数学拓展性课程中学生思维层级提升的教学目标设计与课堂教学实施

任静尔

摘    要：数学拓展性课程是数学基础性课程的延伸，在培养和发展学生思维能力中起到重要作用.教师在拓展性课程的教学中可参照SOLO分类层次，根据多元结构水平、关联结构水平、抽象拓展水平的相关层次要求设计教学目标，以问题驱动学生积极、有效地参与课堂.教师应在实验操作、观察归纳、数学说理、迁移应用等环节精心设计教学，体现教学的趣味性、实践性、层次性，并给予学生充分的动手操作空间，引导学生的思维水平逐层进阶.

关键词：数学拓展性课程;思维层级;教学目标;教学实施;等腰三角形分割

数学拓展性课程作为数学基础性课程的延伸，在培养和发展学生思维能力中起到重要作用.三角形是初中数学几何中的重要组成部分，也是第一个系统研究的几何图形，而等腰三角形是特殊的三角形，研究特例是数学研究中常用的方法，因此，笔者以《等腰三角形分割》的教学为例，谈谈数学拓展性课程中学生思维层级提升的教学目标设计与课堂教学实施.

一、《等腰三角形分割》教学现状分析

《等腰三角形分割》是浙教版义务教育教科书《数学》八年级上册第二章的内容，指向学生学习了等腰三角形性质、判定之后的探究性活动，可为学生后续学习四边形、特殊四边形的性质打下基础.

具体教学中，有的教师引导学生直接从抽象的三角形出发，将其分成直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三种情况，再从三个内角进行分割.这样一共要讨论9种情况，学生的思维确实得到了锻炼，并且能帮助学生学会如何进行分类讨论，但是思维难度比较大，需要教师手把手引导，且课堂中的生成性资源比较少.有的教师从一个给定内角的三角形出发，让学生自己动手分割，再结合阅读材料总结，得到分割任意三角形的方法.学生通过观察、尝试、阅读、梳理、分享，使思考变得具象化.这虽然渗透了从特殊到一般的数学思想，但是给予学生的数学活动空间不够丰富，学生在得到结论前的活动经验比较少.有的教师从一个比较特殊的等腰三角形（72°，72°，36°）出发，让学生交流合作，再通过类比解决问题.这虽然提升了学生的思维水平，渗透了类比的数学思想，但是给的三角形太特殊，学生要由此联想到任意的三角形分割是相当困难的.

基于以上分析，笔者认为该课在设计中可参照SOLO分类层次，体现趣味性、实践性、层次性等特点，给予学生充分的动手操作空间，引导学生的思维水平从单一结構水平走向多元结构水平，再经历观察分析、归纳猜想，提升到关联结构水平，进而通过数学说理、迁移应用等教学环节，达到抽象拓展水平.

二、《等腰三角形分割》教学目标层级分析及设计

SOLO分类层次反映的是学生学习由量变积累到质变的过程.多元结构水平重点在于学生对知识点的掌握，而后两个结构水平则主要考查学生思维能力和针对不同学习任务分析解决问题的能力[1].因此，笔者设计了如下的目标层次.

（一）多元结构水平

【目标】理解等腰三角形的定义和判定，会对具体角度的三角形进行分割.

【设计】4人小组动手操作，按要求将道具包里的10个标有具体内角度数的三角形进行分割，最先分割好的小组到讲台上展示.

【设计意图】课堂的艺术不在于“静”，而在于“动”.教师要给予学生更多的活动体验，引导他们在动手操作中回顾等腰三角形的定义和性质，使其思维从单一结构水平发展到多元结构水平.学生通过小组合作，将10个不同的三角形进行分割，并体会到同伴之间互相帮助、互相交流的快乐.

（二）关联结构水平

【目标】经历实验操作、观察分析、归纳猜想等活动过程，掌握从特殊到一般的数学研究方法，体会分类讨论的思想.

达成标志：（1）能将分割好的三角形按照内角度数进行分类;（2）能表述一个三角形分割成两个等腰三角形时内角需要满足的条件.

