化简为繁 提升思维

刘玉启

(安徽省太和中学 236600)

化繁为简往往是广大物理教师和学生追求的目标，在做题时往往都想找到做题的捷径，很多老师也善于给学生总结一些短平快的解题方法，但在平时的教学中过度的追求短平快的方法，而忽略对学生思维能力的提升，犹如舍本逐末，缘木求鱼，一旦题目条件发生变化，学生将会无以应对.我感觉在平时的教学中，我们还是应该加强对学生思维能力的训练，只有学生思维能力得到提高，他们才能以不变应万变，在考试中发挥出自己正常的水平，所以在平时的教学中我们应该把简单的题目复杂化，复杂的题目简单化，反复锤炼，只有这样他们的物理思维能力才能得到提升.下面就通过三个例子来说明这个问题，以期达到抛砖引玉的作用.

例题1如图1所示，放在光滑水平面上的长木板A的左端放着小铁块B(可视为质点).它们一直以v0=2 m/s的速度向右运动，A、B的质量分别为mA=1 kg，mB=2 kg.A与竖直墙壁碰撞后立即以相同的速度反方向弹回，若A板足够长，在整个运动过程中B没有与墙相碰也没落到地面，A、B间动摩擦因数μ=0.5(g=10 m/s2).求：

图1

(1)A与墙第一次碰撞后A离墙最大距离时铁块B的速度大小.

(2)在整个运动过程中，B相对A所能滑动的最大距离.

点评本题以“板块模型”情景设置问题，考查了能量守恒定律、动量守恒定律等基本规律.第(1)问根据动量守恒，很容易算出A离墙距离最大时铁块B的速度，第(2)问用能量守恒很容易算出最终B相对于A滑动的总距离，这个方法可以说是解决这类问题最简洁的方法，但是我们能不能化简为繁，采用另外一种方法呢？

解析(2)当A的速度为零时，B的速度向右，故在摩擦力的作用下，B继续减速，A向右加速，直到两球速度相等时(设为v1)，B在A上相对运动的距离设为s1

根据能量守恒：

当A第二次与墙碰撞后，速度为-v1，方向向左，而B的速度仍为v1，经过类似过程，A、B达到共同速度v2，这时B在A上又移动距离s2，

根据动量守恒定律和根据能量守恒：

当A第三次与墙碰撞后，用同样的方法可求得：

可见每碰一次，B在A上相对运动的距离为前一次的1/9，它们构成一个等比数列，利用等比数列求和公式可知碰无数次以后，B在A上相对运动的距离s为：

点评本题第(2)问，我们采用了逐次碰撞，逐次进行过程分析，然后根据能量守恒和动量守恒进行逐次计算，最终发现每次B相对于A滑动的距离构成等比数列，然后利用求和公式进行求解，最终得出结果.这种方法虽然繁琐，但是锻炼了学生的过程分析能力，计算能力，学生的思维将会得到较大的提升.

例题2三只小蜗牛所在的位置形成一个等边三角形，三角形的边长为60 cm.第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度都是5 cm/min.在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标.经过多长时间蜗牛们会相遇？

解析如图2可知，三只蜗牛在运动过程中，始终保持等边三角形的形状.同时，这个等边三角形一边在旋转一边在缩小，当缩小至一个点(中心O)时三只蜗牛相遇.在运动的过程中，每只蜗牛向着中心O的速度分量保持不变，大小总是v1=v·cos30°，因此到达O点的时间为：

图2

点评本题思维巧妙，在三只蜗牛相对运动的过程中，始终构成一个等边三角形，蜗牛的速度在沿着中心点O的分速度始终大小不变，即为v1=v·cos30°，当三只蜗牛相遇时一定相遇在O点，所以用开始顶点到中心O点的距离除以这个方向的分速度即可很快的求出三只蜗牛相遇的时间，可以说是很多老师和同学们普遍采用的方法，那么我们能不能用其他的方法来解决这个问题呢？

解析如图3所示，A0，B0，C0代表三只蜗牛的初始位置.经过很短的时间，三只蜗牛分别运动到了A1，B1，C1，因为时间很短所以A1在蜗牛A的运动方向上，即A1在直线A0B0上.同理B1、C1也分别在B0C0、C0A0上.三只蜗牛的运动速度相等，所以A0A1=B0B1=C0C1，这样三角形A1B1C1也是一个等边三角形.

图3

再经过一个很短的时间，三只蜗牛运动到了A2，B2，C2

再经过一个很短的时间，三只蜗牛运动到了A3，B3，C3

……

也就是说三只蜗牛在运动过程中，始终保持等边三角形的形状.同时，这个等边三角形一边在旋转一边在缩小，当缩小至一个点(中心O)时三只蜗牛相遇.

现在看看三角形边长是如何随时间变化的.

考察三角形的面积，可知：

S(△A0B0C0)=S(△A1B1C1)+3S(△A1B0B1)

变形可得：

S(△A1B1C1)-S(△A0B0C0)

=-3S(△A1B0B1)

边长为a的等边三角形，其面积为

△A0B0C0与△A1B1C1的边长分别为a、a+da，带入上式略去高阶小量可得

S(△A1B1C1)-S(△A0B0C0)=asin60°dα

△A1B0B1的面积计算公式得：

代入前面的式子可得：

化简整理可得：

根据上式可知三角形边长随时间变化的函数为：

这个公式是在△A0B0C0附近推导得出的，但是同样适用于△AnBnCn.因此在三只蜗牛的运动过程中，这个公式是一直都成立的.

令a=0可得：

点评本题第二种解法对学生的能力要求较高，不仅需要较强的计算能力，还需要一定的微元分析能力，还要求学生掌握微积分的知识，所以能充分锻炼学生的解题能力、过程分析能力，对学生的思维起到很好的提升作用，通过上面的三个例子，我们可有看出有时看似简单的题目，从另外一个角度分析将会变为一个很有难度的问题，我们常常习惯于寻找简单的方法，做题时常常愿意走捷径，但在平时的教学中如果每一道题目都想着用这种简单的方法，反而不利于学生思维能力的提升，有时我们把简单的题目，用另外一个角度去思考，反而变的非常有意思，这样不仅锻炼他们的解题能力，还能锻炼他们的过程分析，计算能力等，适合在教学中对学生的思维进行拔高.