近年来高考数学试题中概率与统计试题探析

黄钟慧 廖小莲

(湖南人文科技学院数学与金融学院 417000)

在概率与统计客观题和主观题的解题中，我们通常要弄清楚所给题目所涉及到的概率类型是否与抽样方法、互斥事件、独立事件、古典概型、几何概型等有关，针对不同的类型问题都有不同的解决方法，从而使未知变已知，来提高学生的解题效率.这些文献主要探讨利用概率的加法公式和概率的乘法公式求独立事件的概率、利用古典概型和几何概型的公式求古典概型和几何概型的概率、利用表格数据求解平均值和方差并利用题干做出科学决策、利用计算分布列和数学期望作出科学决策、利用计算数据求出K2与临界值表作对比并作出科学决策.通过阅读文献，我发现离散型随机变量的分布列及其期望是近几年高考题目中概率与统计问题的热点，这类问题主要考查学生理解题目的能力与思考问题能力，本文也有所体现.在高考题中的概率与统计的选择题中，通常考查的题型有：抽样方法、互斥事件、独立事件、古典概型、几何概型；在解答题中，通常考查的题型有：样本估计总体、独立性检验、回归方程、离散型随机变量的分布列及其期望值.

1 互斥事件与独立事件的概率题型分析

一般地，事件A(或B)的发生不会影响事件B(或A)发生的概率，此时事件A和事件B称作相互独立事件，在一次随机试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件.

例1(2021年全国Ⅰ卷理科第8题)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ).

A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立

分析我们可以先写出两点数之和为8的基本事件，再写出两点数之和为7的基本事件.再根据独立事件的概率公式求解.

小结本题考查事件独立性的概念，易错点在于考生独立性事件概念理解不够透彻，容易混淆独立性概念与条件概率.

2 几何概型与古典概型的概率题型分析

几何概型的特点：(1)无限性，试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)等可能性，每个基本事件出现的可能性相等.具有以下两个特点的概率模型称为古典概型.古典概型的特点：(1)有限性——试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性——每个基本事件的出现可能性相等.

小结本题考查长度几何概型的概率计算，可计算出基本事件与所要求事件所包含的长度、区域、面积、体积等，最后运用几何概型的计算公式计算即可得出答案.

例3(2020年江苏卷理科第4题)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是____.

分析可以先写出骰子先后抛掷2次点数之和所有的基本事件，再写出点数之和为5的基本事件，最后利用古典概率的公式进行计算.

解析设事件A为将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，骰子向上的点数之和为5.

小结本题考查古典概型的概率计算，可列举出所有的基本事件，再从中数出满足条件的基本事件的个数，最后利用古典概型的计算公式计算即可得出答案.

3 离散型随机变量的分布列与数学期望的概率题型分析

离散型随机变量及其分布列可以一一列举出随机变量及其发生的概率，进而得到概率分布列，有利于分析数据；相互独立事件概率乘法公式可以反映独立事件发生的概率；期望综合了随机变量的取值和取值范围的概率，反映随机变量的平均水平.

例4(2021年全国Ⅰ卷理科第18题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.

分析(1)通过理解随机变量的分布列的定义和计算方法可以求出X的分布列；

(2)利用期望公式，分别求出回答A，B类问题的数学期望，根据比较，作出决策.

解析(1)由题意得，A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分，那么X的所有可能取值为0，20，100.即

所以X的分布列为：

表1

(2)当小明先选择回答A类问题，由题意，得

E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.

当小明先选择回答B类问题，记Y为小明的总共得到的分数，则Y的所有可能取值为0，80，100.

P(Y=0)=1-0.6=0.4，

P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12，

P(Y=100)=0.8×0.6=0.48，

所以Y的分布列为：

表2

E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.

因为57.6>54.4，所以E(X)

小结这道题考查分布列、期望并通过期望作出科学决策.针对求每一个随机变量的概率从而得到分布列；针对求离散型随机变量的数学期望的问题时，我们可以把分布列表格的数字，每一列相乘后相加即可求出数学期望.

概率与统计问题是高考数学中的重要考查内容之一，我们需要牢牢掌握概率与统计方面相关的知识点.在解决概率统计问题时，我们首先要考虑这道题的类型，针对不同的类型有不同的解决方法.例如，在针对互斥事件、独立事件的概率问题时，我们可以利用概率的加法和乘法公式解决这类问题.在针对离散型随机变量的分布列及其期望的问题时，我们可以先理解X的含义，写出X可能取得的所有值；其次求X取每个值的概率；再写出X的分布列；最后根据分布列按照公式计算期望等.