小学高年级学生数学错误分析过程研究

邹学红 周钧

摘   要

以分数的问题解决为例，参考兰宁等人的错误分析反思循环模型，通过对56位同学“分数应用的问题解决”的错误分析过程的研究，总结了学生问题解决错误的识别方式、归因、订正错误的策略。研究发现：情境转译错误是学生分数应用问题解决错误的主要原因;深刻、全面的归因对学生来说是有挑战性的。

关键词

小学生  错误分析  问题解决  分数应用

由于数学学科的严谨性和科学性，以及学生认知发展和已有经验的不足，数学错误与数学学习如影相随。在教学理论中，数学错误被看作是教师教学和学生学习的资源[1]。一方面数学错误可以作为诊断学生学习效果的一种工具，帮助教师了解学生的学习情况[2]，以便教师更好地改进教学;另一方面学生通过对错误的反思可以加深对知识的理解，培养良好的思维品质。甚至还有研究者指出数学错误对教师的知识观、数学观的形成也有很大的影响[3]。因此，数学错误成为研究者和教师关注的重点，然而很少有研究者关注学生的错误反思过程[4]。

错误产生于学生数学学习的过程中，因此学生是反思错误的主体。学生对错误的反思过程，也是将错误作为学习资源进行探究的过程，可以帮助学生找到问题所在，发展学生的数学思维能力。另外，了解学生真实的错误分析过程，有助于教师了解学生的认知水平和知识理解程度，以便对学生的数学学习开展有针对性的指导。基于此，对学生的错误反思过程进行研究就显得极为重要。

一、文献梳理

钟德认为学生问题解决时的错误主要是因为片面地使用定理或公式[5]。托马斯（Thomas，T.M.）提出，日常生活中的各种说法是导致学生数学错误的重要原因[6]。贾金平在对错误的价值及成因分析的基础上，提出了针对错误的课堂教学策略，如何引导学生反思错误[7]。周淦利提出在教师的教学中要重视学生错误的解法，引导学生分析错误的根本原因[8]。芮金芳在研究中提出教师在课堂教学中要善待“错误”，对比思“错”，拓展延伸[9]。李娜通过对教师课堂录像的分析，提出教师在课堂上为学生提供表达自己想法的机会，让学生经历在错误分析过程中的认知冲突，从而提高学生的数学理解水平[10]。相关研究主要受建构主义学习理论的影响，提倡教师将学生的数学错误看作课堂教学的资源[11]，借助数学错误来巩固和加深学生对数学概念的理解[12]。教师在课堂中将学生的数学错误作为教学资源的前提是学生对数学错误的分析，但在现有的研究中，更多的是从教师的角度探讨如何在课堂上使用错误资源，而很少有关注学生对错误的分析。台湾学者刘婷、罗增儒通过实验研究证实了数学作文作为学生的一种反思方式，有助于学生元认知水平的提高，从而降低错误率，该研究侧重于学生反思与学生元认知水平的关系[13]。兰宁（Lannin，J.）等人基于对2名学生数学学习的追踪，研究了学生在数学学习中诊断错误时所使用的策略、学生错误的归因类型以及订正错误的策略[14]。该研究中使用的错误分析反思过程模型对研究的开展具有借鉴意义。

学生对数学错误的分析过程从识别错误開始，到对错误进行归因，然后进行错误订正。学生订正错误的过程往往不是一蹴而就的，如经历“错误识别—错误归因”后，却无法订正错误，然后重新进行错误的识别与归因;也有可能在订正的过程中发现最初的归因并不全面;还有可能无法识别错误就退出了错误分析的过程。

二、选取研究对象与数据收集

1.研究对象的选取

选取北京市海淀区一所普通公立小学六年级6个班，共208名学生，这些学生已学习了“分数的应用”相关内容。研究者为这6个班学生提供分数应用问题解决任务。学生在统一的数学早读时间完成任务，然后由班级的数学任课教师对学生的问题解决进行评判，研究者收集问题解决错误的文本共52份。

2.数据收集

研究采用质性研究方法收集数据。为了获取学生分析问题解决错误的过程材料，本研究采用维果茨基（Vygotsky，L.S.）的微衍生法（microgenetic）[15]，即先采集学生日常学习中分数应用问题解决的相关材料，并进行分析，从而确定学生在分数应用问题解决中常出现的问题：学生解决分数应用的问题，特别是题文中包含2个分数，且这2个分数对应的标准量（单位“1”）不相同时，学生问题解决比较容易出错。在此基础上设计如下问题。

