中学概率与统计内容的变化历程及启示

邢田宇 孙小军

摘   要

中华人民共和国建立以来，我国中学数学教学大纲（课程标准）不断地修订和完善，不同时期的教学大纲（课程标准）反映了不同政治、经济、文化等背景下中学数学课程的发展变化。通过对中华人民共和国建立以来一些有代表性的教学大纲（课程标准）等相关资料中概率与统计内容的梳理，探寻了中学数学课程中概率与统计内容的变化历程，并为《义务教育数学课程标准》修订工作提出了一些建议，同时以期能为一线教师有效开展基于核心素养的概率与统计教学提供参考。

关键词

概率与统计  教学大纲  课程标准  数据分析素养

大数据时代下的信息风暴正在变革着我们的生活、工作和思维，通过对庞大数据的处理与分析获取有用信息已成为现代公民应具备的基本素养，而概率与统计内容作为数据分析的载体，直接影响着人们数据分析观念的形成。《义务教育数学课程标准（2011版）》强调“应用概率与统计知识、培养数据分析观念”，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中将数据分析作为六个学科核心素养之一，这反映出概率与统计内容在中学数学课程中的地位逐步提高，社会对人们数据分析能力的要求也越来越高。概率与统计内容从“卑微”的出身到今天的重要地位并不是一蹴而就的，而是在经历了初步发展、“三起三落”[1]以及现代发展后才得以确立。随着大数据时代的到来，完善和发展概率与统计内容已成为时代发展和课程发展的新要求。文章依据15个版本的中学数学教学大纲（课程标准）及相关历史资料[2]，包括“50大纲”（《数学精简纲要（草案）》）、“52大纲”（《中学数学教学大纲（草案）》）、“60大纲”（《十年制学校数学教材的编辑方案（草稿）》）、“63大纲”（《全日制中学数学教学大纲（草案）》）、“78大纲”（《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》）、“82大纲”（《全日制六年制重点中学数学教学大纲》）、“83大纲”（《高中数学教学纲要（草案）》）、“86大纲”（《全日制中学数学教学大纲》）、“88大纲”（《九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲（初审稿）》）、“92大纲”（《九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》）、“96大纲”（《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》）、“01标准”（《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》）、“03标准”（《普通高中数学课程标准（实验）》）、“11标准”（《义务教育数学课程标准（2011年版）》）、“17標准20修订”（《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》），运用历史研究法和内容分析法，探寻中学数学课程中概率与统计内容的变化历程，并为正在进行的《义务教育数学课程标准》修订工作提出了一些建议，同时为一线教师有效开展基于核心素养的概率与统计教学提供参考。

一、中学数学课程中概率与统计内容的变化历程

1.初步发展（1949-1959年）

1949年11月教育部提出了“吸收旧教育有用经验，建设新民主主义教育”的教育改革方针[3]，但当时教育体系还未完善，存在教材种类繁多、内容编排不合理、学生学业负担重等问题。为此，教育部于1950年7月颁发了“50大纲”，据此编写的“精简本”中概率与统计内容和建国前基本一致，要求学生在初中阶段学习统计表与统计图，在高中阶段学习或然率。同时“50大纲”对旧用教本精简意见中指出：或然率需少讲，统计一章的选题应换成更适合之材料如最近中国经济建设之材料，苏联经济发展等材料[4]。可以看出，由于建国之初贯彻“教育工作必须为国家建设服务，学校必须为工农开门”的方针[5]，而概率与统计内容在这一时期的工农生产中应用较少，所以当时虽对概率与统计内容有所保留，但学习内容少、重视程度低。

1952年，我国进入全面学习苏联时期，提出“学习苏联的先进经验，先照搬过来，然后再中国化”[6]的方针，将苏联十年制学校所学知识安排到我国十二年制学校中学习，导致中学数学课程内容减少、难度偏低。“52大纲”取消了高中阶段与概率相关的内容，只在初中一年级保留了简单统计图表。1954年第一次修订该大纲，概率与统计的内容没有变化。1956年3月，教育部对“52大纲”进行了第二次修订，在初中一年级增加了绘制图表，同时对简单统计图表的类型进行了描述，但高中数学课程中依旧没有概率内容。这一时期强调用数学知识解决农业、军事等领域中的实际问题，统计图表在生产生活中有一定的实用价值，所以在初中阶段得到了一定重视，而这一时期对概率内容的实用功能关注较低，且受全面学习苏联的影响，概率内容在高中阶段未能顺利开展。

