多智能体系统的固定时间和有限时间比例一致性

陈 超，赖艺芬

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

自然界纷繁复杂，人们经常能看到成群的动物聚集在一起，比如蚁群、牛群、鸟群、鱼群等。这些群体的规模有时达到成千上万，而且有时并不存在一个统一的领导者，但这些群体都具有集体捕食和集体抵御天敌的能力，生物的这种特性被称为“群集行为”。受此启发，人们开始从不同的角度对这种群集现象进行深入的研究，提出了多智能体的概念，多智能体系统的研究就是在这种应用需求下应运而生的。从群体行为的不同角度来看，多智能体系统协同控制大概可以分为聚集问题、蜂拥问题、编队问题等几类，这几类问题可以看作是一致性问题的延伸和体现。因此，多智能体系统的一致性问题是该研究的基础和热点。

多智能体的一致性问题[1-5]主要基于多智能体系统中各智能体相互之间的信息交换，通过设计一致性协议使得所有的智能体的状态趋于一致。在实际应用中，多智能体系统的收敛速度十分重要，已有的很多一致性算法使得群体系统状态达到渐近稳定，但实际系统的状态变量不可能在有限的时间内达到平衡状态，因而有限时间一致性问题具有很强的工程应用背景。文献[6-8]研究了多智能体系统的有限时间一致性问题。尽管以上研究很好解决了多智能体系统的有限时间一致性问题，但系统的收敛时间都与智能体的初始状态有关，当系统初始状态很大时，系统收敛时间会受到较大的影响。为了解决初始状态的问题，多智能体系统的固定时间一致性问题得到了学者们的研究[9-13]。

相比于文献[6-8]，本文提出一种新的协议，即多智能体系统的收敛时间不再依赖于系统的初始状态，同时多智能体不再收敛于同一状态，而是按照既定的比例收敛到不同的状态。

1 预备知识及模型介绍

1.1 图论

1.2 相关定义及引理

引理4[19]如果V(x(t))：Rn→R是连续函数，x(t)：[0，+∞)→Rn在[0，+∞)是C-正则的，x(t)：[0，+∞)→Rn在[0，+∞)的任意紧区间是完全连续的。如果存在一个连续函数H：(0，+∞)→(0，+∞)，当ζ∈(0，+∞)时，H(ζ)>0，使得右上导数DV(t)≤-H(V(t))。令H(V)=αVp+βVq，则：1)如果0≤p，q<1，则V(t)会在有限时间内达到0，且收敛时间T满足T≤min{V1-p(0)/(α(1-p)),V1-q(0)/(β(1-q))}；2)如果p>1，0≤q<1，则V(t)会在固定时间达到0，且该时间T估计为T≤Tmax=1/(α(p-1))+1/(β(1-q))。

2 问题描述

考虑一个具有n个智能体的多智能体系统，智能体i的动力学方程可写为：

(1)

其中：xi(t)∈R表示智能体i的状态变量；ui(t)∈R表示系统的控制输入。

设计如下的控制协议：

(2)

定理1 在非连续控制协议(2)下，如果0<γ<1，则多智能体系统(1)在任意初始条件下达到有限时间比例一致性；如果γ>1，则多智能体系统(1)在任意初始条件下达到固定时间比例一致性。

(3)

选取Lyapunov函数为：

V(t)=xTSTSx/2，

(4)

其中S=diag(si·sign(si))。

结合引理 1，则有：

(5)

当γ>1时，由引理2及引理3可知，

从而由引理4可知，系统(1)达到固定时间比例一致性，且收敛时间满足

(6)

注1 多智能体系统(1)的固定时间一致性和有限时间一致性可以通过同一个控制器(2)来获得，而当控制器中的参数γ在不同范围取值时，可以决定系统是达到固定时间一致还是有限时间一致。另外，由于引入了比例系数，使得多智能体不再收敛于同一状态，而是按照既定的比例收敛到不同的状态。当比例系数等于1时，就是普通的一致性问题，显然比例一致性比普通的一致性更有实际意义。

3 实例验证

考虑由6个智能体组成的多智能体系统，6个智能体的连通拓扑图如图1所示。

由通信拓扑图可得Laplacian矩阵为：