打破应试惯性，引导教学回归

张晓斌 杨勇 周敦鸾

摘要：“八省联考”数学试题顺应了深化高考命题改革的方向，与以往高考的数学试题相比，出现了许多新亮点。其特点有：突出综合性，强调“能力立意”;关联高等数学，考查学习潜能;关注不常考的内容和形式，进一步反猜题;减少多背景融合的试题，缩短试题篇幅，使试卷更简洁;部分呈现新高考的新题型，控制试卷难度;改变多选题的评分规则，使评价更合理。由此提出的复习教学建议有：淡化经验，回归课标;淡化教辅，回归教材;淡化“结果”，回归“过程”。

关键词：八省联考;数学试题;复习教学

2019年，《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》（以下简称《意见》）对深化高考命题改革做了明确要求，指出：“普通高等学校招生全国统一考试命题要以普通高中课程标准和高校人才选拔要求为依据，实施普通高中新课程的省份不再制定考试大纲。优化考试内容，突出立德树人导向，重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。创新试题形式，加强情境设计，注重联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题。”

2021年1月的“八省联考”是新高考试卷结构模式首次大规模考试亮相（虽然曾在2020年山东、海南两省高考中亮相，但是考试规模远比不上“八省联考”），意义重大。本次考试的试题顺应了《意见》提出的深化高考命题改革的方向，与以往的高考试题相比，出现了许多新亮点。

本次考试的数学试题以《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）为依据，注重对高中数学基础知识、基本技能及主干内容的考查，同时多角度、多层次地考查数学思想方法和数学能力、数学素养;展示高中数学的学科价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性;体现数学作为基础学科的重要地位，同时考查大多数考生进入高校继续学习数学的潜能;充分发挥高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，对后期复习备考将起到积极的引导作用。

本文重点分析试题特点，并提出相关复习教学建议。

一、试题特点

（一）突出综合性，强调“能力立意”

试题综合性较强，比较“活”（不繁难），多考“想”（少套路），突出“能力立意”，没有“送分题”（也没有特别难的题目），仅靠死记硬背知识和大量“刷题”是很难拿到高分的，还需具备理解问题、分析问题、处理问题的能力。这正是《课标》提倡的“三会”：理解问题就是“会用数学的眼光观察世界”;分析问题就是“会用数学的思维思考世界”;处理问题就是“会用数学的语言表达世界”。

例如，集合与复数这两个部分的内容在历年高考中考查的难度都较低，主要考查学生掌握基础知识的水平（具有“送分性”）。但是，本次考试除了考查学生基础知识的运用，还考查学生的思维能力：第1题（单选题）涉及集合部分的子集、补集、并集等知识，需要学生具备画韦恩图分析集合间关系的能力;第10题（多选题）涉及复数部分的复数的模、共轭复数、复数乘法等知识，要求学生依次判断四个选项的正确性，需要学生具备运算化简的能力。另外，第7题（单选题）综合考查了抛物线、圆和直线的知识，第12题（多选题）综合考查了三角函数的周期性、有界性和利用导数求函数的单调区间等知识，等等。

（二）关联高等数学，考查学习潜能

第17题（解答题）是由三项递推关系求数列通项公式的问题，可以使用高等数学中的特征方程求解;第20题（解答题）是立体几何题，引入高等数学微分几何中的曲率概念，立意深远，考查学生的数学素养和综合素质;第22题（压轴题）如果采用分离参数的方式求解，则可使用高等数学中的洛必达法则。这类试题并不要求学生利用大学的知识解决，但考查了学生将来进入高校的学习潜能。学生如果能在学有余力的情况下自学部分高等数学知识，就能深刻地理解高中数学问题的来龙去脉，并能居高临下地剖析以高等数学知识为背景的高中数学试题。

（三）关注不常考的内容和形式，进一步反猜题

第13题（填空题）考查圆台体积公式，第17题（解答题）考查数列的三项递推关系，第20题（解答题）考查新定义的曲率概念、多边形的内角和以及多面体顶点数、棱数（面的边数）与面数的关系，第22题（压轴题）考查指数函数与三角函数混合函数的求导。这些都是近几年全国高考数学卷中不常出现（甚至从未出现）的内容，也是很多教师在复习教学中容易忽略的内容。

另外，第3题（单选题）表面上是一个真假命题判断的问题，实际上是一道逻辑推理题：给出的四个命题中，每个命题的真假都与其他命题的真假相关联，需要进行逻辑推理。这是近几年全国高考数学卷中不常出现的考查形式，进一步明确了逻辑推理核心素养的重要性——此外，从6道解答题中有4道要求证明，也可见本次考试对逻辑推理的重视。第21题则以解答题的形式考查了双曲线的知识。这让很多学生不适应，但好在此题的设问方式比较常规，重点考查转化能力和运算能力。

