基于Engl极小化原则确定Robin系数的数值求解

马衍波，瞿 丹

（韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041）

考虑带有如下边界条件的Laplace方程：

Robin 反问题解的唯一性可由一致连续原理给定［1］，然而，解的存在性需要给定数据的兼容性，而这是不容易证明的.更为困难的是，反问题的解并不连续依赖给定数据，即：给定数据的些许误差可能引发解的巨大变化.虽然如此，由于该模型的广泛应用，仍有众多数学家就Robin反问题的数值求解进行研究［2-7］.文献［8］讨论了区域Ω 为窄矩形的数值求解；最小二乘法在反问题的研究中被广泛应用，文献利用有限元分解讨论了正则的最小二乘法，该方法对恢复光滑的Robin 系数是有效的.针对分段常数的Robin系数，文献［9-12］分别利用Modica-Mortola和Kohn-Vogelius函数进行了讨论，实验证明对带有陡峭边界的恢复是有效的.而针对非光滑的Robin系数，基于全变差的非线性反问题的数值方法得到了很多学者的重视［13-18］.

由于TV正则化泛函在0点不可导，所以其数值算法的设计是很大的挑战.考虑到Tikhonov正则化方法和TV正则化方法的优缺点，我们给出一种自适应的TV方法，将Tikhonov正则化方法和TV正则化方法的优点结合起来.数值实验表明，该方法对分段常数的Robin反问题的恢复有较好的效果.

1 边界积分方程及其离散化

首先，引入令φ=φ(x,y)为二维Laplace方程的基本解，由格林公式，得到如下积分方程：

该积分方程含有dΓ(x)是定义在边角上的指标函数，满足

定义

假定平面域的边界Γ 为光滑的，即设Γ={z(t):t∈[0,1]},其中，z:R→R2为2π 周期光滑函数，且z为定义［0，1］上的单射函数，满足z′(t)≠0,∀t∈[0,1].令

u(t):=|z′(t)|u(z(t)),t∈[0,1]，

可得到参数化的积分算子：

2 自适应泛函

其中

注意：这里的pi是p(ti)的近似值，且p0=0，pm4-m3+1=0.

令

则有

这里Ei表示矩阵E的第i行.

引进向量e(p)=R0A(p)-1f-u0，上述泛函（1）可以简写为残差项和正则项之和：

该正则泛函充分考虑了ROF模型和l2模型的优势：当|pi+1-pi|≪β，说明函数在该点处梯度变化较大，可能存在断点，相应的正则分量接近|pi+1-pi|，可以充分利用TV正则的优势处理断点的恢复；而|pi+1-pi|≪β说明函数在该点处梯度变化不大，此时相应的正则分量接近||pi+1-pi||2/β，故此时可以充分利用l2范数模型的优势，使得近似解具有一定的光滑性.

3 数值实验

在下面的数值试验中，假设椭圆具有标准参数：

x=x(t)=(acos(2πt),bsin(2πt)),0 ≤t≤1，

固定a=1,b是一个可以任意取值的参数.两个不相交的区域Γ0,Γ1分别为

函数g(t)满足

为了比较方便，选择了两种Robin函数p(t)，这两种函数在文献［9］中进行验证.

测试是用Matlab进行的.在参数区间［0，1］上设置均匀分区，取步长h=0.002 5.在下面的所有测试中，首先选择p(t)，并通过求解相应的离散系统，

在网格点t1,t2,…tn处利用高斯消元法得到（4）解的近似值，这里A(p)来自于公式（1）.然后，用得到的u|Γ来产生u0，并添加一定的随机噪声：

其中符号“rand”表示区间（0，1）上均匀分布的随机数，δ是噪声级别.在所有的测试中，总是选择初始值p0=（0.5,0.5，…，0.5）T.

正则化参数在求解不适定问题中起着重要作用，利用基于Engl原理获得一个有效的正则化参数，尤其当数据的噪声级有准确的估计值时.然而，参数α的值可能在稍大的范围内变化.在我们的数值实验中，假设已知误差E:=||R0u-u0||的近似估计.首先选择了一个初始参数α，然后根据||R0u-u0||2的值更新α.准确地说，如果||R0u-u0||2>E，将α替换为0.5α；如果||R0u-u0||2

利用Engl原理，得到恢复的Robin系数，效果见图1.其中噪声水平为5%，迭代次数分别为35和50次.图2给出了两种Robin系数恢复过程中的相对误差.

图1 Robin系数恢复效果

图2 相对误差随迭代次数的变化

4 结论

自适应的TV泛函充分考虑了TV模型和l2模型的优势，在可能存在断点的地方，充分利用TV正则的优势处理断点的恢复；而在不是断点的地方，可以充分利用l2范数模型的优势，使得近似解具有一定的光滑性.数值实验也说明了这一点.