【设计】问题链驱动

问题1：关注黑板上展示的分割出的三角形，你能否再从角度关系上对它们进行分类？

问题2：如何将一个含有直角、2倍角、3倍角的三角形分割成两个等腰三角形？

问题3：这三种情况下三角形是否一定能分？应该怎么分？

问题4：是否满足这三种情况就能被分？

追问1：30°，50°，100°满足上述三种情况吗？能分吗？

追问2：反过来，是否只有这三种情况？

追问3：对于任意一个三角形，要将它分割成2个等腰三角形，应满足什么条件？我们可以如何探究？

【设计意图】思维是由“一些困惑、混淆或怀疑”引发的，问题的本质决定了思考的结果，思考的结果控制着思维的过程.追问1通过反例“30°，50°，100°”引导学生得出2倍角分割时角度需要满足的条件.追问2能促进学生进行超出能力范围的推理和思考.追问3允许学生使用广泛的解决方法和策略.三次追问，满足了开放式问题的要求，层层递进，突破孤立的问题呈现带给学生的思维禁锢，引导学生关联等腰三角形的相关知识，将问题转化，再通过师生的不断对话，将学生对问题的认识和理解推向新高度.

（三）抽象拓展结构水平

【目标】证明任意三角形分割成两个等腰三角形需要满足的条件，并将结论迁移应用，体会数学建模的思想.

达成标志：（1）能根据分析画出示意图，并进行几何证明;（2）能将结论应用到新的问题情境中解决问题.

【设计1】数学说理

画一个△ABC，从顶点A出发沿着AD将三角形分割成两个等腰三角形，在△ABD中，使得AD=BD，在△ADC中，则有三种情况，分别是DA=DC，AD=AC，CA=CD.

教师利用分析导图帮助学生理清思路，第一种情况由教师板书，后两种情况由学生自主完成.

【设计意图】帮助学生发展逻辑思维，引导学生通过翻译数学语言，分析已知条件，分类讨论推进问题求解的探索.对这一问题情境，笔者引导学生将其数学化，这是第一次运用抽象逻辑的过程;在此基础上，进一步带领学生推理论证，进行严格的证明，这是第二次运用抽象逻辑的过程，由此帮助学生实现抽象拓展结构水平的提升.

【设计2】迁移应用

在△ABC中，AB=AC，若过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，求△ABC各内角的度数.

【设计意图】推理论证得到可以分割成两个等腰三角形的条件后，适时设计变式，引导学生捕捉题干信息，应用所学的结论，通过分类等手段解决问题，实现知识技能的迁移，同时渗透数学建模思想.

三、《等腰三角形分割》课堂教学实施

根据以上目标层级的分析，渗透疑为主轴、动为主线，学生为主体、教师为主导的理念，笔者在课堂中实施了以下教学环节.

（一）动手操作

将道具包里的10个三角形（20°，70°，90°;25°，65°，90°;40°，50°，90°;35°，70°，75°;40°，80°，60°; 30°，50°，100°;20°，60°，100°;25°，75°，80°;35°， 40°，105°;30°，40°，110°）从顶点处切一刀分割成两个等腰三角形，最先分割好的小组在讲台上将相应的三角形进行展示.

【评析】传统的数学课堂中较少以数学活动展开，因此数学游戏可以弥补基础性课程的欠缺，作为拓展性课程的一个实施策略[2].道具包的使用将抽象的问题变成了具体可操作的游戏活动，能激发学生的兴趣，提高其课堂参与度.

（二）问题链驱动

先引导学生观察黑板上展示的分割出的三角形，从角度关系上对它们进行分类，即直角、2倍角和3倍角，并画出示意图.再通过问题链驱动，以层层递进的追问引导学生关联等腰三角形的相关知识，发现原三角形需要满足的条件.

【评析】问题驱动要以教学目标为出发点，以情境创设为切入点，以最近发展区为着力点，以提高问题开放性为支撑点，以提升探究能力为落脚点，并通过追问、反问引发学生的思考.在之前活动的基础上，笔者引导学生自主画图并证明.课堂中的学习过程，实际就是师生对话的过程.教师适当地提出质疑、反问，明确地呈现学习要求，可引导学生更加深入地加工和处理学习材料，而师生的不断对话，则将学生对问题的认识和理解推向新高度.

（三）数学说理

笔者将“设计1”中的问题图形化，引导学生分类讨论，利用分析导图（如图1），推进问题的求解.

综上所述，满足三种情况时可以一刀将三角形分割成两个等腰三角形：有一个是直角（分直角）;有一个角是另一个角的2倍（较小角小于45°，分第三个角）;有一个角是另一个角的3倍（分3倍角）.

