随机五角链和随机螺旋五角链的指标①

张海东，王维忠

兰州交通大学 数理学院， 兰州 730070

本文考虑的图均为简单无向连通图． 设图G的顶点集为V(G)={v1，v2， …，vn}， 边集为E(G)． 记dv为图G中顶点v的度， 且(di，dj)表示度分别为di和dj的两顶点间的边， 图G中边为(di，dj)的数目记为mdidj(G)， 其他符号可参见文献[1]．

若连通图G中任意顶点的度小于5， 则称其为分子图． 文献[3]研究了随机聚苯链的Wiener指标， 之后文献[4]分别定义了α，β，γ-随机五角链． 受文献[5]的启发， 本文引入随机螺旋五角链， 即将α-随机五角链的所有割边收缩之后所成的随机五角链．

1 随机五角链的指标

图1 α-五角链Bn 图2 α-五角链的两种局部结构

图3 β-五角链Cn 图4 β-五角链的两种局部结构

图5 γ-五角链Dn 图6 γ-五角链的两种局部结构

(1)

证当n=2时， 直接计算得

当n>2时， 显然m2，2(Bn)，m2，3(Bn)，m3，3(Bn)的值由图2中的两种结构确定．

由(1)式得

(2)

由(1)式得

(3)

结合(2)，(3)式得

(4)

注意到(4)式为一阶常系数非齐次差分方程， 显然其所对应的齐次方程的通解为Eα=C， 这里C为常数． 设Eα′=kn为(4)式的一个特解， 将其代入(4)式可得

故(4)式的通解为

因此， 当n≥2时， 有

图7 α-邻五角链和α-间五角链

证证明方法与定理1完全相似， 不再赘述．

证证明方法与定理1完全相似， 不再赘述．

故由定理1、 定理2、 定理3分别可得下列定理4、 定理5、 定理6．

2 随机螺旋五角链的指标

图8 螺旋五角链SPn 图9 螺旋五角链的两种局部结构

(5)

定理7设SPn(p3)是一个n长的随机螺旋五角链， 其中n≥2， 则

证当n=2时， 通过直接计算可得

当n>2时，m2，2(SPn)，m2，4(SPn)及m4，4(SPn)的值可由图9中的两种结构来确定．

因此由(5)式得

(6)

因此由(5)式得

(7)

结合(6)，(7)两式得

又因E[En]=En， 应用期望算子可得

(8)

注意到(8)式为一阶常系数非齐次差分方程， 显然其所对应的齐次方程的通解为E=C1， 这里C1为常数． 令E′=sn是(8)式的一个特解， 将其代入(8)式可得

从而(8)式的通解为

故当n≥2时， 有

显然， 如图10所示的邻螺旋五角链On就是SPn(1)， 而间螺旋五角链Mn就是SPn(0)． 故由定理7得：

图10 邻螺旋五角链和间螺旋五角链