜能，使学生不断进步；C层次学生一直徘徊在最后，我们采用表扬性评价方式，让差等生感觉到自己并没有被忽视，防止他们失去学习的信心，甚至出现厌学的状态。

5 小结

综上所述，本文首先分析新升格本科院校数学教学现状，以亳州学院为例，分析各本科类专业数学类课程教育教学的现状，提出采用分层教学法的必要性与可行性， 再运用分层优化算法来实施分层教学法；同时，提出分层教学法在新升本科院校的数学教学中的应用途径， 以期能从整体上全面提高教学质量，真正起到促进全体学生共同进步，推动教学朝着更好的方向发展，达到全面育人的效果。