与此同时，本次考试也在一定程度上回避了很多“热点”“常规”，进一步做到了反猜题。

（四）减少多背景融合的试题，缩短试题篇幅，使试卷更简洁

2020年全国高考三套数学卷中，都有3道以上多背景融合且篇幅较长的试题。而本次考试多背景融合的试题明显减少，且试题篇幅有所缩短，显得简洁明晰——同时也是一种反猜题的做法，因为很多师生一直认为近几年的全国高考数学卷具有情境题（包括新知阅读题）多的特点。综观全卷，只有两道试题设计跨学科背景、现实背景和数学科学背景，但这两道题的设计风格截然不同。第16题（填空题）以物理量的测量为背景，考查学生的知识迁移能力，跨学科，但综合性不强。第20题（解答题）以北京大兴国际机场的设计为背景，让学生了解北京大兴国际机场的建设成就，关注现实，蕴含了劳育价值、美育价值和应用价值;同时嫁接多面体欧拉公式和高等数学微分几何中的曲率概念，一改传统的线面关系证明与空间向量计算，转而考查理解新概念、獲取新知识、探究新问题的能力，体现了科学探索价值和文化育人价值。

（五）部分呈现新高考的新题型，控制试卷难度

数学学科新高考的最大特点就是提出了很多新题型，包括多选题、双空填空题、开放题、结构不良试题、新知阅读题以及一题三问的形式等。2020年全国高考三套数学卷中，出现了开放题、新知阅读题和一题三问的形式，没有出现多选题、双空填空题和结构不良试题; 2020年新高考山东卷和海南卷中，都出现了多选题（四道）、新知阅读题（多个）、结构不良试题（第17题，解答题）和一题三问的形式（第19题，解答题），没有出现双空填空题和开放题。而本次考试出现了多选题（第9—第12题）、双空填空题（第14题）、开放题（第15题）和新知阅读题（第20题），没有出现结构不良试题和一题三问的形式。这说明新高考的新题型可能会在今后的高考试卷中轮流设计或交替出现，而不会在同一张试卷中全部亮相，从而控制试卷的解答难度和批改难度，也为猜题增加难度。

（六）改变多选题的评分规则，使评价更合理

2020年新高考山东卷和海南卷中，多选题的评分规则是全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。很多学生为了保险起见，把多选题当成单选题做，只选择最有把握的一个选项，争取得3分，而不冒险得5分。而本次考试多选题的评分规则把部分选对的分值从3分降为2分。这样的评分规则更合理，减少了学生投机的倾向，增加了学生能力水平的区分度，更有利于选拔优秀学生。

二、复习教学建议

（一）淡化经验，回归课标

高考复习中数学概念、公式和定理繁多，章节内容考点庞杂，问题形式变幻无穷。很多教师在以考试大纲（说明）为指导的思维惯性下，会凭自身教学经验（感觉）按知识点或考点进行题型归类、解法总结。这样的教学很可能把握不准复习的尺度。例如，不少教师凭经验认为，对于空间几何体，高考经常考查柱体与锥体，很少考查台体，所以在复习时，将重点放在柱体与锥体的知识运用上。但是，本次考试第13题恰恰考查了圆台的体积公式。再如，很多教师认为，对于圆锥曲线，高考的解答题主要考查椭圆，一般不会考查双曲线和抛物线，所以在复习时，以椭圆为重点强化训练解答题。但是，本次考试第21题却以解答题的形式考查了双曲线的知识。

按照《意见》的要求，今后的高考取消了考试大纲，所以教师应逐渐淡化自认为的“经验”，不唯经验论，而围绕唯一的命题依据——《课标》制订复习计划，在复习中不留盲点。特别是一些不常考的内容和形式，正是学生不重视的薄弱部分，更要加强复习。实际上，本次考试的数学试题就较好地體现了《课标》的要求。例如，对于复数，《课标》在“教学提示”中要求“注重对复数的表示及其几何意义的理解，避免烦琐的计算与技巧训练”，由此不难理解本次考试第10题（复数题）的设计。再如，对于一元函数的导数，《课标》在选择性必修课程中的要求有“能求简单的复合函数[限于形如f（ax+b）]的导数”，第12题要求函数f（x）=2cos 2x4+sin 2x的导数，与之完全吻合;在选修课程中的要求有“理解二阶导数的概念，了解二阶导数的物理意义与几何意义，掌握一些基本初等函数的一阶导数与二阶导数”，第22题根据考查学生数学潜能的目的，涉及简单的二阶求导也是情理之中的事。