概率与统计内容的初步发展过程反映出：1949-1959年概率与统计内容发展缓慢，这一时期中学数学课程关注社会发展占主导。

2.第一次兴衰（1960-1977年）

1958年，针对全面学习苏联时期出现的问题，我国制定了中学数学教育改革方案，主张数学教育现代化。1960年北京师范大学数学系编写的《九年一贯制试用课本》中已有概率与统计[7]。同年华东师范大学数学系也编写了一套《五年制中学数学试用本》[8]，概率与统计是其中之一，但这两套教材中概率与统计的许多内容都涉及到大学高年级的知识，且只在部分地区进行试用。与此同时，教育部起草了“60大纲”，该大纲要求五年级下学期学习简单的统计图表。这一时期主张数学教育现代化，概率与统计作为现代化内容在实际教学中受到了重视，虽然编写的两套教材未能在全国推广，但数学教育工作者已经意识到它在数学学科的重要性，这为之后中学数学课程中概率与统计内容的发展奠定了基础。

1960年开始的“教育大革命”，过于追求教育内容现代化，导致与学生的认知发展相脱离。为改变这种现状，在“调整、巩固、充实、提高”八字方针[9]的指导下教育部颁布了“63大纲”，该大纲删除了“52大纲”的统计知识，高中阶段增加了一些概率初步知识，但在教学内容的安排中又指出：对于概率这类学生比较难于掌握的知识，应放在较后讲授[10]。这一阶段课本中虽有概率与统计内容，但并未开展实际教学，特别是从试验数学教材中均涉及概率与统计到取消统计内容不难看出：中学数学课程中概率与统计内容逐渐走向了衰落。

从概率与统计内容的第一次兴衰可以看出：这个阶段数学教育工作者已经意识到这一内容的学科价值，但未能有效地落实到实际教学中。这一阶段中学数学课程虽然开始关注学科发展，但对社会发展的关注仍占主导。

3.第二次兴衰（1978-1987年）

1966-1976年，我國没有统一的教学大纲和教材，数学教育发展受阻，“文化大革命”结束后，全国进入全面整顿时期。1978年教育部颁布了“78大纲”，根据“精简、增加、渗透”六字方针[11]，该大纲明确提出：增加概率统计的初步知识，这是首次规定在初中三年级要学习统计初步知识，关于统计初步的教学内容也明显增多（包括总体和样本、频率分布、样本均值、样本方差和样本标准差）。同时高中概率的教学内容有所增多，教学要求也进一步提高。1980年对“78大纲”进行了修订，初中统计内容增加方差的简化计算和累计频率分布作为选学内容;高中概率部分增加了课时。“82大纲”将初中统计初步内容中方差的简化计算和累计频率分布由原来的选学改为必学，并增加了频数分布和累积频数分布，课时也有所增加。该大纲在教学内容的确定中指出：学生的志趣、毕业后对数学的需要不同，教学内容应当有一定的灵活性，从而将高中数学教学内容分为三种类型，概率与统计内容相应也被分成了三种类型。这一时期概率与统计内容在中学数学课程中不断调整，人们逐渐认识到它在中学数学课程中存在的必要性，并试图去探寻最适合中学生学习的概率与统计内容。

1983年，教育部针对文革导致的师资水平、学生文化程度和学校条件悬殊过大等情况，制定了“83大纲”。该大纲按“基本要求”和“较高要求”将教学内容分为两类，概率在较高要求中作为必学内容，但在基本要求中只作为选学内容，由于当时高考只按照基本要求命题，选学内容并未讲授，因此概率内容在这一阶段基本是形同虚设。国家教委颁布的“86大纲”是一个过渡性大纲，第一次在教学内容下增加了具体要求，在概率与统计的教学内容方面，将初中统计部分的累积频率分布由必学改为选学，高中的概率内容由之前的选学和必学相结合全部改为选学，而选学内容不作为毕业和升学考试的要求。这一时期统计初步在初中阶段一直是必学内容，但概率内容实际上已经退出了高中教育舞台，这标志着概率内容又一次走向低谷。

