连接体速度关系求解的几种方法

孙志峰

(福建省惠安第一中学 362100)

几个直接接触或借助其他媒介(如轻绳、细杆等)发生相互作用的物体，在运动过程中常常具有不同的速度，但它们的速度却是有联系的，即关联速度，这一直是教学中难以突破的障碍，是学生学习的难点和易错点.本文就此类问题通过一些实例分析，来谈谈此类问题的三种典型解决方法和技巧.

1 轻绳(或轻杆)连接的物体速度关系

例1如图1所示，一根轻杆两端分别固定小球A、B，当其靠在墙上滑下，求小球A的速度vA和小球B的速度vB之间的关系.

图1

方法一微元法

设AB过了一段很短的时间Δt以后到了A′B′位置，过A′、B′分别作A′A″⊥AB、B′B″⊥AB，可以形成两个微元三角形ΔAA′A″和ΔBB′B″，如图2所示.在两个三角形中有：AA″=AA′sinθ

图2

BB″=BB′cosθ

因为AA″的物理意义是杆上端缩短的长度，BB″的物理意义是杆下端伸长的长度，而杆的长度不变，所以AA″=BB″，即有：

AA′sinθ=BB′cosθ

由以上三式可得：vAsinθ=vBcosθ.

方法二速度分解

由于杆的长度不变则沿杆方向的分速度相同，将两小球的合运动即实际运动沿杆方向和沿垂直杆方向分解，如图3.

图3

即有vAsinθ=v沿杆=vBcosθ，

即vAsinθ=vBcosθ.

方法三功率法

如图4，由于轻杆没有质量，根据能量守恒，杆的推力对小球A和B做的功等大.

图4

推力对A的做功功率：P1=FvAsinθ，

推力对B的做功功率：P2=FvBcosθ，

由能量守恒有：P1=P2.

由以上三式可得：vAsinθ=vBcosθ

例2如图5所示，在水平地面上用两根不可伸长的绳子AM和BM共同拉动一个物体.某时刻，绳端A点和B点移动的速度分别为vA和vB，vA沿MA方向且与地面平行，vB沿MB方向且与地面平行，∠AMB=α.求此时物体的移动速度.

图5

方法一微元法(略)

方法二速度分解(略)

方法三功率法

如图6，由于轻绳没有质量，根据能量守恒，MA绳的拉力对A和对物体M做的功等大，MB绳拉力对B和对物体M做的功等大，即

图6

FAvA=FAvMcosβ，FBvB=FBvMcos(α-β)，

故vA=vMcosβ，vB=vMcos(α-β).

例3如图7所示，一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V匀速运动.在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示.当杆与半圆柱体的接触点P(P为圆柱体的一点)与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆运动的速度为( ).

图7

方法一微元法

设半圆柱体圆心O过了一段很短的时间Δt以后到了O′位置，此时杆与圆柱体的接触点P移到P′位置，过P作OO′的平行线交圆柱体于Q点，连接P′Q，如图8所示.

图8

其中四边形OO′QP为平行四边形，所以OO′=QP；

ΔPQP′为直角三角形，当Δt→0时，P′Q可近似看成Q点的切线，故∠PQP′=θ，则

PP′=OO′tanθ.

OO′为半圆柱体移动的距离，PP′为杆移动的距离，即有：

由以上三式可得：v′=vtanθ.

方法二速度分解

图9

v⊥=vsinθ，

得v′=vtanθ

方法三功率法

由于杆和半圆柱体之间的相互作用力N、N′等大反向且沿与P点切线垂直即沿半圆柱体半径方向，因为杆相对半圆柱体沿切线运动，所以杆和半圆柱体沿半径方向速度相同，则杆和圆柱体间相互间弹力的功率等大，如图10所示，即

图10

Nvsinθ=N′v′cosθ得v′=vtanθ

三种方法中，微元法是通用方法，但学生不易掌握；在用速度分解的方法时，首先要明确物体的实际运动，再来一定要注意两个分速度必须有明确的物理意义.而且绳(杆)连带运动问题和相互接触物体的速度分解学生也容易混淆；功率法在轻绳(轻杆)连带问题中绳(杆)质量不计，绳(杆)对两头连接的物体做功等大，在相互接触物体中，相互间弹力等大，垂直接触面位移相同，所以相互间弹力做功等大，因此在两种情况中均适用.综上所述，在理解了能量守恒关系和功率基本定义式基础上，功率法比较简便，学生不易出错.