（二）淡化教辅，回归教材

教材是权威专家编写与审查通过的国家教学范本，同时也是高考命题的重要参考。遗憾的是，很多教师在复习中过分依赖教辅资料，很少利用教材，甚至有的学生在复习中从来没有翻过教材。实际上，市面上的教辅资料种类繁多，质量参差。教师一旦选错，不仅达不到复习的效果，还会浪费大量的时间和精力;即便选到质量不错的，也不一定适合所教学生的学情。

近几年的全国高考数学卷中，有很多基本题目是由教材问题稍加改造而成的，还有一些较难的题目是在挖掘教材问题、吸收组题思想的基础上加工、组合而成的。例如，2019年高考全国Ⅱ数学理科卷的第21题（压轴题）就是由人教A版高中数学[基于《普通高中数学课程标准（实验）》编写的旧教材]选修21中“椭圆及其标准方程”一小节的例3改编、拓展而成的。具体题目如下：

本次考试也有不少试题是由教材中的例题、习题改编而成的。例如，第10题（复数问题）的各选择支散见于各版本高中数学教材的习题中，以证明题的形式呈现;第11题（正方体的平面展开图问题）是由人教A版高中数学第二册第132页习题的第9题改编而成的;第17题（递推数列问题）是由人教A版高中数学（旧教材）必修5第69页“复习参考题”B组第6题改编而成的。

所以，教师在复习教学中应该重视教材、回归教材，立足教材中的例题、习题，根据学情有针对性地编制变式练习，并把一些结果整理成常用结论，以提升学生的应变能力和解题速度。

此外，在复习教学中重视教材、回归教材的另一个重要意义是：加强概念、公式、定理等重要知识及重要思想方法的联系，以提升理解的深刻性、运用的灵活性。“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力在于各个部分之间的联系。” 本次考试的许多试题综合性强，打通了知识间的联系，因而显得“活”，需要“想”。新授教学通常是按照教材章节展开的，很容易忽视知识间的联系，因而，复习教学正是构建知识间联系的良好时机。例如，复习时，可以引导学生证明反比例函数的图像是双曲线，从而建立圆锥曲线与函数间的联系，优化认知结构。

（三）淡化“结果”，回归“过程”

在追求分数与成绩的竞争中，教师与学生都过分注重解题结果，特别是注重通过大量“刷题”归纳题型，总结技巧性解法（如特值法、秒杀法等）。这样虽能快速得到答案，但使解题变得简单机械、套路化、程序化，并未真正理解题目背后知识的意义与本质，不利于挖掘掌握解题的通性通法，难以形成良好的数学思维能力。本次考试的数学试题充分体现了打破应试惯性，反套路化、反程序化的导向，引导教师在教学中，充分关注学生解题的思维过程，培养学生的数学思维能力。所以，教师在教学中，要精选典型题目，引导学生充分探索与交流，同时注意揭示题目背后的知识本质，渗透解题运用的思想方法，提升学生的解题悟性。

数学解题过程大致可以划分为四个阶段：理解题意、探求思路、书写解答、回顾反思。每一个阶段都至关重要。理解题意就是弄清问题，准确把握或翻译已知和所求。例如，对本次考试第20题，很多学生就是没有理解“面角”与“曲率”的概念，导致出错。探求思路就是在弄清题意的基础上，探索已知与所求之间的联系，特别是分析问题本质，关注数学思想方法的运用。例如，本次考试第14题考查学生能否建立正方形边与对角线的关系以及夹角与斜率的关系等。规范书写解答不仅是正确解题的重要保证，也是理清思维逻辑顺序的重要过程。例如，对本次考试第17题，很多学生因为书写不规范而导致出现逻辑推理错误，即想当然地认为，{an+an+1}为等比数列，则{an}为等比数列。回顾反思是优化解法，提炼处理“类问题”的经验，提升迁移能力的至关重要的环节。很多学生会忽视这一环节，所以教师要积极引导学生回顾反思解题的过程，让学生在原问题的基础上站得更高、看得更远。例如，解决“已知△ABC的边BC的垂直平分线交边BC于Q，交边AC于P，若AB=1，AC=2，求AP·BC的值”这一平面向量问题时，教师可以引导学生从熟悉的基底法出发，得到结论后再反思过程，进行优化，提炼形成一般化的思路。

参考文献：

[1] 教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.