从概率与统计内容的第二次兴衰能够看到：这一时期为响应数学教育现代化，数学教育工作者在试图探寻最适合中学生学习的概率与统计内容，但由于毕业和升学考试并未涉及概率内容导致概率内容在高中阶段名存实亡。中学数学课程在关注社会发展的同时开始关注学生发展。

4.第三次兴衰（1988-2000年）

“88大纲”在教学要求中首次提出，会用统计初步知识解决一些简单的实际问题，并开始注意到统计知识的应用功能。此外，还增加了使学生了解统计思想的教学要求，这表明不再只是将统计初步作为一种基本知识学习，而是注意到了统计知识背后所蕴含的随机性思想。“92大纲”在教学内容中增加了实习作业，要求通过实习作业使学生初步掌握搜集、整理和分析数据的方法，培养学生解决实际问题的能力;在具体要求中将会用科学计算器求样本平均数与标准差作为选学内容，虽然未列入毕业考试和升学考试的命题范围，但也说明这一时期已经开始认识到信息时代计算机对统计教学的帮助，统计教学要求的不断提高也体现出当今社会对统计教学的重视。2000年对“92大纲”进行了修订，在教学内容的确定与安排中提到：毕业班级可以根据各地的需要，选学一些适当加宽加深的内容（例如概率初步知识）[12]，这是第一次在初中阶段开始考虑增加概率内容，虽然在实际教学中可能并未涉及，但在一定程度上反映出当时已经开始注意到概率与统计知识在初中阶段应有所渗透。这一时期，概率与统计内容的地位明显提升，数学教育工作者开始关注统计知识的应用功能和统计思想，它在中学数学课程中进一步被重视。

为了与只涉及义务教育部分的“88大纲”和“92大纲”相衔接[13]，国家教委颁布了“96大纲”，首次在高中增加了统计知识，但由于在教材编写过程中遇到了许多难题，导致概率与统计内容未能按照预期的设想进行编写。“96大纲”虽将概率与统计初步知识阐述为从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的知识，并且把处理数据（包括使用计算器）作为基本技能，但在实际教学中大部分教师还不能熟练使用计算器处理数据，致使学生对概率与统计内容的学习也未能达到预期效果。20世纪末，虽然概率与统计在大纲的内容设置上呈现出增加的趋势，但实际教学中仍然存在“教材难编、教师难教、学生难学、试题难出”的问题[14]，学生在现实生活中遇到随机性问题时仍然不会用所学的概率与统计知识解决，未能达到预期的教与学的效果，概率与统计的教学再一次退入低潮。

从概率与统计内容的第三次兴衰能够发现：这一阶段数学教育工作者注意到了统计的应用功能及其蕴含的思想，但在实际教学中还存在着“四难”等问题。中学数学课程在关注社会发展和学科发展的同时，更加注重关注学生发展。

5.现代发展（2001年至今）

2000年我国开启了新一轮基础教育课程改革，概率与统计内容在初中和高中都受到了前所未有的重视。“01标准”将初中课程内容分为四个板块，统计与概率作为一个单独的板块出现。在统计与概率的总体目标中要求：经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，经历运用数据描述信息、作出推断的过程、发展统计观念[15]。可以看出，在“92大纲”重视统计应用功能的基础上，“01标准”开始注意到教学中要使学生经历学习的过程，这与新课程改革背景下关注学生发展的要求一致，并首次提出要发展统计观念。同时更注重培养学生掌握知识体系，为以后解决实际问题打下基础，基于这一理念，统计内容受到进一步重视。“01标准”首次将概率放到初中来学习，并在教学要求中提到：应注重使学生在具体情境中体会概率的意义，加强统计与概率之间的联系，避免将统计与概率内容的学习变成数字运算的练习[16]。虽然是第一次将概率作为初中课程内容，但未降低概率的教学要求，且注重初、高中概率与统计内容的衔接。“01标准”中概率与统计内容的这些变化都在为培养高素质人才和促进数学学科发展奠定基础，概率与统计教学在初中阶段开始稳定发展。

