中煤阶煤甲烷吸附临界深度的数值模拟计算

张学梅，马青华，郝静远，李 东

(1.西安思源学院 能源及化工大数据应用教学研究中心，陕西 西安 710038；2.西安交通大学 化工学院，陕西 西安 710038)

0 引 言

从“不同煤阶吸附气量-埋深关系图”[1]和“有机质吸附甲烷气模型图”[2]分析，煤储层的煤层气吸附极大值客观存在。出现煤层气“吸附极大值”的煤储层埋藏深度也相应被定义为临界深度(Hc)。同样出现吸附极大值所对应的压力定义为临界压力(Pc),出现吸附极大值所对应的吸附量定义为临界吸附量(Vc)。在临界深度以浅，含气量随埋深的增大而增高；在临界深度以深，即超过临界深度后，含气量随埋深增大反而降低。在临界深度以浅和临界深度以深会出现2个埋深点，其含气量在压力无变化时会相等，但含气量的变化随压力降低却相反。即在临界深度以浅，随压力降低其含气量降低，但在临界深度以深，随压力降低其含气量反而增高。

煤层气的地面抽采是在煤储层的地面往下钻一井至预定深度后通过“排水降压”方式抽采煤层气的工程操作。此种压力单向变化的“排水降压”方式对于临界深度以浅和临界深度以深的两点必定会产生2种完全不同的结果。对于在临界深度以浅的点，排水降压的方式会产生吸附气量降压(Vjy)小于原先排水降压前吸附气量(Vyq)，即VjyVys[3]，因此计算出吸附极大值所出现的临界埋深(Hc)、临界压力(Pc)和临界吸附量(Vc)就非常重要。

已有涉及煤层气临界深度的产生原因和计算的相关探讨，如深部地应力状态的转换即为平均水平最大主应力与垂直应力的比值。水平最大主应力越大，则地应力状态转换临界深度越大[4-10]，也有研究将出现煤层气吸附极大值归结于地温与地压的共同作用[11-14]，上述讨论均得到定性甚至半定量区间的结果。同时半定量的计算还需朗格缪尔体积(VL)、朗格缪尔压力(PL)、吸附温度、镜质体反射率、水分含量、灰分产率、镜质体含量、惰质体含量等参数，由此也造成现有技术的不易使用。

通过东北辽宁抚顺煤、华东安徽淮北煤和西北新疆吐哈煤的系列等温吸附数据可精确计算3种煤的吸附极大值[15]，必要条件是吸附量的变化受温度负影响的存在并大于受压力变化的正影响。还有针对煤变质程度、温度、压力、吸附量该4个共同存在并相互影响因素的相关研究[16]，但仍未有关于中煤阶煤的变质程度与其吸附临界深度的相互关系研究。因此笔者试图以煤田地质勘探中可采集到的数据(埋深、煤级、压力梯度、地温梯度)对4个临界值(Hc、Pc、Vc和临界温度(Tc))进行数值模拟计算。

1 数据转换

1.1 温度-压力-吸附方程

温度-压力-吸附方程(Temperature-Pressure-Adsorption Equation,TPAE)是1个包含温度、压力和吸附体积该3个相互共存、互为影响变量的数学方程，旨在研究指定温度和气体压力下煤的吸附量变化函数关系[17-19]:

(1)

式(1)中，A为1个固定的多孔介质的微孔几何形体常数,与努尔森扩散有关，无量纲；B为吸附流量系数，与吸附区域相关，无量纲；M为分子量，甲烷的分子量为16；p为压力，MPa；T为绝对温度，K；V为吸附量，cm3/g；β为衡量吸附压力的相对影响参数，无量纲；Δ为衡量吸附温度的相对影响参数，K。

(2)

式中，c1、c2、c3、和c4为数值。

Δ是吸附质流中的1个吸附分子的最低势能和活化能之间的能量差，显示温度的影响。

温度影响参数(Δ)与镜质体最大反射率的关系[16]:

