利用“对称性”巧解碰撞问题

李维富

(云南省昭通市第一中学 657000)

碰撞问题是有关动量守恒定律的经典问题.在求解碰撞后的速度时，如果是完全非弹性碰撞，很好计算，但如果是弹性碰撞，涉及到二元二次方程组的求解，计算难度大.当然，这个方程组的解有特定的公式，可以直接代公式计算，但是公式不好记.通过分析，可以看出弹性碰撞中有个“等差数列”的思想，弹性碰撞是关于共速时刻“对称”的，利用这种“对称性”便很容易进行求解，对这种“对称性”进行拓展运用，还可以快速分析一些其他碰撞类问题.

1 问题的引出

例1如图1所示，在光滑水平地面上，质量分别为m1=3kg、m2=1kg的A、B两小球分别以速度v1=10m/s、v2=2m/s开始同向运动，发生弹性碰撞(本文所说的碰撞都默认为正碰)，求碰后的速度v1′和v2′.

图1

在弹性碰撞过程中，遵循动量守恒和机械能守恒，所以有：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

①

②

联立上面两式求解方程组可以得到：

③

④

将数据带入上面③、④两式可以算得v1′=6m/s,v2′=14m/s.

解决上述例题需要学生求解二元二次方程组，比较困难，所以经常要求学生记住③、④两式，然而在教学过程中发现，很多学生记不住，记住了也很容易忘记.能不能找到一种既不需要记公式又能快速地求解的方法呢？答案是可以的.

2 对于弹性碰撞问题的巧妙解答

在图1的碰撞情景中，根据碰撞条件可知，两小球碰撞之前有v1>v2，碰撞之后有v1′

m1v1+m2v2=(m1+m2)v共

⑤

由⑤式可以算得v共=8m/s,再由v1、v共、v1′构成等差数列可算得v1′=6m/s,同理可算得v2′=14m/s.

⑤式相比③、④两式要好记得多，也可以不用记忆，直接根据动量守恒定律快速求解出v共，然后再利用等差数列的思想便可快速的求解碰后速度v1′和v2′.

3 关于“等差数列”的思考

对于“等差数列”的思想，还可以换个角度来证明.在图1的碰撞情景中，根据弹性碰撞的特点，我们得到了①、②两式.

①式变形可以得到：

m1(v1-v1′)=m2(v2′-v2)

⑥

②式变形可以得到：

⑦

用⑦÷⑥得到v1+v1′=v2+v2′,或改写成v1-v2=v2′-v1′

⑧

⑧式中v1-v2代表碰前A、B两小球“接近”的相对速度，v2′-v1′代表碰后两小球“分离”的相对速度，两者相等.

在图1的碰撞过程中，因为小球A、B之间的相互作用，A会减速(也可能是减为0后反向加速)，B会加速，可将两球碰撞过程的速度-时间(v-t)图像画出，如图2所示(考虑到两小球并不是做匀变速直线运动，故将之画为虚线).

图2

碰撞过程在0～t2这段时间完成.在这段时间内小球A的速度从v1(C点)减为v1′(G点),小球B的速度从v2(D点)增为v2′(F点)，在碰撞过程中的t1时刻两小球共速(E点).CD段长度代表两小球碰前的相对速度v1-v2，FG段长度代表两小球碰后的相对速度v2′-v1′，前面已经证明两者相等，由此很容易看出△CDE≅△GFE.因为△CDE≅△GFE，故C、G两点关于E点对称，所以v1、v共、v1′构成等差数列；同理，v2、v共、v2′也构成等差数列.

从图2中还可以看出，两小球碰撞过程中共速的时刻t1刚好是整个弹性碰撞全程0～t2时间的中间时刻，弹性碰撞碰前和碰后的速度是关于共速时刻对称的.

4 关于“对称性”的拓展应用

借助上面的图2，可以换个角度认识碰撞类问题.从图2可以看出，碰撞不会在t1时刻之前结束，因为在那之前A球速度大于B球速度，与碰撞情景相悖，碰撞可能结束的时刻t应满足：t1≤t≤t2.

若碰撞在t1时刻就结束，那就是完全非弹性碰撞，碰后两小球共速，相对速度为0；

若碰撞在t2时刻结束，那就是弹性碰撞，碰后两小球的相对速度等于碰前的相对速度；

若碰撞在t1～t2之间的某个时刻结束，则是一般的非弹性碰撞，这时A球速度还未减到v1′，B球速度还未增到v2′，两小球的相对速度小于v2′-v1′，也就小于碰前的相对速度.

综上分析可知，无论什么碰撞，碰后的相对速度不会大于碰前的相对速度.

根据这一思路，可以快速地分析一些其他碰撞类问题.

例2如图3所示，在光滑的水平地面上质量为m的物体A以速度v0与静止的质量为2m的物体B发生碰撞，则碰撞后物体A的速度大小可能是( ).

图3

图4

例3如图5所示，质量相等的A、B两个球，初始时在光滑水平面上沿同一直线相向做匀速直线运动，A球的速度为6m/s，B球的速度为-2m/s，不久A、B两球发生碰撞，对于碰后A、B速度的可能值，一定无法实现的是( ).

图5

A.vA′=-2m/s,vB′=6m/s

B.vA′=2m/s,vB′=2m/s

C.vA′=1m/s,vB′=3m/s

D.vA′=-3m/s,vB′=7m/s

解析因为碰后的相对速度不会大于碰前的相对速度，所以选D.