李叔叔开车从甲地去乙地送货，已行的路程是未行的■，如果再行60千米，就正好行了■，甲乙两地相距多少千米？

研究者在收集学生的错误解答文本后，利用课间逐一反馈给解答者本人，运用有声思维法收集问题解决错误学生反思和分析错误的过程材料。另外，根据研究需要对部分学生进行访谈，尽可能保证研究资料的翔实。

三、学生识别错误方式、类型与订正

1.学生识别错误的方式

通过对问题解决错误学生的访谈，发现学生识别错误的方式主要是在尝试给自己讲清楚问题解决的过程中识别出错误。另外，还有同学通过对问题解决的结果进行推断的方式来识别错误。

如错例1，该同学在尝试给自己讲清楚问题解决的过程中识别出错误。

错例1

解：设甲乙两地相距x千米

同学F推断自己得出的计算结果不合理，确定自己的解答是错误的。

错例2

2.学生的错误类型

通过对这52位同学错误归因的归纳发现，他们认为他们错误的原因有：单位“1”混淆、画图错误、阅读不仔细。

如错例3，该同学分析自己错误的原因是将■与■这两个分数的单位“1”混淆了。

错例3

在错例4中，该同学在错因分析中都写道：“因为图画错了，所以计算结果就错了。”

错例4

在错例5中，该同学分析自己错误的原因是没认真读题，把已行的路程是未行的■读成了全程的■。

错例5

在对分数应用问题解决错误的分析中，多数同学都将错误原因归因于单位“1”混淆、读题不仔细，出现这类错例的学生的共性是他们在解答问题的过程中把题文所表达的问题情境部分地转译成自己所构想的运算情境，然后采用与构想情境相匹配的计算策略来解决问题 [16] 。

3.学生错误的订正

在学生识别出错误并找到错误的原因后，他们会尝试订正错误。对学生订正错误的文本和访谈材料进行分析，发现他们订正错误的主要策略有：（1）通过找关键词的方式厘清分数对应的单位“1”;（2）转化（将题文中的分数转换成份数进行计算）;（3）重新画图。

同学H通过再次读题及划重点的方式帮助自己确定题文中■这个分数的单位“1”：

同学L在运用分数的知识进行问题解决失败后，尝试把■所表示的关系转化成已行与未行之间的1份与3份的关系，从而将甲乙两地的距离转化为4份，然后进行计算。

同学D在尝试用一条线段图表征题文中的数量关系失败后，选择用两条线段图表征，使问题得到解决。

四、结论与启示

1.情境转译错误是学生分数应用问题解决错误的主要原因

问题解决的过程考察学生的阅读能力、转译能力、分析能力、计算能力，还涉及学生对概念的理解程度。因此，学生问题解决错误，可能是语言错误、转译错误、策略错误、计算错误、概念错误。台湾学者张景媛研究学生数学文字题错误时总结的错误类型主要是语言错误、策略错误、计算错误、概念错误[17]，但本研究发现在分数应用的问题解决中，多数同学出现的错误是情境转译错误，他们倾向于将题文中的情境转译成他们构想的情境，而他们构想的情境往往便于他们进一步解决问题，但却与题文信息不符，如题文中给出的信息是“已行的路程是未行的■”，但很多问题解决错误的学生都将其转译成“已行的路程是全部路程的■”，从而根据题文中给出的另一个信息“如果再行60千米，就正好行了■”，确定60千米对应的总路程的份数，然后根据量率对应关系求出甲乙两地的距离。通过进一步的访谈及与所选样本班级数学教师的交流得知，学生在之前的学习及练习中已经掌握了根据两个单位“1”相同的分数以及它们的差量求总体的问题解决模型。然而研究者为学生提供的问题解决任务中的两个分数的单位“1”并不相同，但学生在阅读题文的过程中依然将问题情境转译成其熟悉的问题模型，实际上是一种思维定势。

以往研究特别强调错误分析对学生加深数学概念理解的价值，如博拉西（Borasi，R.）建议教师要利用学生的数学错误加深学生对相关数学概念的理解[18]，然而本研究发现，通过学生对数学错误的分析，引导学生注意问题解决中的思维定势现象对学生克服情境转译错误具有重要意义。