(3)

式中，b1、b2和b3为数值。

B是吸附流量系数，与吸附介质的孔隙率、吸附比表面积等有关。吸附流量系数B的自然对数与镜质体最大反射率的关系[16]:

(4)

式中,a1、a2、a3为数值。

A是1个表征多孔介质的微孔几何形体常数[20]，其与努尔森扩散有关。对于所研究的中煤级煤，A值恒等于0.168。

1.3 计算煤层气吸附极大值

在A相对较小而被忽略时[20]，式(1)的一阶全微分为:

(5)

因为在变温变压条件下吸附量出现极大值，则式(5)须等于零，从而产生1个齐次方程，整理、移项后得:

(6)

式中，Δ和B如式(3)、式(4)所示，均为镜质体最大反射率的函数。而方程中的温度变量(dT)和压力变量(dP)可以用地温梯度和地压梯度的耦合关系来解决。对于每增加100 m埋深，dT与dP的数值之比为恒定并可知。

从地温梯度、压力梯度和可直接取值的恒温地层温度(Th)，可建立温度与压力的关系如下:

(7)

将式(7)代入式(6)可得1个求压力P的一元二次方程。对于一元二次方程可用特征判别式精确求2个解，然后从中选定1个合理的解。该合理的压力即为临界压力(Pc)。

当求得Pc后，可代回到方程(7)求临界温度(Tc)，即求得临界深度(Hc)的计算公式如下:

(8)

求临界吸附量(Vc):当Pc和Tc已知，则可根据方程(1)计算Vc。

2 结果与讨论

2.1 适用条件

2.2 临界深度(Hc)

临界深度(Hc)的计算公式如下:

(9)

式中，a1、a2、a3、a4、a5和a6均为代定系数。当地温梯度、压力梯度和恒温地层温度(Th)值确定后，代定系数则确定。

图1 dT=3 ℃/hm、dP=1 MPa/hm、不同时的临界深度Fig.1 Equal isocritical depth with dT=3 ℃/hm,dP=1 MPa/hm and different

2.3 临界压力

临界压力(Pc)的计算公式如下:

(10)

式(10)中，b1、b2、b3、b4、b5和b6均是代定系数。当dT、dP和Th值确定后，代定系数则确定。

图2 dT=3 ℃/hm、dP=1 MPa/hm与不同时等临界压力Fig.2 Equal critical pressure with dT=3 ℃/hm,dP=1 MPa/hm and different

2.4 临界吸附量

临界吸附量(Vc)的计算公式如下:

(11)

式中，c1、c2、c3、c4、c5和c6均是代定系数。当dT、dP和Th值确定后，代定系数则确定。

图3 dT=3 ℃/hm、dP=1 MPa/hm、不同时的临界吸附量Fig.3 Equal critical adsorption capacity with dT=3 ℃/hm,dP=1 MPa/hm and different

2.5 软件著作

3 结 论

(1)根据多元函数方程出现极值的必要且充分条件是该方程的一阶全微分必须为零的规则，得到1个可用于计算极值条件的齐次方程。利用埋深每增加百米时其温度增加量与压力增加量虽物理量纲上不同但数值上是可比的原理，消除计算极值条件的齐次方程中的温度变量和压力变量。设计地温梯度与压力梯度比，使得计算极值条件的齐次方程中仅剩温度与压力2个未知变量。从地温梯度(dT)、压力梯度(dP)和恒温地层温度(Th)三者之间建立温度与压力的关系，从而使得计算极值条件的齐次方程成为仅剩压力待解变量的一元二次方程。

(4)进行中煤阶煤甲烷吸附临界深度的数值模拟计算涉及很多复杂的数学计算，基于特定的软件著作具有强大的数值运算和符号计算功能，同时还具有相关科学运算结果的可视化界面的展示，建议直接采用“基于煤岩分析和温压梯度比计算煤层气吸附极大值时深度和压力及吸附量的软件”进行数值模拟计算。