2001年颁布的《基础教育课程改革纲要（试行）》中指出：我国基础教育总体水平还不高，原有的基础教育课程已不能完全适应时代发展的需要[17]。面对时代发展带来的基础教育课程改革挑战，教育部颁布了“03标准”，将高中数学课程分为必修和选修课程，这两类课程均含概率与统计内容，这说明概率与统计是时代发展下高素质人才应具备的知识。与“96大纲”必修课程中只有概率内容不同，“03标准”在必修课程中既有概率又有统计，因此无论是文科生还是理科生都要学习这两部分内容，这表明概率与统计在教学中的地位有所提高。此外“03标准”对信息化社会中概率与统计的重要意义做了阐述，将概率与统计的基础知识作为一个未来公民的必备常识[18]，至此不仅概率与统计的社会价值受到了重视，其育人价值也被关注，概率与统计的发展达到一个新的高度。

经历了多年的探索与实践，我国构建了体现新时代素质教育理念的基础课程体系[19]，但仍有一些需要完善的地方，为此教育部在2005年开始组织对“01标准”进行修订，于2011年底颁布了“11标准”，其中对统计与概率做了一些调整，取消了极差的计算和画频数折线图，增加了中位数、众数的计算和平均数的意义。随着时代发展和信息量的增加，对数据进行分析成为各行各业中的常态工作，“11标准”中将统计观念改为数据分析观念，并指出数据分析是统计的核心，强调在教学中要发展建立数据分析观念[20]。这表明，概率与统计的教学不再局限于简单的计算应用，而开始注重学生统计思维的培养，并引导学生在现实生活中发现随机问题、感受随机现象，能够用所学的概率与统计思想、方法去解决一些问题，这对于培养创新型人才具有重要意义。这一时期概率与统计的教学也达到了更高的层次。

“17标准20修订”中将高中数学课程分为必修、选择性必修和选修课程，并用四条主线贯穿三种课程类型，概率与统计是其中的一条主线。与“03标准”的最大不同在于，“17标准”基于我国国情，充分发挥数学学科的独特育人优势，凝练出六大数学核心素养，与数据分析素养对应的就是概率与统计内容，这使得概率与统计教学对培养学生数据分析素养具有更加重要的意义。概率与统计教学提示中指出：教学活动要通过具体实例和典型案例进行，可以鼓励学生尽可能运用计算机进行模拟活动、处理数据，更好的体会概率的意义和统计思想[21]，这与大数据时代下学生的发展要求相吻合。“17标准20修订”供学生依据个人志趣自主选择的5类选修课程中，都涉及概率与统计内容，且大学数学先修课程中也包括这一内容。不难看出，概率与统计内容在高中阶段受到了空前的重视，尤其在数据分析素养提出后，它在我国中学数学课程体系中占据了重要位置，这既是社会发展的必然，也是学科发展的趋势，更是學生自身发展的需要。

概率与统计内容的现代发展过程反映出：2000年以后概率与统计内容受到明显重视，其地位逐渐提升，开始稳定发展。中学数学课程趋向于关注社会发展、学科发展、学生发展的相互平衡。

二、对“标准”修订和中学数学教学的启示

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》已经颁布，为了使中学数学课程更好地服务于社会发展、学科发展和学生发展，并实现对三者的“最佳平衡”，同时避免出现知识上的衔接不畅等问题，《义务教育数学课程标准》（以下简称“标准”）的修订工作于2019年1月4日启动。基于以上工作，以期为“标准”修订时相关内容的编写和基于核心素养的教学提供参考。