【评析】例题讲解时，笔者基于问题情境，利用分析导图，引导学生进行逻辑推理。在2倍角限定条件的讨论中，除了可以依据之前的特殊情况外，还可以利用图形中分割出三角形的内角和关系来说理，这渗透了思维品质严谨性和广阔性的培养.在经历数学“再发现”的过程中，学生形成实事求是的态度，学会用数学的思维思考现实世界.

（四）迁移应用

针对“设计2”中的问题，学生将结论进行迁移应用，分成三种情况，分别是分直角、分2倍角、分3倍角.直角的情况就是45°，45°，90°;分2倍角，可以把三个角设为x，2x，2x和x，x，2x，算出来第一种情况为36°，72°，72°，第二种情况为较小角等于45°，舍去;分3倍角，可以把三个角设为x，3x，3x和x，x，3x，算出来分别是[（1807）°]，[（5407）°]，[（5407）°]和36°，36°，108°.

【评析】笔者融入辩证逻辑理念，对问题进行了改编，引导学生用发展、变化的眼光对知识、题目进行定性把握，这有利于学生形成模型观念，发展应用意识，逐步学会用数学的语言表达世界.

四、对《等腰三角形分割》教学目标设计和课堂教学实施的反思

整个课堂，学生由于受到未知领域的不断挑战，思维一直处于活跃状态，并从最初对这一抽象问题无从着手，进阶到通过实验操作能逐渐明了，再经数学说理后豁然开朗，最后达到举一反三、融会贯通.笔者根据目标层级设计和课堂实施的情况，作了如下反思.

（一）多元结构水平

课堂中教师的角色是引导、观察、提问、组织、评价，学生则是讨论、发现、思考、探究、积极参与.课前笔者设计了两个问题：“什么是等腰三角形？我们是如何判定等腰三角形的？”这有效地帮助了学生回忆起等腰三角形的相关知识，因此在动手操作环节，每个学生都或多或少能分割出一些三角形.通过组内的交流互助，每个小组基本上都能分出6～7个三角形，有3个小组把能分割成两个等腰三角形的图形全部找到.学生基本达成思维从单一结构水平到多元结构水平的过渡.

（二）关联结构水平

在问题驱动环节，笔者引导学生通过观察黑板上已经分割好的三角形，将这些三角形进行分类，在层层递进、螺旋式上升的问题链驱动下，学生发现要分割成两个等腰三角形，原三角形需要满足的条件.所有小组都能将分割好的三角形正确分类，将近五分之四的学生能够逐渐理清思路，能表述一个三角形分割成两个等腰三角形，其内角需要满足的条件.在笔者为学生构建的活动情境中，学生充分利用已知的数学知识和活动经验来解决新的问题，达到关联结构水平.

（三）抽象拓展结构水平

数学说理这一环节蕴含了数学建模的思想，对于八年级的学生来说是有一定难度的，因此要引导学生将文字语言转化成数学语言，让学生理清在固定△ABD中AD=BD這一条件的情况下，只需变换△ADC中三边的等量关系，进行分类讨论，将问题转化成三种情况进行证明.当然这一环节的设计也存在一定的争议，有的教师提出，其实学生会更倾向于将三角形先分类，如分成锐角三角形、钝角三角形、直角三角形三类，再进行分割.在磨课和试讲的过程中，笔者尝试过一次先分类再进行说理论证的教学，结果发现只有大约10%的学生可以跟上节奏并达成教学目标，因此，后来就没再按照这个思路进行备课，但这其实是一种可以尝试的课堂展现形式.最后一个迁移应用环节的设计，学生将生成的一般性结论应用到新的情境中，拓展了问题本身的意义，提升了抽象拓展结构水平.

总之，一堂有深度的数学课，教师应精心设计实验操作、观察归纳、数学说理、迁移应用等环节，引导学生对知识的认识逐渐从模糊走向清晰，从片面走向全面，从肤浅走向深刻，从而逐步实现思维从单一结构水平向抽象拓展水平的提升.

参考文献：

[1]姚琳.基于SOLO分类理论进行差异教学的实践研究[D].杭州：杭州师范大学，2016：6.

[2]叶立军，邓晓彤.初中数学拓展性课程开发的路径及案例研究[J].天津师范大学学报（基础教育版），2020（1）：52-55.