高维球冠上的Yamabe问题①

赖晋秋，胡玉琪，姚纯青

西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715

文献[1]提出了Yamabe问题： 在每个m(≥3)维紧致无边黎曼流形(M，g)上， 是否存在一个与g共形且具有常数量曲率的度量? 经过文献[1-4]的研究， Yamabe问题得到了彻底的解决， 并由此带来几何分析中一系列新的进展[5]．

长期以来， Yamabe问题的研究主要围绕着不带边界的紧致黎曼流形进行[6-7]， 得到了令人满意的结果． 对于带非空边界的紧黎曼流形， 是否也有相应的Yamabe问题呢? 文献[8]研究了紧致带边流形上的Yamabe问题． 文献[9]通过构造局部测试函数， 给出了在带边流形上的Yamabe问题的一个存在定理． 文献[10-11]也讨论了具有正Ricc曲率和凸边界的紧黎曼流形的相关问题．

本文研究球冠上的Yamabe问题， 利用局部嵌入以及两次球极投影[12]， 将标准球面上的度量诱导到球冠边界上， 得到球冠边界的度量[13]； 提出了球冠上的一类带边界条件的Yamabe方程， 并且得到了该方程的一组解．

1 预备知识

(1)

在球极投影下， 球面上的标准度量表示为

其中ξE是欧氏空间上的标准度量． 在欧氏空间Rn的笛卡尔坐标系下，ξE=δαβduα⊗duβ， 从而

(2)

(3)

球面的标准度量h是一个Einstein度量， 任何与h共形且具有常数量曲率的度量也是Einstein度量． 由于这个度量的Weyl曲率是0， 因此它具有常截面曲率． 所以这个度量与标准度量是等距的． 我们利用标准球面Sn上的球极投影， 以及Rn上的伸缩、 平移、 旋转变换， 构造出球面Sn上的共形变换， 从而得到以下结果：

(4)

该方程在λ=n(n-1)时具有标准解

(5)

其中β>1，x0是球面上的一点[14]．

2 主要定理及其证明

图1 球冠及其边界上的球极投影

(6)

(7)

(8)

则

计算得到

(9)

由于g=φ*h， 所以

引理1得证．

(10)

这个方程在h是球面标准度量的情况下是有标准解的． 由引理1可知， 在给出h的共形度量下， 球冠边界也诱导出相应的共形度量

所以在边界(∂M，g)上， Yamabe方程为

(11)

定理1对于球冠M(n=dimM≥4)， 带边界条件的Yamabe方程

(12)

证由球冠边界的度量， 我们很容易得到球冠边界(∂M，g)(n=dimM≥4)的数量曲率Sg． 由(1)式与引理1可知

令

从而可得

(13)

由(3)式得到球冠边界的数量曲率

(14)

我们知道， 标准球面Sn上的Yamabe方程具有标准解

其中β>1，x0是与球面上北极点相关的点，x是球面上任意一点． 那么这个解同样适用于球冠(Mn，h)上， 即满足

其中λ=n(n-1)．

当这个共形变换只由伸缩、 旋转生成时， 易知x0为北极点N或南极点S， 此时φ0是旋转对称的． 当限制在球冠边界∂M上时，φ0为常数， 记为Λ， 从而

(15)

由(14)式可知

即在球冠边界∂M上， 满足

其中

我们将流形内部的几何性质与边界的几何性质相联系， 提出了球冠上的Yamabe方程的一类边界条件， 利用球面Yamabe方程的解， 构造出球冠上相应边值问题的解． 这样的结果能否推广到一般的带边界流形以及如何推广， 还有待进一步研究．