裂项相消法在数列求和证明不等式中的应用

刘 超

(江苏省昆山市第一中学 215399)

数列求和的本质是将多项式的和式化简.在处理与数列相关的不等式问题时，更多地表现为数列求和的“不等式”形式，需要用到各种放缩技巧，放缩时一般是将不规则、无法直接求和的数列通过适当放缩变成可以求和的数列，从而达到证明或求解目的.较为常见的放缩方法为“类等差”“类等比”“裂项同构”等，本文主要呈现裂项相消法在数列求和证明不等式中的应用.

1 注重学生思维深刻性的培养

引例(回顾求和方法引出裂项相消法)

设计意图通过该数列求和过程回顾数列求和的常用方法，引出裂项相消法在求和时的应用：(1)构造相邻“同构”“差”形式；(2)列举找规律，反复相加化简求和.

这种错误在学生解决问题时很常见：思考不深入，功利浮躁，只想着得分，不想真正去解决问题.仅是相邻还不够，还需化成“同构式”，而且数列中列举找规律是一种常见的方法，便于发现核心规律.

设计意图通过问题的发现与解决，体会裂项求和的方法，感受对数列通项放缩的必要性.

设计意图发现问题，提出数列通项放缩精度的必要性.掌握调节精度的方法，比如可从第3,4…项开始，也可以从放缩的源头进行调节等.

设计意图法2较法1放缩得更加精准，对比二者可以发现显然n2-1比n2-n更加靠近n2，从而提高了放缩的精度，我们给出一般的放缩方法.

设计意图学生不会应用函数背景下不等式恒成立模型，可以通过变形赋值构造，完成放缩找到隐数列，从而达到转化可求可证的目的.

设计意图培养学生类比意识，通过联想，尝试无理式放缩构造成相邻项同构差形式.在变形构造的过程中注意方向性、灵活性、理解系数变化对构造形式的影响等.

2 突出对学生思维灵活性的培养

在讲解完例1及其变式后，学生的思路基本上是从已知条件入手，一步步想着如何变化形式朝着目标去解决问题，有时寻找这种方法是困难的，构造方向很难想到，这会让学生感到望而却步.例2的设置让学生从结论出发，不断分析找到解决问题的途径，给问题的解决又增添了一个思考路径，让学生的思维不再固化，而是变得灵活多样起来.

设计意图拓宽解题思路，与例1相呼应，体会解决问题时的目标意识.构造变形除了从条件出发，也可从结论出发，逐步分析，类比猜想，逆求通项.

3 让学生经历完整的学习过程

学习一个知识，掌握一项技能，需要经历一个完整的学习过程，学生对这个知识或者技能才能掌握比较牢固.完整的学习过程主要包括：数学对象的获得过程，数学对象的研究过程，应用数学知识解决问题的过程.本文的数学对象是裂项法、放缩法.引例中详细介绍了这个知识的获得过程，在例1及其变式中对这个数学对象进行了研究，整节课都在用它来解决问题，所以我们说本课经历了一个完整的学习过程.正是因为这样才能让学生觉得学有所得，收获感强.

运用理性思维吸引学生，引领课堂是每位老师追求的课堂效果.每堂课要树立学生敢于质疑、善于思考，严谨求实的科学精神.既培养了学生的能力又提升了素养，在加深数学交流的同时增进师生友情，既学习了知识又提炼掌握了方法.