1.整合十大核心概念，明确数据分析素养

“17标准20修订”中将数据分析素养作为六大数学核心素养之一，符合大数据时代下对人才培养的需要，义务教育阶段的数学课程也应该充分发挥其育人功能，明确数据分析素养。“11标准”中提出了10个核心概念，虽然有专家指出，把这些词称为“概念”并不确切，很难清晰表达其内涵[22]，但这10个核心概念可以看作义务教育阶段数学学科核心素养的前身，修订时“标准”可以考虑将10个核心概念重新整合，凝练出适合义务教育阶段的数学学科核心素养。笔者认为可将“数据分析观念”与“应用意识”这两个核心概念整合为义务教育阶段的“数据分析素养”，即让学生学会用数学的眼光观察世界;通过调查研究、收集数据将实际问题数学化，理解和处理数据后解释世界;用数学方法对数据进行分析判断后再重新认识世界。这既是时代发展的新要求，也是大数据时代下学生在升学、就业乃至生活中不可或缺的数学素养，因此要将其贯穿于整个基础教育数学教学活动的全过程。特别在学生数据分析素养的培养过程中，应该做到符合时代发展特征，充分发挥学科作用，用好概率与统计内容这个载体，真正实现“随风潜入夜，润物细无声”。

2.突出课程内容主线，培养解决问题能力

从目前中学的实际教学情况来看，概率与统计教学尚未达到预期效果，主要原因之一就是“11标准”和“17标准”对初高中概率与统计内容在结构设置上存在的差异，影响了数学知识体系的整体性。“11标准”将课程内容分为四个模块，但模块化的课程结构容易割裂数学内容之间的逻辑联系，导致初高中课程内容衔接不畅。因此，修订“标准”时应该关注课程内容的内在关系和思想方法，可以考虑突出数与代数、图形与几何、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，同时甄选恰当的课程内容，将其贯穿于各个年级的课程中，实现与高中的自然衔接。“11标准”中的综合与实践作为一个单独模块，只有笼统的表述，没有和课程内容结合，也未能发挥其应有的价值。因此，修订“标准”时可以考虑将综合与实践融入四条主线，并贯穿于课程内容之中，以此培养学生的问题意识、应用意识和创新意识。以概率与统计内容为例，这部分内容应多与日常生活中的实际问题相结合，可针对概率与统计内容给出具体的综合与实践案例，这不仅能为教学提供一个明确的方向，也能帮助教师更好地将综合与实践融入四条内容主线。

3.增加命题建议，确保“标准”与考核一致

在梳理概率与统计内容的发展历程时发现，有些时期的教学大纲中设置的这一内容并未很好地落实到实际教学中。这既有社会发展对这部分知识需求过低的因素，也有学生不重视的因素，但不可否认的是这些教学大纲对概率与统计知识的“期望”与考试评价“实际”之间的一致性存在偏差是主要原因之一。国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，但在以往的考试命题中“考试大纲”的影响力高于“课程标准”，这就导致“课程標准”未能充分发挥对教学的指导作用。2019年11月29日，教育部颁布了《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》，该意见指出：取消初中学业水平考试大纲，将严格依据义务教育课程标准科学命题，促进学生认真学好每门课程，完成国家规定的义务教育学业。至此，“标准”成为义务阶段教学和考试评价的唯一依据，这就必然要求“标准”的修订要强调关注评价，尤其关注考试命题，避免“标准”与考试脱节。“11标准”中虽然有“书面测验建议”，但是义务教育后所面临的兼具“毕业性”与“选拔性”的初中学业评价（中考）是义务教育的终结性测验，其评价与命题的依据就是“标准”，所以修订“标准”时除已有的“书面测试建议”外，可以考虑增加“初中学业评价与中考命题建议”，并可以根据学生不同需要（就业、升学）明确对四个主线内容的不同学习要求，也就是“义务教育阶段数学学科核心素养”的不同水平。对概率与统计内容的不同学习要求，对应的就是数据分析素养的不同水平。这样，不仅教师在概率与统计的实际教学中能够有章可循，保证平时阶段性测试的命题科学合理，更让初中学业评价（中考）中概率与统计内容命题能够有据可依，可在一定程度上减小“标准”与考试评价之间一致性的偏差，使得概率与统计内容的考核与评价更加科学有效，从而有力地促进学生数据分析素养的发展和养成。

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[作者：邢田宇（1997-），女，内蒙古呼伦贝尔人，宝鸡文理学院数学与信息科学学院，硕士生;孙小军（1978-），男，陕西宝鸡人，宝鸡文理学院数学与信息科学学院，教授。]

【责任编辑  郭振玲】