2.学生对问题解决错误的分析存在表面化、机械性的现象

学生对数学错误进行分析反思的过程，是尝试暴露其思维路径、解决认认知冲突的过程[19]。经历这样的过程，可以增加学生有效的知识、提升解决问题的能力、形成对数学学习的积极情感和价值观[20]。但学生对数学错误的分析反思过程并不是居于同一水平，尽管多数同学都可以在这个过程中发现自己问题解决错误的关键原因，但并不是所有的同学都可以根据自己发现错误的原因对错误进行订正，甚至有一小部分的同学的反思是表面的、机械的，因为他们根本就不明白题文所表达的含义，这就是小学生错误分析反思过程的差异性。因此从整体上看，深刻、全面的归因对学生来说是有挑战的，比如虽然很多同学将自己的错误归因于分数单位“1”的混淆，但即使他们通过老师课堂上教的寻找关键词的方法确定单位“1”，依然不能独立解决问题。这就说明这类学生问题解决错误的原因并不是分数的单位“1”混淆，而是对“分数”这一概念还不理解，导致他们无法根据题文中分数所表征的意义解决问题。因此，在学生日常的订错过程中，教师在给予学生独立思考和分析数学错误的基础上，要结合学生对错误的认知情况，将教师的讲解、学生间的互助与学生的独立思考相结合，从而使对错误认知处于不同水平的学生都可以通过错误订正获得数学学习的机会，将“以学生发展为本”的教学理念扎实地落实。

参考文献

[1] Borasi，R.Exploring mathematics through the analysis of errors[J].For the Learning of Mathematics，1987，7（03）：2-8.

[2] Schwarzenberger.错误的重要性——英国数学学会会长致词[J].数学圈，1984（21）：73-80.

[3] 郜舒竹，薛涟霞.学生错误研究之文献综述[J].数学教育学报，2009，18（02）：78-75

[4] Lannin，J.，Townsend，B.，& Barker，D.The Reflective Cycle of Student Error Analysis[J].For the Learning of Mathematics，2006，26（03）：33-38.

[5] 钟德.学生解题常见错误的心理分析[J].数学通报，1990（08）：16-18.

[6] Thomas T M.Encouraging versatile thinking in algebra using the computer[J]. Educational Studies in Mathematics，1991，22（2）：125-147.

[7] 賈金平.数学课堂教学中学生错解的病因分析与对策[J].教学与管理，2006（07）：55-58.

[8] 周淦利.解题教学中如何实施“出误探究法”[J].数学通报，2007，46（02）：52-53.

[9] 芮金芳.数学课堂教学中错误资源的有效利用[J].教学与管理，2007（14）：48-49.

[10] 李娜，莫雅慈，吴立宝.初中数学课堂中教师对学生错误反馈的类型研究——基于24节录像课的分析[J].数学教育学报，2016，25（05）：55-60.

[11] Lannin，J.，Townsend，B.，& Barker，D.The Reflective Cycle of Student Error Analysis[J].For the Learning of Mathematics，2006，26（03）：33-38.

[12] Radatz，H.Error analysis in mathematics education.Journal for Research in Mathematics Education，？1979，10（03），163-172.

[13] 劉婷，罗增儒.“数学作文与元认知开发”的纠错实验[J].数学教育学报，2009，18（04）：50-73.

[14]] Lannin，J.，Townsend，B.，& Barker，D.The Reflective Cycle of Student Error Analysis[J].For the Learning of Mathematics，2006，26（03）：33-38.

[15] Vygotsky，L.S.The instrumental method in psychology. In： Wertsch，J.V.（Ed）.The concept of activity in Soviet psychology[M]. Armonk：Sharpe，1981：134-143.

[16]  李秀荣.儿童加减法认知结构的整合性及发展的研究[J].心理发展与教育，1992，8（01）：9-16.

[17] 张景媛.数学文字题错误概念分析及学术建构数学概念的研究[J].教育心理学报，1994（27）：175-200.

[18] Borasi，R.Exploring mathematics through the analysis of errors [J].For the Learning of Mathematics，1987，7（03）：2-8.

[19] Bell A.Principles for the design of teaching[J].Educational Studies in Mathematics，1993，24（01）：5-34.

[20] 吴志健.数学“纠错”的有效性探析[J].中小学教师培训，2012（11）：52-55.

[作者：邹学红（1984-），女，山东临沂人，北京师范大学教师教育研究中心，博士生;周钧（1965-），女，云南潞西人，北京师范大学教师教育研究中心，教授，博士。]

【责任编辑  陈国庆】