例说几道同构试题

苏艺伟

(福建省龙海第一中学新校区 363100)

近年来,不少省市高考模拟试卷或者高考试题出现借助同构解决问题的试题.比如2020年全国Ⅰ卷理科第12题,2020年全国Ⅲ卷理科第11题,2020年山东高考理科第21题等.此类试题短小精悍,思维量大,综合性强,含金量高,成为热点.所谓同构,即将题目所给方程、不等式、代数式等变形成为具有相同结构的形式,然后抽象出一个函数,借助该函数的单调性解决问题.其关键在于观察式子的结构特征,进行恰当转化,从而发现式子结构中隐含的共性,内在联系.

例1(2021年福建高三四月诊断性练习)已知实数a,b满足a=e5-a,2+lnb=e3-lnb,则ab=____.

分析本题以方程为载体考查指数式、对数式的运算,以及能否借助同构的思想解决问题.试题体现高考评价体系提出的综合性和创新性要求,突出对数学运算素养、逻辑推理素养的考查.

解析由2+lnb=e3-lnb，得2+lnb=e5-(2+lnb).

由于a-e5-a=0,2+lnb-e5-(2+lnb)=0,

故令f(t)=t-e5-t,则f(a)=f(2+lnb).

又f′(t)=1+e5-t>0,

所以f(t)在R上单调递增.

故a=2+lnb.

则ab=(2+lnb)b=e3-lnbb=e3-lnbelnb=e3.

评注解题的关键在于得到两个形式一样的方程,第一个是a-e5-a=0,第二个是2+lnb-e5-(2+lnb)=0,从而联想到构造函数f(t)=t-e5-t,结合单调性求解.

变式1 已知实数α,β满足αeα=e3,β(lnβ-1)=e4,则αβ=____.

由αeα=e3,得eαlneα=e3.

则αβ=α·e·eα=αeα·e=e4.

变式2已知实数a,b满足a=e7-a,3+lnb=e4-lnb,求ab=____.

解析由3+lnb=e4-lnb,得3+lnb=e7-(3+lnb).

令f(x)=x-e7-x,

由f′(x)>0得f(x)在R上单调递增.

又f(0)<0,f(6)>0,所以f(x)只有一个零点.

由f(a)=f(3+lnb),得a=3+lnb.

所以b=ea-3.

故ab=e7-aea-3=e4.

解析由已知可得aex+lna-ln(x+2)-2>0,

elna+x+lna>ln(x+2)+2.

即elna+x+x+lna>ln(x+2)+x+2.

故elna+x+x+lna>eln(x+2)+ln(x+2).

构造函数g(t)=et+t,则

g(x+lna)>g[ln(x+2)].

又g(t)在R上单调递增,

所以x+lna>ln(x+2).

即lna>ln(x+2)-x.

令h(x)=ln(x+2)-x,易求得h(x)的最大值为h(-1)=1,所以lna>1,即a>e.

评注将题目所给不等式变形成为elna+x+x+lna>eln(x+2)+ln(x+2),进而构造出函数g(t)=et+t,借助单调性求解.

例3(东北师范大学附属中学2020届高三模拟考试)已知实数x,y满足ln(4x+3y-6)-ex+y-2≥3x+2y-6,求x+y的值.

解析设m=4x+3y-6,n=x+y-2,

则m-n=3x+2y-4.

故lnm-en>m-n-2.

即lnm-m+lnen-en≥-2.

则f(t)在(0,1)单调递增，在(1，+∞)单调递减，所以f(t)max=f(1)=-1.

故f(t)≤-1.

所以f(m)≤-1,f(en)≤-1.

则f(m)+f(en)≤-2.

又f(m)+f(en)≥-2,故只能是

f(m)+f(en)=-2,

此时f(m)=-1,f(en)=-1.

则m=1,en=1,n=0.

则4x+3y-6=1,x+y-2=0.

解得x=1,y=1.所以x+y=2.

评注将题目所给不等式变形成lnm-m+lnen-en≥-2,进而构造出函数f(t)=lnt-t,借助单调性求解.

例4(武汉市2019届高三模拟考试)已知函数f(x)=ex-aln[a(x-1)]+a,a>1.关于x的不等式f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是____.

ex-lna+(x-lna)>ln(x-1)+eln(x-1).

令f(t)=et+t,则f(t)在R单调递增.

由f(x-lna)>f[ln(x-1)]，得

x-lna>ln(x-1).

故x-ln(x-1)>lna.

记g(x)=x-ln(x-1),x>1，

故g(x)在(1,2)单调递减，在(2，+∞)单调递增，所以g(x)min=g(2)=2.

故lna<2,解得0

评注将题目所给不等式变形成ex-lna+(x-lna)>ln(x-1)+eln(x-1),进而构造出函数f(t)=et+t,借助单调性求解.

A.sinx1

C.sinx1+cosx1>sinx2+cosx2

D.sinx1+sinx2>cosx1+cosx2

解析由已知,有

则sinx1=sin(x1+x2)，所以A错误.

则sinx1+cosx1

同理sinx2>cosx1.

所以sinx1+sinx2>cosx1+cosx2.

综上,故选D.

例6(2017清华自招试题)已知实数a,b满足a2+a=3b2+2b(a>0,b>0),则( ).

A.a>bB.ab

解析由a2+a=3b2+2b,得a2+a<4b2+2b.

令f(x)=x2+x,x>0,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(a)

同理,由a2+a=3b2+2b,得a2+a>b2+b.

令f(x)=x2+x,x>0,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(a)>f(b)，所以a>b.

评注将题目所给式子变形成a2+a<4b2+2b或者a2+a>b2+b，进而构造出函数f(x)=x2+x,x>0,借助单调性求解.

通过上述例题不难发现,利用同构思想解决问题,求解的关键在于将不等式或者方程进行不断变形和转化,直到不等式或者方程两边出现相同的结构式子,最后构造函数,利用函数的单调性解决问题.在实际解题中必须认真观察式子的结构特征,善于联想和转化,充分挖掘题目结构式隐含的共性特征.