带加性噪声的随机波动方程的惯性流形逼近

李 琴，陈光淦

1. 四川师范大学 数学科学学院/可视化计算与虚拟现实四川省重点实验室，成都 610068； 2. 四川省江油中学，四川 江油 621700

波动方程是最重要的数学物理方程之一，它是关于时间的二阶偏微分方程，描述了振动在介质中的传播，在光波、声波和水波等自然现象中被广泛研究．惯性流形和稳定流形等不变流形刻画了系统动力学特征和有效行为．文献[1]证明了随机波动方程不变流形的存在性：文献[2]研究了随机波动方程的惯性流形的存在性．

本文考虑带加性白噪声的随机波动方程

u(0，x)=u0(x)，ut(0，x)=u1(x)，u(t，0)=u(t，π)=0

(1)

其中：ν>0，D=[0，π]，W(t)是双边的L2(D)值的Q-维纳过程，其协方差算子Q满足trQ<∞．假设非线性项f在L2(D)上是全局Lipschitz连续的，并且Lipschitz常数是Lf．

由于维纳过程W(t)处处连续，处处不可导，文献[3-4]从数值模拟与计算角度研究了随机微分方程的逼近：文献[5]用光滑的Φε(t)去近似不光滑的W(t)，得到随机微分方程的刻画：文献[6]通过一类平稳过程研究了Wong-Zakai型的近似．

考虑近似随机系统

(2)

1 预备知识

其中Lf为Lipschitz常数．

令

其中I为恒等算子．

方程(1)等价于下面的方程组

(3)

其中(u，v)Τ∈E．

方程(2)等价于下面的方程组

(4)

设

由ek的正交性，容易验证E1⊥E22，E-1⊥E22．再由文献[8]可知，在E11和E22上定义新内积

有E1⊥E-1，那么E1⊥E2．显然，E1⊕E2=E．那么算子A满足下面条件(指数二分性)：

‖eAtP1x‖E≤Keαt‖x‖E，t≤0

‖eAtP2x‖E≤Keβt‖x‖E，t≥0

(5)

其中β<α<0，K>0，I=P1+P2．记E1=P1E和E2=P2E．

定义1设(Ω，F，P)是一个完备概率空间，θ={θt}t∈R是Ω上的变换族，定义映射

如果映射θt满足如下条件

则称(Ω，F，P，θ)为驱动动力系统．

定义2设(H，dH)是一个完备度量空间，如果映射

满足下面性质

φ(0，ω，x)=x

φ(t+τ，ω，x)=φ(t，θtω，φ(t，ω，x))，τ∈R，ω∈Ω，x∈H

则称θ和φ构成的二元组(θ，φ)为一个随机动力系统．

定义3对于随机动力系统φ(t，ω，x)，如果对任意的t≥0，ω∈Ω，有

φ(t，ω，M(ω))⊂M(θtω)

那么随机集M(ω)称为正不变集．

考虑一个Langevin方程

(6)

它具有轨道不变性和测度不变性[9]．定义

由文献[10]知，(u*(ω)，v*(ω))Τ和(X*(ω)，Y*(ω))Τ分别是下面线性方程组的唯一稳态解

(7)

(8)

实际上

(9)

(10)

存在且分别生成下面的稳态解

(11)

(12)

定义如下非线性函数

那么gi(i=1，2)与f有相同的Lipschitz常数．

考虑下面的方程组

(13)

(14)

引入变换

T(ω，(u，v)Τ)=(u，v)Τ-(u*(ω)，v*(ω))Τ

T-1(ω，(u，v)Τ)=(u，v)Τ+(u*(ω)，v*(ω))Τ

Tε(ω，(Xε，Yε)Τ)=(Xε，Yε)Τ-(X*(ω)，Y*(ω))Τ

T-1，ε(ω，(Xε，Yε)Τ)=(Xε，Yε)Τ+(X*(ω)，Y*(ω))Τ

和

是随机动力系统，对任意(u，v)Τ∈E和(Xε，Yε)Τ∈E，过程

和

分别是(3)式和(4)式的解．

2 惯性流形的Wong-Zakai型逼近

和

定义Banach空间

其范数为

引理3[2]如果Lf满足

(15)

那么方程组(13)有不变的Lipschitz流形

ME(ω)={(ξ，h(ξ，ω))|ξ∈E1}

进一步，如果

(16)

那么ME(ω)是方程组(13)的随机惯性流形，其中Lh为h(ξ，ω)的Lipschitz常数．

用文献[2]中类似的方法可得到方程组(14)的惯性流形如下．

引理4[2]如果Lf满足(15)式，那么方程组(14)有不变的Lipschitz流形

MEε(ω)={(ξ，hε(ξ，ω))|ξ∈E1}

进一步，如果(16)式成立，那么MEε(ω)是方程组(14)的随机惯性流形．

(17)

(18)

(19)

对应的随机惯性流形的Lispchitz映射为

(20)

相应地，对(Xε，Yε)Τ作如下变换

(21)

(22)

(23)

对应的随机惯性流形的Lispchitz 映射为

(24)

证由方程组(11)和(12)有

(25)

记不等式(25)的最后一个不等号后的两个加式分别为I1，I2．对I1，由分部积分得

(26)

证由(19)和(23)式，有

(27)

在(27)式不符项中同乘e-ηt，有

那么

而

所以

由引理4，可得

因此

证首先当ε→0时由惯性流形映射(24)和(20)式，有